Топология заказа - Order topology

В математике , топология порядка определенная топология , которая может быть определена на любом полностью упорядоченного множества . Это естественное обобщение топологии действительных чисел на произвольные полностью упорядоченные множества.

Если X - полностью упорядоченное множество, топология порядка на X порождается подбазой «открытых лучей».

{\ Displaystyle \ {х \ середина а <х \}}

{\ Displaystyle \ {х \ середина х <Ь \}}

для всех а, б , в X . Если X имеет как минимум два элемента, это равносильно утверждению, что открытые интервалы

{\ displaystyle (a, b) = \ {x \ mid a <x <b \}}

вместе с указанными выше лучами образуют основу для топологии порядка. Открытые множества в X - это множества, которые представляют собой объединение (возможно, бесконечного множества) таких открытых интервалов и лучей.

Топологическое пространство X называется упорядочиваема , если существует общий порядок на его элементов таким образом, что топология , индуцированная порядок этого порядка и заданной топологии на X совпадают. Топология порядка превращает X в вполне нормальное хаусдорфово пространство .

Стандартные топологии на R , Q , Z и N являются порядковыми топологиями.

Топология индуцированного порядка

Если Y представляет собой подмножество X , X вполне упорядоченное множество, то Y наследует общий заказ от X . Следовательно, множество Y имеет порядковую топологию, индуцированную порядковую топологию . Как подмножество X , Y также имеет топологию подпространства . Топология подпространства всегда по крайней мере так же хороша, как топология индуцированного порядка, но в целом они не одинаковы.

Например, рассмотрим подмножество Y = {–1} ∪ {1 / n } _{n ∈ N} в рациональных числах . При топологии подпространства одноэлементное множество {–1} открыто в Y , но при топологии индуцированного порядка любое открытое множество, содержащее –1, должно содержать все элементы пространства, кроме конечного числа.

Пример подпространства линейно упорядоченного пространства, топология которого не является порядковой топологией

Хотя в предыдущем разделе показано, что топология подпространства Y = {–1} ∪ {1 / n } _{n ∈ N} не порождается индуцированным порядком на Y , тем не менее, это топология порядка на Y ; действительно, в топологии подпространства каждая точка изолирована (т. е. одноэлемент {y} открыт в Y для каждого y в Y ), поэтому топология подпространства - это дискретная топология на Y (топология, в которой каждое подмножество Y является открытым set), а дискретная топология на любом множестве является порядковой топологией. Чтобы определить общий порядок на Y, который генерирует дискретную топологию на Y , просто измените индуцированный порядок на Y , определив -1 как наибольший элемент Y и в противном случае сохраняя тот же порядок для других точек, чтобы в этом новом порядке (называют это сказать , < ₁ ) мы имеем 1 / п < ₁ -1 для всех п ∈ N . Затем, в топологии порядка на Y , порожденный < ₁ , каждая точка Y изолирована в Y .

Мы хотим определить здесь подмножество Z линейно упорядоченного топологического пространства X, такое, что никакой полный порядок на Z не порождает топологию подпространства на Z , так что топология подпространства не будет топологией порядка, даже если это топология подпространства пространства топология которого является порядковой топологией.

Впусти в реальную строчку. Те же аргументы, что и ранее, показывают, что топология подпространства на Z не равна топологии индуцированного порядка на Z, но можно показать, что топология подпространства на Z не может быть равна любой топологии порядка на Z. ${\ Displaystyle Z = \ {- 1 \} \ чашка (0,1)}$

Далее следует аргумент. Предположим от противного, что существует некоторый строгий полный порядок <на Z такой, что топология порядка, порожденная <, равна топологии подпространства на Z (заметим, что мы не предполагаем, что <индуцированный порядок на Z, а скорее произвольно заданный полный порядок на Z, который порождает топологию подпространства). В дальнейшем обозначение интервалов следует интерпретировать относительно отношения <. Кроме того , если и B являются множествами, означает , что для каждого а в A и B в B . ${\ displaystyle A <B}$ ${\ displaystyle a <b}$

