Подписанная мера - Signed measure

В математике , Заряд является обобщением понятия меры , позволяя ему иметь отрицательные значения. В теории мер мера со знаком иногда называется платой .

Определение

Есть две немного разные концепции подписанной меры, в зависимости от того, позволяет ли она принимать бесконечные значения. Знаковые меры обычно могут принимать только конечные действительные значения, в то время как некоторые учебники позволяют им принимать бесконечные значения. Во избежание путаницы в этой статье эти два случая будут называться «конечные подписанные меры» и «расширенные подписанные меры».

Для измеримого пространства ( X , Σ) (то есть множества X с σ-алгеброй Σ на нем) расширенная мера со знаком является функцией

${\ displaystyle \ mu: \ Sigma \ to \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty, - \ infty \}}$

такое, что и является σ-аддитивным , т. е. удовлетворяет равенству ${\ Displaystyle \ му (\ emptyset) = 0}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) }$

для любой последовательности , из непересекающихся множеств в Е. Ряд справа должен абсолютно сходиться, когда значение левой части конечно. Одним из следствий этого является то, что расширенная мера со знаком может принимать + ∞ как значение или -∞ как значение, но оба они недоступны. Выражение ∞ - ∞ не определено, и его следует избегать. ${\ displaystyle A_ {1}}$${\ Displaystyle A_ {2}, \ ldots, A_ {n}, \ ldots}$

Конечная Заряд (ака реальной меры ) определяются таким же образом, за исключением того, что разрешено только принимать действительные значения. То есть не может принимать + ∞ или −∞.

Конечные меры со знаком образуют реальное векторное пространство , в то время как расширенные меры со знаком - нет, потому что они не закрываются при добавлении. С другой стороны, меры - это расширенные подписанные меры, но, как правило, это не конечные подписанные меры.

Примеры

Рассмотрим неотрицательную меру на пространстве ( X , Σ) и измеримую функцию f : X → R такие, что ${\ displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle \ int _ {X} \! | е (х) | \, d \ nu (x) <\ infty.}$

Тогда конечная мера со знаком определяется выражением

${\ Displaystyle \ му (А) = \ int _ {A} \! е (х) \, д \ ню (х)}$

для всех A из Σ.

Эта мера со знаком принимает только конечные значения. Чтобы позволить ему принимать + ∞ в качестве значения, необходимо заменить предположение об абсолютной интегрируемости f на более мягкое условие

${\ Displaystyle \ int _ {X} \! е ^ {-} (х) \, d \ ню (х) <\ infty,}$

где е ^- ( х ) = тах (- F ( х ), 0) является отрицательная часть из F .

Характеристики

Ниже приведены два результата, из которых следует, что расширенная мера со знаком - это разность двух неотрицательных мер, а конечная мера со знаком - разность двух конечных неотрицательных мер.

Теорема Хана о разложении утверждает, что для меры μ со знаком существуют два измеримых множества P и N такие, что:

1. P ∪ N = X и P ∩ N = ∅;
2. μ ( E ) ≥ 0 для каждого E в Σ такого, что E ⊆ P - другими словами, P - положительное множество ;
3. μ ( E ) ≤ 0 для каждого E в Σ такого, что E ⊆ N, то есть N - отрицательное множество.

Кроме того, это разложение единственно до добавления к / вычитанию μ - множества нуля из Р и N .

Рассмотрим затем две неотрицательные меры μ ⁺ и μ ^-, определенные равенством

${\ displaystyle \ mu ^ {+} (E) = \ mu (P \ cap E)}$

а также

${\ displaystyle \ mu ^ {-} (E) = - \ mu (N \ cap E)}$

для всех измеримых множеств E , т.е. E в Σ.

Можно проверить , что и μ ⁺ и μ ^- неотрицательные меры, с одной принимают только конечные значения, и называется положительной частью и отрицательной частью из ц соответственно. Получается, что μ = μ ⁺ - μ ^- . Мера | μ | = Μ ⁺ + μ ^- называется вариация из ц , и ее максимально возможное значение, || μ || = | ц | ( X ), называется полное изменение в  ц .

Это следствие теоремы Хана о разложении называется разложением Жордана . Меры μ ⁺ , μ ^- и | μ | не зависят от выбора P и N в теореме о разложении Хана.

использование

Мера задается функцией площади на областях декартовой плоскости . В определенных случаях эта мера становится платной. Например, когда натуральный логарифм определяется площадью под кривой y = 1 / x для x в положительных вещественных числах , область с 0 < x <1 считается отрицательной.

Область, определяемая непрерывной функцией y = f ( x ), осью x и линиями x = a и x = b, может быть оценена интегрированием Римана . В этом случае оценка - это заряд, знак заряда которого соответствует знаку y .

При определении направленных гиперболических углов в терминах площади гиперболического сектора линия y = x делит квадрант I на положительные и отрицательные области для меры со знаком.

Пространство подписанных мер

Сумма двух конечных мер со знаком является конечной мерой со знаком, как и произведение конечной меры со знаком на действительное число, то есть они замкнуты относительно линейных комбинаций . Отсюда следует, что множество конечных мер со знаком на измеримом пространстве ( X , Σ) является вещественным векторным пространством ; это отличается от положительных мер, которые замкнуты только относительно конических комбинаций и, таким образом, образуют выпуклый конус, но не векторное пространство. Кроме того, полная вариация определяет норму, относительно которой пространство конечных мер со знаком становится банаховым пространством . Это пространство имеет еще большую структуру, поскольку можно показать, что оно является полной по Дедекинду банаховой решеткой, и тем самым можно показать, что теорема Радона – Никодима является частным случаем спектральной теоремы Фрейденталя .

Если X - компактное сепарабельное пространство, то пространство конечных знаковых мер Бэра является двойственным вещественному банахову пространству всех непрерывных вещественнозначных функций на X по теореме Рисса – Маркова – Какутани о представлении .

Смотрите также

• Комплексная мера
• Спектральная мера
• Векторная мера
• Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани
• Общая вариация

Примечания

использованная литература

• Бартл, Роберт Г. (1966), Элементы интеграции , Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья , Zbl  0146.28201
• Бхаскара Рао, КПС; Бхаскара Рао, М. (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер , чистая и прикладная математика, Лондон: Academic Press , ISBN 0-12-095780-9, Zbl  0516,28001
• Кон, Дональд Л. (1997) [1980], Теория меры , Бостон: Birkhäuser Verlag , ISBN 3-7643-3003-1, Zbl  0436,28001
• Diestel, JE; Уль, Дж. Дж. Младший (1977), Векторные меры , Математические обзоры и монографии, 15 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-1515-6, Zbl  0369,46039
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1959), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы. , Чистая и прикладная математика, 6 , Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers , стр. XIV + 858, ISBN 0-471-60848-3, Zbl  0084,10402
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1963), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы. , Чистая и прикладная математика, 7 , Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers , стр. IX + 859–1923, ISBN 0-471-60847-5, Zbl  0128,34803
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1971), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы. , Чистая и прикладная математика, 8 , Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers , стр. XIX + 1925–2592, ISBN 0-471-60846-7, Zbl  0243,47001
• Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса , Springer Publishing , ISBN 3-540-61989-5

---

Эта статья включает материалы из следующих статей PlanetMath , которые находятся под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License : подписанная мера, теорема разложения Хана, разложение Джордана.