Площадь - Area


Из Википедии, свободной энциклопедии
Площадь
Общие символы
A
единица СИ Квадратный метр2 ]
В базовых единицах СИ м 2
Три фигуры на квадратной сетке
Суммарная площадь этих трех форм составляет приблизительно 15,57 квадратов .

Площадь представляет собой количество , которое выражает степень в двумерной фигуры или формы , или плоской пластинки , в плоскости . Площадь поверхности является ее аналогом на двумерной поверхности в виде трехмерного объекта . Область может быть понята как количество материала с заданной толщиной , которая была бы необходимо , чтобы мода модели формы, или количества краски , необходимой для покрытия поверхности с одним слоем. Это двумерный аналог длины в виде кривой (одномерный концепция) или объема твердого тела (трехмерной концепции).

Область формы может быть измерена путем сравнения формы квадратов фиксированного размера. В Международной системе единиц (СИ), стандартная единица площади является квадратный метр (написано в м 2 ), что площадь квадрата, стороны которого один метр длиной. Фигура с площадью трех квадратных метров , будет иметь такую же площадь , как три таких квадратов. В математике , то единичный квадрат определяются , чтобы иметь площадь одного, а площадь любой другой формы или поверхность представляет собой безразмерное действительное число .

Есть несколько хорошо известных формул для областей простых фигур , таких как треугольников , прямоугольников и кругов . Используя эти формулы, площадь любого многоугольника может быть найдена путем деления многоугольника на треугольники . Для фигур с криволинейной границей, исчисление обычно требуется , чтобы вычислить площадь. Действительно, проблема определения площади плоских фигур была главным стимулом для исторического развития исчисления .

Для получения твердой формы , такие как сферы , конус или цилиндр, область его граничной поверхности, называется площадью поверхности . Формулы для площадей поверхности простых форм были вычислены по древним грекам , но вычисления площади поверхности более сложной формы , как правило , требуют многомерных исчислений .

Область играет важную роль в современной математике. Помимо очевидной важности в геометрии и математическом анализе, область связана с определением детерминанта в линейной алгебре , и является основным свойством поверхностей в дифференциальной геометрии . В анализе , площадь подмножества плоскости определяются с использованием меры Лебега , хотя и не каждое подмножество измеримо. В общем, область , в высшей математики рассматривается как частный случай объема для двумерных областей.

Область может быть определена путем использования аксиом, определив его как функции сбора некоторых плоских фигур на множество действительных чисел. Можно доказать, что такая функция существует.

Формальное определение

Подход к определению того, что подразумевается под «областью» через аксиомы . «Площадь» может быть определена как функция из коллекции M специального вида плоских фигур (называемые измеримые множества) до множества действительных чисел , которая удовлетворяет следующие свойства:

  • Для всех S в M , ( S ) ≥ 0.
  • Если S и Т в М , то есть так , ST и ST , а также ( ST ) = а ( S ) + а ( Т ) - ( S П Т ).
  • Если S и Т в М с ST , то Т - S находится в М и ( Т - S ) = а ( Т ) - ( S ).
  • Если множество S находится в М и S сравним с Т , то Т тоже в М и ( S ) = а ( Т ).
  • Каждый прямоугольник R в M . Если прямоугольник имеет длину час и ширину K , то ( R ) = кк .
  • Пусть Q некоторое множество , заключенное между двумя ступенчатых областей S и T . Область шаг формируется из конечного объединения смежных прямоугольников , опирающихся на общем основании, то есть SQT . Если есть уникальный номер , с таким образом, что ( S ) ≤ C ≤ ( Т ) для всех таких областей шага S и Т , то ( Q ) = гр .

Можно доказать, что такая функция области на самом деле существует.

Единицы

Квадрат из ПВХ трубы на траве
Квадратный метр Quadrat из ПВХ трубы.