Пусть M = Z \ {-1}, единичный интервал. М связан. Если m , n ∈ M и m <-1 < n , то и разделить M ; противоречие. Таким образом, M <{-1} или {-1} < M . Без ограничения общности предположим, что {-1} < M . Поскольку {-1} открыто в Z , существует некоторая точка p в M такая, что интервал (-1, p ) пуст. Так как {-1} < М , мы знаем -1 является единственным элементом Z , который меньше , чем р , так что р является минимумом М . Тогда M \ { p } = A ∪ B , где A и B - непустые открытые и непересекающиеся связные подмножества M (удаление точки из открытого интервала дает два открытых интервала). По связности никакая точка Z \ B не может лежать между двумя точками B , и никакая точка Z \ A не может лежать между двумя точками A. Следовательно, либо A < B, либо B < A . Без ограничения общности предположим, что A < B . Если любая точка А , то р < и ( р , ) A . Тогда (-1, a ) = [ p , a ), поэтому [ p , a ) открыто. { p } ∪ A = [ p , a ) ∪ A , поэтому { p } ∪ A - открытое подмножество M и, следовательно, M = ({ p } ∪ A ) ∪ B - объединение двух непересекающихся открытых подмножеств M, поэтому M несвязно; противоречие. ${\ displaystyle (- \ infty, -1)}$ ${\ displaystyle (-1, \ infty)}$ ${\ displaystyle \ substeq}$

Топологии левого и правого порядка

Можно привести несколько вариантов топологии заказа:

Топологии правого порядка на X есть топология , чья открытых множества состоят из интервалов вида ( , ∞) ( в том числе (-∞, ∞)).
Топология левого порядка на X есть топология , чья открытых множества состоят из интервалов вида (-∞, б ) ( в том числе (-∞, ∞)).

Топологии левого и правого порядков могут использоваться в качестве контрпримеров в общей топологии. Например, топология левого или правого порядка на ограниченном множестве дает пример компактного пространства , которое не является хаусдорфовым.

Топология левого порядка - это стандартная топология, используемая для многих теоретико-множественных целей на булевой алгебре .

Порядковый номер

Для любого порядкового числа λ можно рассматривать пространства порядковых чисел

{\ Displaystyle [0, \ лямбда) = \ {\ альфа \ середина \ альфа <\ лямбда \}}

{\ displaystyle [0, \ lambda] = \ {\ alpha \ mid \ alpha \ leq \ lambda \}}

вместе с топологией естественного порядка. Эти пространства называются порядковыми . (Заметим, что в обычном теоретико-множественном построении порядковых чисел λ = [0, λ ) и λ + 1 = [0, λ ]). Очевидно, что эти пространства представляют наибольший интерес, когда λ - бесконечный ординал; в противном случае (для конечных ординалов) порядковая топология - это просто дискретная топология .

Когда λ = ω (первый бесконечный порядковый), пространство [0, ω) является лишь N с обычной ( по- прежнему дискретной топологией), в то время как [0, ω] является одноточечной компактификацией из N .

Особый интерес представляет случай, когда λ = ω ₁ , множество всех счетных ординалов и первый несчетный ординал . Элемент ω ₁ является предельной точкой подмножества [0, ω ₁ ), хотя ни одна последовательность элементов в [0, ω ₁ ) не имеет элемента ω _{1 в} качестве предела. В частности, [0, ω ₁ ] не является первым счетным . Однако подпространство [0, ω ₁ ) счетно первым, поскольку единственная точка в [0, ω ₁ ] без счетной локальной базы - это ω ₁ . Некоторые дополнительные свойства включают

ни [0, ω ₁ ), ни [0, ω ₁ ] не сепарабельны и не счетны
[0, ω ₁ ] компактно , а [0, ω ₁ ) секвенциально компактно и счетно компактно , но не компактно или паракомпактно.

Топология и порядковые номера

Ординалы как топологические пространства

Любое порядковое число можно превратить в топологическое пространство , наделив его топологией порядка (поскольку порядковый номер, в частности, хорошо упорядоченный, он, в частности, полностью упорядочен ): при отсутствии указания на обратное всегда именно топология этого порядка является имеется в виду, когда порядковый номер рассматривается как топологическое пространство. (Обратите внимание, что если мы готовы принять соответствующий класс в качестве топологического пространства, тогда класс всех ординалов также является топологическим пространством для топологии порядка.)

Множество предельных точек ординала α - это в точности множество предельных ординалов меньших, чем α . Последовательные порядковые номера (и ноль) меньше α являются изолированными точками в α . В частности, конечные ординалы и ω являются дискретными топологическими пространствами, и никакие другие ординалы не являются дискретными. Порядковое α является компактным как топологическим пространство тогда и только тогда , когда α является преемником порядковым .

