Гиперболический сектор - Hyperbolic sector
Гиперболической сектор представляет собой область в декартовой плоскости {( х , у )} , ограниченные лучи от начала координат до двух точек ( , 1 / ) и ( б , 1 / б ) и с помощью прямоугольных гипербол х = 1 ( или соответствующая область, когда эта гипербола масштабируется и ее ориентация изменяется вращением, оставляющим центр в начале координат, как в случае гиперболы единицы ). Гиперболический сектор в стандартном положении имеет a = 1 и b > 1 .
Гиперболические секторы являются основой гиперболических функций .
Площадь
Площадь гиперболического сектора в стандартном положении является натуральный логарифм от б .
Доказательство: проинтегрировать под 1 / x от 1 до b , добавить треугольник {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} и вычесть треугольник {(0, 0), ( b , 0), ( б , 1 / б )}.
В стандартном положении гиперболический сектор соответствует положительному гиперболическому углу в начале координат, причем размер последнего определяется как площадь первого.
Гиперболический треугольник
В стандартном положении гиперболический сектор определяет гиперболический треугольник , прямоугольный треугольник с одной вершиной в начале координат, основание на диагональном луче y = x и третью вершину на гиперболе.
гипотенуза - это отрезок от начала координат до точки ( x, y ) на гиперболе. Длина основания этого треугольника равна
и высота над уровнем моря составляет
где u - соответствующий гиперболический угол .
Аналогия между круговыми и гиперболическими функциями была описана Августом де Морганом в его « Тригонометрии и двойной алгебре» (1849). Уильям Бернсайд использовал такие треугольники, проецируя их из точки гиперболы xy = 1 на главную диагональ, в своей статье «Замечание о теореме сложения для гиперболических функций».
Гиперболический логарифм
Студенты интегрального исчисления знают, что f ( x ) = x p имеет алгебраическую первообразную, за исключением случая p = –1, соответствующего квадратуре гиперболы. Остальные случаи даются квадратурной формулой Кавальери . В то время как квадратура параболы была достигнута Архимедом в третьем веке до нашей эры (в «Квадратуре параболы» ), гиперболическая квадратура потребовала изобретения в 1647 году новой функции: Грегуар де Сент-Винсент обратился к проблеме вычисления ограниченных площадей. гиперболой. Его открытия привели к функции натурального логарифма, которую когда-то называли гиперболическим логарифмом, поскольку она получается путем интегрирования или нахождения площади под гиперболой.
До 1748 года и до публикации « Введения в анализ бесконечного» натуральный логарифм был известен как площадь гиперболического сектора. Леонард Эйлер изменил это, когда ввел трансцендентные функции, такие как 10 x . Эйлер определил e как значение b, производящее единицу площади (под гиперболой или в гиперболическом секторе в стандартном положении). Тогда натуральный логарифм можно было бы распознать как функцию, обратную трансцендентной функции e x .
Гиперболическая геометрия
Когда Феликс Клейн написал свою книгу по неевклидовой геометрии в 1928 году, он заложил основу для этого предмета, сославшись на проективную геометрию . Чтобы установить гиперболическую меру на линии, он отметил, что область гиперболического сектора дает визуальную иллюстрацию концепции.
К гиперболе также можно провести гиперболические сектора . Площадь таких гиперболических секторов использовалась для определения гиперболического расстояния в учебнике геометрии.