Каждый единица длины имеет соответствующую единицу площади, а именно площадь квадрата с заданной длиной стороны. Таким образом , участки могут быть измерены в квадратных метрах2 ), квадратных сантиметров (см 2 ), квадратные миллиметры (мм 2 ), квадратных километров (км 2 ), квадратных футов (фут 2 ), квадратных ярдов (ярд 2 ), квадратных миль (миль 2 ), и так далее. Алгебраически, эти блоки можно рассматривать как квадраты соответствующих единиц длины.

Единица СИ площади является квадратным метром, который считается Производными единицами СИ .

Конверсии

Диаграмма показывает коэффициент преобразования между различными областями
Хотя есть 10 мм в 1 см, есть 100 мм 2 в 1 см 2 .

Расчет площади квадрата, длина и ширина 1 метр будет:

1 метр х 1 метр = 1 м 2

и так, прямоугольник с разных сторон (скажем длина 3 метра и шириной 2 метра) будет иметь площадь в квадратных единиц, которые могут быть вычислены следующим образом:

3 м х 2 м = 6 м 2 . Это эквивалентно 6 миллионов квадратных миллиметров. Другие полезные преобразования являются:

  • 1 квадратный километр = 1000000 квадратных метров
  • 1 квадратный метр = 10,000 квадратных сантиметров = 1000000 квадратных миллиметров
  • 1 квадратный сантиметр = 100 квадратных миллиметров.

Non-метрические единицы

В не-метрических единицах, преобразование между двумя квадратными блоками является квадратом конверсии между соответствующими единицами длиной.

1 фут = 12 дюймов ,

отношения между квадратными футами и квадратными дюймами

1 квадратный фут = 144 квадратных дюймов,

где 144 = 12 2 = 12 × 12. Аналогично:

  • 1 квадратный ярд = 9 квадратных футов
  • 1 квадратных миля = 3,097,600 квадратные метры = 27,878,400 квадратных футов

Кроме того, коэффициенты преобразования включают в себя:

  • 1 квадратный дюйм = 6.4516 квадратных сантиметров
  • 1 квадратный фут = 0,092 903 04 квадратных метров
  • 1 квадратный ярд = 0,836 127 36 квадратных метров
  • 1 квадратную милю = 2.589 988 110 336 квадратных километров

Другие единицы, включая исторические

Есть несколько других общих единиц для области. Аре был оригинальный единица площади в метрической системе , с:

  • 1 являются = 100 квадратных метров

Несмотря на то, Аре выпал из использования, гектар по - прежнему широко используется для измерения земли:

  • 1 га = 100 Ares = 10000 квадратных метров = 0,01 квадратных километров

Другие необычные метрические единицы площади включают тетрады , в hectad , и мириады .

Акры также широко используются для измерения земельных участков, где

  • 1 акр = 4,840 квадратных метров = 43,560 квадратных футов.

Акров составляет приблизительно 40% с гектара.

На атомном уровне, площадь измеряется в единицах барн , таких , что:

  • 1 амбар = 10 -28 квадратных метров.

Амбаре обычно используется при описании площади поперечного сечения взаимодействия в ядерной физике .

В Индии,

  • 20 dhurki = 1 Дхуры
  • 20 Дхур = 1 khatha
  • 20 ХАТА = 1 бигха
  • 32 хата = 1 акр

история

Круг область

В BCE 5 веке, Гиппократ Хиос был первым , чтобы показать , что область диска (область обнесен кругом) пропорциональна квадрату его диаметра, как часть его квадратуры в луночки Гиппократа , но сделал не определить константу пропорциональности . Евдокс Книдский , а также в 5 - м веке до нашей эры, также обнаружили , что область диска пропорциональна его радиус в квадрате.