Замкнутые множества предельного ординала α - это просто замкнутые множества в том смысле, который мы уже определили , а именно те, которые содержат предельный ординал всякий раз, когда они содержат все достаточно большие ординалы ниже него.

Любой порядковый номер, конечно, является открытым подмножеством любого последующего порядкового номера. Мы также можем определить топологию на ординалам следующим образом индуктивного: 0 есть пустое топологическое пространство, α + 1 получается, взяв одну точку компактифи- из & alpha ; , а также для б предельное, δ оснащен индуктивным предельная топология. Заметим, что если α - последовательный ординал, то α компактно, и в этом случае его одноточечная компактификация α +1 является несвязным объединением α и точки.

Как топологические пространства, все ординалы хаусдорфовы и даже нормальны . Они также полностью разъединены (компоненты связности - это точки), разбросаны (каждое непустое подпространство имеет изолированную точку; в этом случае просто возьмите наименьший элемент), нульмерны (топология имеет замкнутый базис : здесь напишите открытый интервал ( β , γ ) как объединение открытых интервалов ( β , γ '+1) = [ β +1, γ '] при γ '< γ ). Однако в общем случае они не являются экстремально разъединенными (существуют открытые множества, например четные числа из ω, замыкание которых не является открытым).

Топологические пространства ω ₁ и его последователи ω ₁ +1 часто используются как учебные примеры несчетных топологических пространств. Например, в топологическом пространстве ω ₁ +1 элемент ω ₁ находится в замыкании подмножества ω _1, даже если никакая последовательность элементов в ω _{1 не} имеет элемента ω _{1 в} качестве предела: элемент в ω ₁ является счетный набор; для любой последовательности таких наборов объединение этих наборов является объединением счетного числа счетных множеств, так что все еще счетно; это объединение является верхней границей элементов последовательности и, следовательно, пределом последовательности, если она есть.

Пространство ω ₁ является первым счетным , но не второго счетно , и ω ₁ + 1 не имеет ни один из этих двух свойств, несмотря на то , компактно . Также стоит отметить, что любая непрерывная функция от ω ₁ до R ( действительная прямая ) в конечном итоге постоянна: поэтому компактификация Стоуна – Чеха ω ₁ равна ω ₁ +1, так же как и ее одноточечная компактификация (в резком контрасте к ω, у которой компактификация Стоуна – Чеха намного больше, чем ω).

Последовательности с порядковым индексом

Если α является предельно и Х представляет собой набор, α -indexed последовательность элементов X означает лишь функцию от & alpha ; к X . Эта концепция, трансфинитная последовательность или последовательность с порядковым индексом , является обобщением концепции последовательности . Обычная последовательность соответствует случаю α = ω.

Если X является топологическим пространством, мы говорим , что α -indexed последовательность элементов X сходится к пределу х , когда он сходится в сети , другими словами, когда для любой окрестности U от х есть порядковое β < α , такие что x _ι принадлежит U для всех ι ≥ β .

Последовательности с порядковым индексом более эффективны, чем обычные (ω-индексированные) последовательности для определения ограничений в топологии: например, ω ₁ ( омега-один , набор всех счетных порядковых чисел и наименьшее несчетное порядковое число) является пределом точка ω ₁ +1 (поскольку это предельный ординал), и, действительно, это предел последовательности, индексированной ω ₁ , которая отображает любой ординал, меньший, чем ω _1, в себя: однако, это не предел любого обычная (ω-индексированная) последовательность в ω ₁ , так как любой такой предел меньше или равен объединению его элементов, которое является счетным объединением счетных множеств, следовательно, само счетное.

Однако последовательности с порядковым индексом недостаточно эффективны, чтобы заменить сети (или фильтры ) в целом: например, на доске Тихонова (пространство продукта ) угловая точка является предельной точкой (она находится в замыкании) открытого подмножество , но это не предел последовательности с порядковым индексом. ${\ Displaystyle (\ омега _ {1} +1) \ раз (\ омега +1)}$ ${\ displaystyle (\ omega _ {1}, \ omega)}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} \ times \ omega}$

Смотрите также

Заметки

^ Стин, стр. 74 .

Languages

In other projects