Абсолютная конвергенция - Absolute convergence

В математике говорят , что бесконечный ряд чисел сходится абсолютно (или абсолютно сходится ), если сумма абсолютных значений слагаемых конечна. Точнее говоря, реальный или сложный ряд называется абсолютно сходится , если для некоторого вещественного числа Аналогично, несобственного интеграла от к функции , сходится абсолютно , если интеграл от абсолютной величины подынтегрального конечно, то есть, если

Абсолютная сходимость важна для изучения бесконечных рядов, потому что ее определение достаточно сильное, чтобы иметь свойства конечных сумм, которыми обладают не все сходящиеся ряды, но достаточно широкое, чтобы встречаться обычно. (Сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся, называется условно сходящимся .) Абсолютно сходящийся ряд ведет себя «хорошо». Например, перестановки не меняют стоимости суммы. Это неверно для условно сходящихся рядов: чередующийся гармонический ряд сходится к, в то время как его перестановка (в которой повторяющийся образец знаков - это два положительных члена, за которыми следует один отрицательный член) сходится к

Фон

Можно изучать сходимость рядов , члены которых являются элементами произвольной абелевой топологической группы . Понятие абсолютной сходимости требует дополнительной структуры, а именно нормы , которая представляет собой положительную вещественнозначную функцию на абелевой группе (записывается аддитивно , с единичным элементом 0) такая, что:

  1. Норма единичного элемента равна нулю:
  2. Для каждого подразумевает
  3. Для каждого
  4. Для каждого

В этом случае функция индуцирует структуру метрического пространства (тип топологии ) на. Таким образом, мы можем рассматривать -значные ряды и определять такие ряды как абсолютно сходящиеся, если

В частности, эти утверждения применяются с использованием нормы ( абсолютного значения ) в пространстве действительных или комплексных чисел.

В топологических векторных пространствах

Если является топологическим векторным пространством (TVS) и является (возможно, несчетным ) семейством в, то это семейство абсолютно суммируемо, если

  1. является суммируемыми в (то есть, если предел из чистых сходится в котором есть направленное множество всех конечных подмножеств из направленных по включению и ), и
  2. для любой непрерывной полунормы на семействе суммируем в

Если - нормируемое пространство и если - абсолютно суммируемое семейство в, то обязательно все, кроме счетного набора , равны 0.

Абсолютно суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерных пространств .

Отношение к конвергенции

Если он полон относительно метрики, то любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство такое же, как и для комплекснозначных рядов: используйте полноту для вывода критерия сходимости Коши - ряд сходится тогда и только тогда, когда его хвосты можно сделать сколь угодно малыми по норме - и примените неравенство треугольника.

В частности, для рядов со значениями в любом банаховом пространстве абсолютная сходимость влечет сходимость. Верно и обратное: если абсолютная сходимость влечет сходимость в нормированном пространстве, то это пространство является банаховым.

Если ряд сходится, но не сходится абсолютно, он называется условно сходящимся . Примером условно сходящегося ряда является знакопеременный гармонический ряд . Многие стандартные тесты для дивергенции и конвергенции, особенно в том числе теста отношений и тест корня , демонстрируют абсолютную сходимость. Это потому, что степенной ряд абсолютно сходится внутри своего круга сходимости.

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел сходится

Предположим, что это сходится. Тогда эквивалентно, сходится, что означает, что и сходится почленным сравнением неотрицательных членов. Достаточно показать, что сходимость этих рядов влечет сходимость, а тогда сходимость следовала бы по определению сходимости комплекснозначных рядов.

Предыдущее обсуждение показывает, что нам нужно только доказать, что из сходимости следует сходимость

Позвольте быть сходящимся. Поскольку у нас есть

Поскольку сходится, является ограниченной монотонной последовательностью частичных сумм и также должна сходиться. Отметив различие сходящихся рядов, мы заключаем, что это тоже сходящийся ряд, как и следовало ожидать.

Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши и неравенства треугольника

Применяя критерий Коши сходимости комплексного ряда, мы также можем доказать этот факт как простое следствие неравенства треугольника . По критерию Коши , сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое, что для любого Но из неравенства треугольника следует, что так, что для любого, которое является в точности критерием Коши для

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд в банаховом пространстве сходится

Приведенный выше результат может быть легко обобщен на любое банахово пространство. Позвольте быть абсолютно сходящимся рядом в As является

последовательностью Коши действительных чисел, для любых и достаточно больших натуральных чисел это верно:

По неравенству треугольника для нормы ǁ⋅ǁ сразу получаем:

что означает, что является последовательностью Коши, следовательно, ряд сходится в

Перестановки и безусловная сходимость

В общем контексте -значного ряда проводится различие между абсолютной и безусловной сходимостью, и утверждение, что действительный или комплексный ряд, который не является абсолютно сходящимся, обязательно условно сходится (то есть не сходится безусловно), тогда является теоремой, а не определение. Более подробно это обсуждается ниже.

Учитывая ряд со значениями в нормированной абелевой группе и

перестановку натуральных чисел, каждый строит новый ряд, который называется перестановкой исходного ряда. Ряд называется безусловно сходящимся, если все перестановки ряда сходятся к одному и тому же значению.

Когда полная, абсолютная сходимость подразумевает безусловную сходимость:

Теорема  -  Пусть будет полная нормированная абелева группа. Предполагать

Если какая-либо перестановка, то

Обратный вопрос интересен. Для вещественных рядов из теоремы Римана о перестановке следует, что безусловная сходимость влечет абсолютную сходимость. Поскольку ряд со значениями в конечномерном нормированном пространстве абсолютно сходится, если каждая из его одномерных проекций абсолютно сходится, отсюда следует, что абсолютная и безусловная сходимость для -значного ряда совпадают .

Но есть безусловно и не абсолютно сходящиеся ряды со значениями в банаховом пространстве , например:

где - ортонормированный базис. Теорема

А. Дворецкого и К. А. Роджерса утверждает, что любое бесконечномерное банахово пространство допускает безусловно сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся.

Доказательство теоремы

Для любого мы можем выбрать такие, что:

Позволять

Наконец, для любого целого числа пусть

потом

Это показывает, что

то есть:

QED

Продукты серии

Произведение Коши двух рядов сходится к произведению сумм, если хотя бы один ряд сходится абсолютно. То есть предположим, что

Произведение Коши определяется как сумма членов, в которых:

Если либо в или сумма сходится абсолютно , то

Абсолютная сходимость по множествам

Обобщением абсолютной сходимости ряда является абсолютная сходимость суммы функции по набору. Мы сначала рассмотрим счетное множество и функция Даст определение ниже суммы более записываются в виде

Во-первых, обратите внимание на то, что, поскольку конкретное перечисление (или «индексирование») еще не определено, серию нельзя понять с помощью более простого определения серии. Фактически, для некоторых примеров и сумма over может вообще не определяться, поскольку некоторая индексация может привести к условно сходящемуся ряду.

Поэтому мы определяем только в том случае , когда существует некоторое взаимно однозначное соответствие такое , что абсолютно сходится. Обратите внимание, что здесь термин «абсолютно сходящийся» использует более базовое определение, применяемое к индексированному ряду. В этом случае значение

суммы сверх определяется как

Обратите внимание, что, поскольку ряд абсолютно сходится, каждая перестановка идентична другому выбору взаимно однозначного соответствия. Поскольку все эти суммы имеют одинаковое значение, то сумма по хорошо определена.

Даже в более общем плане мы можем определить сумму сверх, когда она неисчислима. Но сначала мы определим, что значит сходящаяся сумма.