Впоследствии, Книга I из Евклида элементов рассматриваются равенства площадей между двумерными фигурами. Математик Архимед использовал инструменты евклидовой геометрии , чтобы показать , что область внутри окружности равна из прямоугольного треугольника , основание которого имеет длину окружности круга, и высота которого равна радиус окружности, в своей книге Измерение окружности . (Окружность 2 π г , а площадь треугольника равна половины базовой раза превышаю высоту, получая этот район П р 2 на диск.) Архимед аппроксимировать значение я (и , следовательно, площадь единичного радиуса окружности ) с его удвоением метода , в котором он вписан правильный треугольник в круге и отметил его площадь, то в два раза числа сторон , чтобы дать регулярный шестиугольник , затем неоднократно удвоил число сторон , как площадь многоугольника все ближе и ближе к тому , что окружностей (и сделали то же самое с очерченными многоугольниками ).

Швейцарский ученый Иоганн Генрих Ламберт в 1761 году доказал , что П , отношение площади круга с ее квадратом радиуса, является иррациональным , то есть он не равен частному от любых двух целых чисел. В 1794 году французский математик Лежандр доказал , что π 2 нерационально; это также доказывает , что π иррационально. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал , что π является трансцендентным (не решение любого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами), что подтверждает гипотезу , сделанное как Лежандра и Эйлера.

Треугольник область

Heron (или герой) из Александрии нашли то , что известно как формула Герона для площади треугольника через его стороны, и доказательство можно найти в его книге, Metrica , написанном около 60 г. н. Было высказано предположение , что Архимед знал формулу более двух веков назад, и с тех пор Метрика представляет собой совокупность математического имеющегося в древнем мире знания, вполне возможно , что формула предшествует ссылки , приведенные в этой работе.

В 499 Aryabhata , великий математик - астроном из классического возраста индийской математики и индийской астрономии , выраженная площадь треугольника как половины базового кратной высоты в Aryabhatiya (раздел 2.6).

Формула эквивалентна Heron была обнаружена китайцами независимо от греков. Она была опубликована в 1247 году в Шушу Jiuzhang ( « Математический трактат в девяти разделах »), написанная Цинь Цзюшао .

Четырехсторонние область

В CE 7 века, Brahmagupta разработал формулу, теперь известный как формула Брахмагупты , для площади циклического четырехугольникчетырехугольник вписан в круг) с точки зрения его сторон. В 1842 году немецкие математики Карл Антон Бретшнайдер и Карл Георг Кристиан Штаудт самостоятельно нашли формулу, известную как формула Бретшнейдера , для площади любого четырехугольника.

Общая площадь полигона

Развитие декартовых координат по Рене Декарт в 17 - м веке позволило разработать в формуле землемера для площади любого многоугольника с известными вершинных местоположений Гаусс в 19 веке.

Область определяется с помощью исчисления

Развитие интегрального исчисления в конце 17 - го века при условии , инструментов , которые впоследствии могут быть использованы для вычисления более сложных областей, таких как области с эллипсом и площадь поверхности различных изогнутых трехмерных объектов.

формулы Площадь

Polygon формулы

Для не самопересекающейся ( простой ) многоугольника, в декартовы координаты ( я = 0, 1, ..., п -1) которого п вершин известны, область задается формулой землемера :

где , когда я = п -1, то я + 1 выражается в виде модуля п и так относится к 0.

Прямоугольники

Прямоугольник с длиной и шириной меченного
Площадь этого прямоугольника  АЯ .

Самая основная формула области является формулой для площади прямоугольника . Учитывая , прямоугольник с длиной L и шириной W , формула для области является:

= ЛЕ  (прямоугольник).

То есть, площадь прямоугольника длина умножается на ширину. В особом случае, поскольку л = ш в случае квадрата, площадь квадрата с длиной стороны с дается формулой:

= Ев 2  (квадрат).

Формула для площади прямоугольника непосредственно следует из основных свойств области, а иногда принимается в качестве определения или аксиомы . С другой стороны, если геометрия разработана до того арифметики , эта формула может быть использована для определения умножения из действительных чисел .

Диаграмма, показывающая, как параллелограмм может быть повторно скомпонованный в форме прямоугольника
Равные фигуры площади.

Препарирование, параллелограммы, и треугольники

Большинство других простых формул для области вытекают из метода рассечения . Это включает в себя вырезания формы на куски, чьи участки должны подводить к области первоначальной формы.

