Предел Банаха - Banach limit

В математическом анализе , А банахи предел является непрерывным линейным функционалом , определенный на банаховом пространстве всех ограниченных комплексных -значных последовательностей таким образом, что для всех последовательностей , в и комплексных числах : ${\ Displaystyle \ phi: \ ell ^ {\ infty} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x = (x_ {n})}$${\ displaystyle y = (y_ {n})}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ alpha}$

1. ${\ Displaystyle \ фи (\ альфа х + у) = \ альфа \ фи (х) + \ фи (у)}$ (линейность);
2. если для всех , то (позитивность); ${\ displaystyle x_ {n} \ geq 0}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ фи (х) \ geq 0}$
3. ${\ Displaystyle \ фи (х) = \ фи (Sx)}$ , где - оператор сдвига, определяемый (сдвиг-инвариантность); ${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle (Sx) _ {п} = х_ {п + 1}}$
4. если - сходящаяся последовательность , то . ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ фи (х) = \ лим х}$

Следовательно, является расширением непрерывного функционала, где - комплексное векторное пространство всех последовательностей, сходящихся к (обычному) пределу в . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ lim: c \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle с \ подмножество \ ell ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Другими словами, банахов предел расширяет обычные пределы, является линейным, инвариантным относительно сдвига и положительным. Однако существуют последовательности, для которых значения двух пределов Банаха не совпадают. Мы говорим, что в этом случае банахов предел не определяется однозначно.

Как следствие вышеупомянутых свойств, действительный предел Банаха также удовлетворяет:

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ leq \ phi (x) \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}.}$

Существование банаховых пределов обычно доказывается с помощью теоремы Хана – Банаха (подход аналитика) или с помощью ультрафильтров (этот подход чаще встречается в теоретико-множественных изложениях). Эти доказательства обязательно используют аксиому выбора (так называемое неэффективное доказательство).

Почти конвергенция

Есть несходящиеся последовательности, у которых есть однозначно определенный предел Банаха. Например, если , то - постоянная последовательность, а ${\ Displaystyle х = (1,0,1,0, \ ldots)}$${\ Displaystyle х + S (х) = (1,1,1, \ ldots)}$

${\ Displaystyle 2 \ phi (x) = \ phi (x) + \ phi (Sx) = \ phi (x + Sx) = \ phi ((1,1,1, \ ldots)) = \ lim ((1 , 1,1, \ ldots)) = 1}$

держит. Таким образом, для любого банахова предела эта последовательность имеет предел . ${\ displaystyle 1/2}$

Ограниченная последовательность со свойством, что для каждого банахова предела значение одно и то же, называется почти сходящейся . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ фи (х)}$

Банаховы пространства

Для данной сходящейся последовательности в , обычный предел не возникает из элемента , если рассматривать двойственность . Последнее означает , является непрерывной сопряженное пространство (двойное банахово пространство) , и , следовательно, индуцирует непрерывные линейные функционалы на , но не все. Любой банаховый предел на является примером элемента двойственного банахова пространства, к которому не принадлежит . Сопряженное известен как ба пространства , и состоит из всех ( подписано ) конечно - аддитивных мер на сигма-алгебре всех подмножеств натуральных чисел , или что то же самое, все (подписанные) Борелевские меры по стоун-чеховское из натуральные числа. ${\ displaystyle x = (x_ {n})}$${\ Displaystyle с \ подмножество \ ell ^ {\ infty}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$${\ Displaystyle \ langle \ ell ^ {1}, \ ell ^ {\ infty} \ rangle}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$

Внешние ссылки

• «Банаховый предел» . PlanetMath .

Рекомендации

• Балкар, Богуслав ; Штепанек, Петр (2000). Теория множин (на чешском языке) (2-е изд.). Прага: Academia. ISBN   802000470X . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Конвей, Джон Б. (1994). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN   0-387-97245-5 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )