Сигма-аддитивная функция набора - Sigma-additive set function

В математике , аддитивная функция множества является отображение функции множество на номера, с тем свойством , что его значение на объединении двух непересекающихся множеств равна сумма ее значений на этих множествах, а именно, если это свойство аддитивности выполняется для любых двух множеств, то это также верно для любого конечного числа множеств, а именно, значение функции на объединении k непересекающихся множеств (где k - конечное число) равно сумме ее значений на множествах. Поэтому аддитивная функция множества также называется конечно-аддитивной функцией множества (термины эквивалентны). Однако конечно-аддитивная функция множества может не обладать свойством аддитивности для объединения бесконечного числа множеств. Σ-аддитивная функция является функцией , которая обладает свойством аддитивности , даже для бесконечно многих наборов, то есть,${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}$

Аддитивность и сигма-аддитивность - особенно важные свойства мер . Они представляют собой абстракции того, насколько интуитивно понятны свойства размера ( длины , площади , объема ) заданной суммы при рассмотрении нескольких объектов. Аддитивность - более слабое условие, чем σ-аддитивность; то есть σ-аддитивность влечет аддитивность.

Термин функция модульного множества эквивалентна функции аддитивного множества; см. модульность ниже.

Аддитивные (или конечно аддитивные) функции множества

Позвольте быть функцией множества, определенной на алгебре множеств со значениями в (см. Расширенную строку вещественных чисел ). Функция называется аддитивной или конечно аддитивной, если, когда и являются непересекающимися множествами в одном, ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$

Следствием этого является то, что аддитивная функция не может принимать оба значения и в качестве значений, поскольку выражение не определено. ${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \infty -\infty }$

С помощью математической индукции можно доказать, что аддитивная функция удовлетворяет

для любых непересекающихся множеств в${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

σ-аддитивные функции множества

Предположим, что это σ-алгебра . Если для каждой последовательности попарно непересекающихся множеств в${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$

имеет место тогда называется счетно - аддитивной или σ-аддитивная . Каждая 𝜎-аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот, как показано ниже. ${\displaystyle \mu }$

τ-аддитивные функции множества

Предположим, что в дополнение к сигма-алгебре у нас есть

топология If для каждого ориентированного семейства измеримых открытых множеств${\textstyle {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$ мы говорим, что это аддитив. В частности, если она внутренне регулярна (относительно компактов), то она τ-аддитивна. ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mu }$

Характеристики

К полезным свойствам функции аддитивного набора относятся следующие. ${\displaystyle \mu }$

Значение пустого набора

Либо или правопреемники на все наборы в своей области, или правопреемник на все наборы в своей области.

Доказательство : аддитивность означает, что для любого множества If, этому равенству может удовлетворять только плюс или минус бесконечность. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing ).}$${\displaystyle \mu (\varnothing )\neq 0,}$

Монотонность

Если неотрицательно и то То есть, это

монотонная функция набора . Точно так же If неположительно, а затем${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (A)\geq \mu (B).}$

Модульность

Учитывая и

Proof : запись и и где все множества в объединении не пересекаются. Аддитивность означает, что обе части равенства равны${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)}$${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)}$${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$${\displaystyle \mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).}$

Указанное выше свойство называется модульностью , и мы только что доказали, что модульность эквивалентна аддитивности. Однако есть связанные свойства, называемые субмодулярностью и субаддитивностью , которые не эквивалентны.

Обратите внимание, что модульность имеет другое и не связанное с этим значение в контексте сложных функций; см. модульную форму .

Установить разницу

Если и определено, то${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (B)-\mu (A)}$${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}$

Примеры

Примером-аддитивной функции является функция, определенная над

множеством степеней действительных чисел , так что ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

Если - последовательность непересекающихся наборов действительных чисел, то либо ни один из наборов не содержит 0, либо ровно один из них содержит. В любом случае равенство ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$

держит.

Дополнительные примеры 𝜎-аддитивных функций см. В разделах «Мера» и « Мера со знаком».

Аддитивная функция, не являющаяся σ-аддитивной

Пример аддитивной функции, которая не является σ-аддитивной, получается при рассмотрении , определенной над множествами Лебега

действительных чисел формулой ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),}$$

где обозначает меру Лебега и на предел Банаха . Удовлетворяет, и если тогда${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lim }$${\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq 1}$${\displaystyle \sup A<\infty }$${\displaystyle \mu (A)=0.}$

Аддитивность этой функции можно проверить, используя линейность предела. То, что эта функция не является σ-аддитивной, следует из рассмотрения последовательности непересекающихся множеств

$${\displaystyle A_{n}=[n,n+1)}$$

для Объединение этих наборов является положительным вещественным числом , и тогда применяется к объединению, тогда как применяется к любому из отдельных наборов, это ноль, поэтому сумма также равна нулю, что доказывает контрпример. ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (A_{n})}$

Обобщения

Можно определить аддитивные функции со значениями в любом аддитивном моноиде (например, в любой группе или, чаще, в векторном пространстве ). Для сигма-аддитивности необходимо дополнительно, чтобы на этом множестве было определено понятие предела последовательности . Например, спектральные меры - это сигма-аддитивные функции со значениями в банаховой алгебре . Другой пример, также из квантовой механики, - положительная операторная мера .

Смотрите также

• Аддитивная карта
• Теорема Хана – Колмогорова.
• Мера (математика)  - Обобщение массы, длины, площади и объема
• σ-конечная мера
• Знаковая мера  - обобщенное понятие меры в математике
• Функция субмодульного набора  - функция для подмножеств, имеющая свойство убывающей отдачи.
• Функция субаддитивного набора
• τ-аддитивность

Эта статья включает материал из дополнения на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

использованная литература