Комплексная мера - Complex measure

В математике , особенно в теории меры , комплексная мера обобщает понятие меры , позволяя ей иметь комплексные значения. Другими словами, можно использовать наборы , размер которых (длина, площадь, объем) является комплексным числом.

Определение

Формально комплексная мера на измеримом пространстве - это комплексная функция${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$

${\ displaystyle \ mu: \ Sigma \ to \ mathbb {C}}$

это сигма-аддитивный . Другими словами, для любой последовательности из множества непересекающихся , принадлежащих к , имеет один ${\ Displaystyle (A_ {п}) _ {п \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) = \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) \ in \ mathbb {C}.}$

Что касается любой перестановки ( биекции ) , отсюда следует, что она сходится безусловно (а значит, абсолютно ). ${\ displaystyle \ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A _ {\ sigma (n)}}$${\ Displaystyle \ sigma: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} \ му (A_ {п})}$

Интеграция по комплексной мере

Можно определить интеграл от комплекснозначной измеримой функции относительно комплексной меры таким же образом , как интеграл Лебега о реальном -значном измеримой функции относительно неотрицательной меры , аппроксимируя измеримую функцию с простыми функциями . Как и в случае обычного интегрирования, этот более общий интеграл может не существовать или его значение может быть бесконечным ( комплексная бесконечность ).

Другой подход состоит в том, чтобы не разрабатывать теорию интегрирования с нуля, а использовать уже имеющуюся концепцию интеграла действительной функции по неотрицательной мере. С этой целью это быстрая проверка того, что действительная и мнимая части μ ₁ и μ ₂ комплексной меры μ являются конечнозначными мерами со знаком . К этим мерам можно применить разложение Хана-Жордана, чтобы разбить их как

${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ mu _ {1} ^ {+} - \ mu _ {1} ^ {-}}$

а также

${\ displaystyle \ mu _ {2} = \ mu _ {2} ^ {+} - \ mu _ {2} ^ {-}}$

где μ ₁ ⁺ , μ ₁ ^- , μ ₂ ⁺ , μ ₂ ^- - конечнозначные неотрицательные меры (в некотором смысле единственные). Тогда для измеримой функции f, которая на данный момент является действительной , можно определить

${\ Displaystyle \ int _ {X} \! е \, d \ mu = \ left (\ int _ {X} \! f \, d \ mu _ {1} ^ {+} - \ int _ {X} \! f \, d \ mu _ {1} ^ {-} \ right) + i \ left (\ int _ {X} \! f \, d \ mu _ {2} ^ {+} - \ int _ {X} \! F \, d \ mu _ {2} ^ {-} \ right)}$

до тех пор, пока выражение в правой части определено, то есть все четыре интеграла существуют и при их сложении не встречается неопределенное ∞ − ∞.

Учитывая теперь комплекснозначную измеримую функцию, можно отдельно интегрировать ее действительную и мнимую составляющие, как показано выше, и определить, как и ожидалось,

${\ Displaystyle \ int _ {X} \! е \, d \ mu = \ int _ {X} \! \ Re (f) \, d \ mu + i \ int _ {X} \! \ Im (f ) \, d \ mu.}$

Вариация комплексной меры и полярное разложение

Для комплексной меры μ определяется ее вариация или абсолютное значение | μ | по формуле

${\ displaystyle | \ mu | (A) = \ sup \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | \ mu (A_ {n}) |}$

где в Е и Supremum пробегает все последовательности множеств непересекающихся ( А _п ) _п , чей союз является . Разбирая только конечные разбиения множества A на измеримые подмножества , получаем эквивалентное определение.

Оказывается, | μ | неотрицательная конечная мера. Точно так же, как комплексное число может быть представлено в полярной форме , есть полярное разложение для комплексной меры: существует измеримая функция θ с действительными значениями такая, что

${\ Displaystyle д \ му = е ^ {я \ тета} д | \ му |,}$

имея в виду

${\ Displaystyle \ int _ {X} е \, d \ mu = \ int _ {X} fe ^ {i \ theta} \, d | \ mu |}$

для любой абсолютно интегрируемой измеримой функции f , т. е. f такой, что

${\ Displaystyle \ int _ {X} | е | \, d | \ mu | <\ infty.}$

Можно использовать теорему Радона – Никодима, чтобы доказать, что вариация является мерой и существование полярного разложения .

Пространство сложных мер

Сумма двух сложных мер является сложной мерой, как и произведение сложной меры на комплексное число. Другими словами, множество всех комплексных мер на пространстве с мерой ( X , Σ) образует векторное пространство над комплексными числами. Более того, полная вариация, определяемая как ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ Displaystyle \ | \ му \ | = | \ му | (X) \,}$

- норма , относительно которой пространство комплексных мер является банаховым пространством .

Смотрите также

• Теорема Рисса о представлении
• Подписанная мера
• Векторная мера

Внешние ссылки

• Комплексная мера в MathWorld