Для примера, любой параллелограмм может быть разделена на трапеции и прямоугольного треугольника , как показано на рисунке слева. Если треугольник перемещается в другую сторону трапеции, то результирующий рисунок представляет собой прямоугольник. Отсюда следует , что площадь параллелограмма , такая же , как площадь прямоугольника:

= BH  (параллелограмм).
Параллелограмм разделить на две равные треугольники
Две равные треугольники.

Однако тот же параллелограмм можно также разрезать вдоль диагонали на два конгруэнтных треугольника, как показано на рисунке справа. Отсюда следует , что площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма:

 (треугольник).

Подобные аргументы могут быть использованы , чтобы найти площадь формулы для трапеции , а также более сложные многоугольники .

Площадь криволинейных форм

круги

Круг разделен на множество секторов, может быть перестроен, чтобы примерно образует параллелограмм
Круг можно разделить на секторы , которые переставляют , чтобы сформировать приблизительный параллелограмм .

Формула для площади круга (более правильно называть площадь , заключенную окружности или площади диска ) основана на аналогичном методе. Учитывая окружность радиуса г , можно разделить круг на секторы , как показано на рисунке справа. Каждый сектор приблизительно треугольная формы, и сектор может быть перестроен , чтобы сформировать приблизительный параллелограмм. Высота этого параллелограмма г , а ширина равна половине окружности круга, или П р . Таким образом, общая площадь окружности π г 2 :

= Π г 2  (круг).

Несмотря на то, рассечение используется в этой формуле только приблизительное, ошибка становится все меньше и меньше , как круг разбивается на всем более и более сектора. Предел площадей приближенных параллелограммов именно π г 2 , который является площадь круга.

Этот аргумент на самом деле простое применение идей исчисления . В древние времена, метод исчерпывания был использован аналогичным образом , чтобы найти площадь круга, и этот метод в настоящее время признается в качестве прекурсора для интегрального исчисления . Используя современные методы, площадь окружности можно вычислить с помощью определенного интеграла :

Эллипс

Формула для области , ограниченной с помощью эллипса связана с формулой окружности; для эллипса с полуглавными и полом-мелкими осями х и у формулы:

Площадь поверхности

Синий шар внутри цилиндра такой же высоты и радиуса
Архимеда показал , что площадь поверхности шара ровно четыре раза больше площади плоского диска того же радиуса, а объем приложен сферы точно 2/3 объема цилиндра такой же высоты и радиуса.

Большинство основных формул для площади поверхности могут быть получены путем режущих поверхностей и уплощение их. Например, если сторона поверхность цилиндра (или любой призмы ) разрезают в продольном направлении , поверхность может быть расплющенной в прямоугольник. Аналогичный образом , если надрез вдоль стороны конуса , боковая поверхность может быть расплющенная в сектор круга, и полученная площадь вычисляется.

Формула для площади поверхности сферы труднее получить: поскольку сфера имеет ненулевую гауссовую кривизну , она не может быть выровнялась. Формула для площади поверхности шара была впервые получена Архимедом в своей работе на сферу и цилиндр . Формула:

= 4 πr 2  (сфера),

где R представляет собой радиус сферы. Как и в формуле для площади круга, любой вывод этой формулы по своей природе использует методы , подобные исчисление .

Общие формулы

Области 2-мерных фигур

  • Треугольник : (где B является любой стороной, а ч расстояния от линии , на которой Б лежит к другой вершине треугольника). Эта формула может быть использована , если высота ч известна. Если длины трех сторон известны , то формула Герона может быть использована: где , Ь , с являются стороны треугольника и равна половина его периметра. Если угол и два его сторон , включенные приведены, область , где С представляет собой заданный угол и и б являются его стороны включены. Если треугольник рентгенографический на координатной плоскости, матрица может быть использована и упрощается до абсолютного значения . Эта формула также известна как формула шнурка и является простым способом решить для области координатного треугольника путем замены 3 балла 1 , у 1 ) , 2 , у 2 ) , и 3 , у 3 ) . Формула Шнурок может также использоваться , чтобы найти области других многоугольников , когда известны их вершины. Другой подход для координатного треугольника использовать исчисление , чтобы найти область.
  • Простой многоугольник , построенный на сетке равных разнесены точек (т.е. точки с числом координат) таким образом, что все вершины многоугольника являются точки сетки: , где я есть число точек сетки внутри многоугольника и Ь есть число граничных точек , Этот результат известен как теорема Пика .