Пусть будет любое множество, счетное или несчетное, и функция. Мы говорим, что

сумма по абсолютно сходится абсолютно, если

Существует теорема, которая утверждает, что если сумма over абсолютно сходится, то принимает ненулевые значения на множестве, которое не более чем счетно. Следовательно, следующее является последовательным определением суммы по, когда сумма абсолютно сходится.

Обратите внимание, что в последней серии используется определение серии по счетному множеству.

Некоторые авторы определяют повторную сумму как абсолютно сходящуюся, если повторяемый ряд. Это фактически эквивалентно абсолютной сходимости. То есть, если сумма over сходится абсолютно, как определено выше, то повторенная сумма сходится абсолютно, и наоборот. наоборот.

Абсолютная сходимость интегралов

Интеграл от реальной или комплексной функции называется

абсолютно сходится , если один говорит также , что является абсолютно интегрируемой . Проблема абсолютной интегрируемости сложна и зависит от того, рассматривается ли (калибровочный) интеграл Римана , Лебега или Курцвейла-Хенстока ; для интеграла Римана это также зависит от того, рассматриваем ли мы только интегрируемость в собственном смысле ( и оба ограничены ) или разрешаем более общий случай несобственных интегралов.

Как стандартное свойство интеграла Римана, когда - ограниченный

интервал , каждая непрерывная функция ограничена и (по Риману) интегрируема, а поскольку из непрерывности следует непрерывность, каждая непрерывная функция является абсолютно интегрируемой. Фактически, поскольку является интегрируемым по Риману на if, интегрируемо (собственно) и непрерывно, отсюда следует, что оно является собственно интегрируемым по Риману, если есть. Однако это утверждение неверно в случае несобственных интегралов. Например, функция неправильно интегрируема по Риману в своей неограниченной области, но не является абсолютно интегрируемой:
В самом деле, в более общем плане, для любого ряда можно рассматривать связанную
ступенчатую функцию, определенную как Then, сходится абсолютно, сходится условно или расходится согласно соответствующему поведению

Ситуация иная для интеграла Лебега, который не обрабатывает ограниченные и неограниченные области интегрирования отдельно ( см. Ниже ). Тот факт, что интеграл от неограничен в приведенных выше примерах, означает, что он также не интегрируется в смысле Лебега. Фактически, в теории интегрирования Лебега, при условии, что она

измерима , является (Лебегом) интегрируемой тогда и только тогда, когда она (Лебег) интегрируема. Однако гипотеза, которую можно измерить, имеет решающее значение; это вообще не верно , что абсолютно интегрируемые функции на интегрируемых (просто потому , что они могут не быть измеримыми): Пусть будут неизмеримое подмножество и рассмотрят , где есть характеристическая функция от Тогда не измерима по Лебегу и , следовательно , не интегрируема, но постоянный функция и четко интегрируемый.

С другой стороны, функция может быть интегрируемой по Курцвейлю-Хенстоку (калибровочно-интегрируемой), в то время как это не так. Это включает случай неправильно интегрируемых по Риману функций.

В общем смысле на любом пространстве с мерой интеграл Лебега вещественной функции определяется в терминах его положительной и отрицательной частей, поэтому факты:

  1. интегрируемость влечет интегрируемость
  2. измеримый, интегрируемый означает интегрируемый

существенно встроены в определение интеграла Лебега. В частности, применяя теорию к считающей мере на множестве, можно восстановить понятие неупорядоченного суммирования рядов, разработанное Муром – Смитом с использованием (так называемых сейчас) сетей. Когда - множество натуральных чисел, интегрируемость по Лебегу, неупорядоченная суммируемость и абсолютная сходимость совпадают.

Наконец, все сказанное выше верно для интегралов со значениями в банаховом пространстве. Определение банаховозначного интеграла Римана является очевидной модификацией обычного. Для интеграла Лебега необходимо обойти разложение на положительные и отрицательные части с помощью более функционального аналитического подхода Даниэля , получив интеграл Бохнера .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Процитированные работы

Общие ссылки