Коническая комбинация - Conical combination

Учитывая конечное число векторов в реальном векторном пространстве , коническая комбинация , коническая сумма или взвешенная сумма этих векторов является вектором формы ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {1} x_ {1} + \ alpha _ {2} x_ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n} x_ {n}}$

где являются неотрицательными действительными числами. ${\ displaystyle \ alpha _ {я}}$

Название происходит от того факта, что коническая сумма векторов определяет конус (возможно, в подпространстве меньшей размерности ).

Конический корпус

Множество всех конических комбинаций для заданного множества S называется конической оболочкой из S и обозначается конус ( S ) или Coni ( S ). Это,

${\ displaystyle \ operatorname {coni} (S) = \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ alpha _ {i} x_ {i}: x_ {i} \ in S, \, \ альфа _ {i} \ in \ mathbb {R} _ {\ geq 0}, \, k \ in \ mathbb {N} \ right \}.}$

Взяв k  = 0, следует, что нулевой вектор ( начало координат ) принадлежит всем коническим оболочкам (поскольку суммирование становится пустой суммой ).

Коническая оболочка множества S - выпуклое множество . Фактически, это пересечение всех выпуклых конусов, содержащих S, плюс начало координат. Если S - компакт (в частности, когда это конечное непустое множество точек), то условие «плюс начало координат» не нужно.

Если отбросить начало координат, мы можем разделить все коэффициенты на их сумму, чтобы увидеть, что коническая комбинация - это выпуклая комбинация, масштабированная положительным коэффициентом.

На плоскости коническая оболочка окружности, проходящей через начало координат, является открытой полуплоскостью, определяемой касательной к окружности в начале координат плюс начало координат.

Следовательно, «конические комбинации» и «конические оболочки» на самом деле являются «выпуклыми коническими комбинациями» и «выпуклыми коническими оболочками» соответственно. Более того, вышеприведенное замечание о делении коэффициентов при отбрасывании начала координат подразумевает, что конические комбинации и оболочки можно рассматривать как выпуклые комбинации и выпуклые оболочки в проективном пространстве .

В то время как выпуклая оболочка компакта также является компактным множеством, это не так для конической оболочки; во-первых, последний неограничен. Более того, это даже не обязательно замкнутое множество : контрпример - это сфера, проходящая через начало координат, причем коническая оболочка представляет собой открытое полупространство плюс начало координат. Однако, если S - непустой выпуклый компакт, не содержащий начала координат, то выпуклая коническая оболочка S является замкнутым множеством.

Смотрите также

Связанные комбинации

• Аффинная комбинация
• Выпуклая комбинация
• Линейная комбинация

Рекомендации