Площадь в исчислении

Диаграмма, показывающая область между заданной кривой и осью х
Интеграция может рассматриваться как измерения площади под кривой, определяемой ф ( х ), между двумя точками (здесь и
б ).
Диаграмма, показывающая область между двумя функциями
Область между двумя графиками может быть оценена путем вычисления разности между интегралов двух функций
  • Область между положительной многозначных кривой и горизонтальной оси, измеренное между двумя значениями а и б (б определяется как большее из двух значений) на горизонтальной оси, дается интегралом от к Ь функции , что представляет собой кривую:
где это кривое с большим значением у-.
  • Площадь , заключенная в параметрической кривой с концами задается интегралов линии :

(см теорему Грина ) или г -компонентой

Ограниченность область между двумя квадратичными функциями

Чтобы найти ограниченную область между двумя квадратичными функциями , мы вычтем одно из другого , чтобы написать разницу в качестве

где F ( х ) является квадратичной верхней границей и г ( х ) является квадратичной нижней границы. Определим дискриминант из F ( х ) - г ( х ) в виде

Упрощая интегральную формулу между графиками двух функций (как указано в предыдущем разделе) и используя формулу Виета , можно получить

Выше остается в силе, если одна из функций ограничивающих линейно вместо квадратичного.

Площадь поверхности 3-мерных фигур

  • Конус : , где R представляет собой радиус круговой базы, а ч высоты. Это также может быть переписано в виде , или , где R представляет собой радиус и л это наклонная высота конуса. это площадь основания , а боковая поверхность конуса.
  • куб : , где s есть длина ребра.
  • Цилиндр : , где R представляет собой радиус основания и ч равна высоте. 2 г также можно переписать в виде D , где d представляет собой диаметр.
  • призмы : 2B + Ph, где В представляет собой площадь основания, Р представляет собой периметр основания и ч равна высоте призмы.
  • пирамиды : , где В представляет собой площадь основания, Р представляет собой периметр основания, и L есть длина скоса.
  • прямоугольная призма : , где длина, ш ширин, а ч высоты.

Общая формула для площади поверхности

Общая формула для площади поверхности графики непрерывно дифференцируемой функции , где и представляет собой область , в плоскости х с гладкой границей:

Еще более общая формула для области графика некоторой параметрической поверхности в векторной форме , где непрерывно дифференцируемая вектор - функция является:

Список формул

Дополнительные общие формулы для области:
форма формула переменные
Обычный треугольник ( равносторонний треугольник ) длина одной стороны треугольника.
Треугольник равно половина периметра, , и являются длиной каждой стороны.
Треугольник и любые две стороны, и угол между ними.
Треугольник и являются основание и высоту (измеренный перпендикулярно к основанию), соответственно.
Равнобедренный треугольник длина одной из двух равных сторон , а длина другой стороны.
Ромб / Kite и являются длинами двух диагоналей ромба или змей.
Параллелограмм длина основания и является перпендикулярной по высоте.
трапеция и являются параллельные стороны и расстояние (высота) между параллелями.
Регулярное шестиугольник длина одной стороны шестиугольника.
Регулярное восьмиугольник длина одной стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник это длина стороны и это число сторон.
Правильный многоугольник периметр и это число сторон.
Правильный многоугольник это радиус окружности, радиус вписанной окружности, и это число сторон.
Правильный многоугольник это число сторон, это длина стороны, это апофема , или радиус вписанной окружности в многоугольнике, и периметр многоугольника.
Круг радиус и диаметр .
круговой сектор и радиус и угол (в радианах ), соответственно , и длина периметра.
Эллипс и являются полуглавными и полом небольших осей, соответственно.
Общая площадь поверхности цилиндра и радиус и высота, соответственно.
Боковая поверхность цилиндра и радиус и высота, соответственно.
Общая площадь поверхности сферы и радиус и диаметр, соответственно.
Общая площадь поверхности пирамиды это площадь основания, является базовым по периметру и высота наклонной.
Общая площадь поверхности пирамиды усеченного это площадь основания, является базовым по периметру и высота наклонной.
Площадь для преобразования круговой зоны это площадь квадрата в квадратных единицах.
Циркуляр в квадрат преобразования области это площадь круга в круговых единицах.

Приведенные выше расчеты показывают , как найти площади многих распространенных форм .

Площади многоугольников неправильной формы могут быть вычислены с использованием « формулу геодезиста ».

Отношение площади к периметру

Изопериметрическое неравенство утверждает , что для замкнутой кривой длины L (поэтому область его окружает имеет периметр L ) и для области A региона , что она окружает,

и равенство имеет место тогда и только тогда , когда кривая представляет собой круг . Таким образом, круг имеет наибольшую площадь любой замкнутой фигуры с данным периметром.

В другом крайнем случае , фигура с данного периметра L может иметь сколь угодно малую область, как показано на ромба , который «опрокинулся» сколь угодно далеко , так что две из его углов сколь угодно близки к 0 ° , а два других сколь угодно близки до 180 °.

Для окружности, отношение площади к окружности (термин для периметра окружности) равна половине радиуса г . Это можно увидеть из формулы площади πr 2 и окружность формулы 2 πr .

Площадь правильного многоугольника составляет половину его периметра раз апофемы (где апофема расстояния от центра до ближайшей точки на любой стороне).

Фракталы

Удвоение длины ребер многоугольника умножает его площадь на четыре, что на два (отношение нового к старому боковой длине) , возведенные в степень два (размерность пространства многоугольник проживает в). Но если одномерные длины в фрактале нарисованной в двух измерениях все в два раза, пространственное содержание фрактальных шкал на степень двух , что не обязательно является целым числом. Эта сила называется фрактальной размерности фрактала.

биссектрисы Площадь

Есть лишь бесконечность линий, делящей площадь треугольника. Три из них являются медианами треугольника (которые соединяют середины сторон с противоположными вершинами), и они одновременно на треугольник центроиде ; на самом деле, они являются единственной областью , биссектрисы , которые идут через центр тяжести. Любая линия , проходящая через треугольник , который расщепляет как площадь треугольника и его периметр пополам проходит через вписанный треугольник (центр его вписанный ). Есть либо один, два или три из них для любого данного треугольника.

Любая линия, проходящая через середину параллелограмма делит пополам площадь.

Все зоны биссектрисы круга или эллипса другой идут через центр, а также любые аккорды через центр разрез`ать области. В случае окружности они являются диаметры окружности.

оптимизация

Учитывая , провод контура, поверхность наименьшей площади , охватывающей ( «начинка») , это минимальная поверхность . Знакомые примеры включают мыльные пузыри .

Вопрос о зоне наполнения в риманова круга остается открытым.

Круг имеет наибольшую площадь любого двумерного объекта, имеющего тот же периметр.

Циклический многоугольник (один вписан в окружности) имеет самую большую площадь любого многоугольника с заданным числом сторон одинаковой длиной.

Вариант изопериметрического неравенства для треугольников гласит , что треугольник наибольшей площади среди всех тех , кто с данным периметром является равносторонним .

Треугольник наибольшей площади всех тех, кто вписан в данном круге равнобедренный; и треугольник наименьшей площади всех, описанной вокруг данной окружности равносторонний.

Отношение площади вписанного к площади равностороннего треугольника, является больше , чем у любого не равностороннего треугольника.

Отношение площади к квадрату периметра равностороннего треугольника, больше , чем для любого другого треугольника.

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка