Предельная точка - Limit point

В математике, предельная точка (или точка кластера или точка накопления ) из множества в топологическом пространстве есть точка , которая может быть «приблизить» точки в том смысле , что каждый район в относительно топологии на также содержит точку из другого , чем себя. Предельная точка набора сама по себе не обязательно должна быть элементом. Существует также тесно связанная концепция последовательностей . Точка кластера или точка накопления из последовательности в топологическом пространстве точка такая , что для каждой окрестности из бесконечно много натуральных чисел , таких , что такое определение кластера или аккумуляции точки последовательности обобщается сеток и фильтров . В отличие от наборов, для последовательности, сети или фильтра термин «предельная точка» не является синонимом «точка кластера / накопления»; по определению одноименное понятие предельной точки фильтра (соответственно, предельной точки последовательности , предельной точки сети ) относится к точке, к которой сходится фильтр (соответственно, к которой сходится последовательность , сеть сходится к ). ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ in V.}$

Не следует путать предельные точки набора с точками прикосновения, для которых каждая окрестность содержит точку . В отличие от предельных точек, эта точка может быть самой собой. Предельную точку можно охарактеризовать как точку сцепления, которая не является изолированной точкой . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$

Предельные точки набора также не следует путать с граничными точками . Например, является граничной точкой (но не является предельной точкой) множества в с стандартной топологией . Однако это предельная точка (но не граничная) интервала в стандартной топологии (менее тривиальный пример предельной точки см. В первом заголовке). ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle 0.5}$ ${\ displaystyle [0,1]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Эта концепция выгодно обобщает понятие предела и лежит в основе таких понятий, как замкнутое множество и топологическое замыкание . В самом деле, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, а операцию топологического замыкания можно рассматривать как операцию, которая обогащает множество, объединяя его с его предельными точками.

Что касается обычной евклидовой топологии , последовательность рациональных чисел не имеет предела (т.е. не сходится), но имеет две точки накопления (которые здесь считаются предельными точками ), а именно. -1 и +1. Таким образом, если думать о множествах, эти точки являются предельными точками множества.

{\ displaystyle x_ {n} = (- 1) ^ {n} {\ frac {n} {n + 1}}}

{\ Displaystyle S = \ {x_ {n} \}.}

Определение

Очки накопления набора

Позвольте быть подмножеством топологического пространства . Точка в является предельной точкой или точкой кластера или ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ предельная точка множества , если каждаяокрестностьизсодержитпо меньшей мереодин пунктотличается отсамой себя. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$

Не имеет значения, если мы ограничим условие только открытыми окрестностями. Часто бывает удобно использовать форму определения «открытой окрестности», чтобы показать, что точка является предельной точкой, и использовать форму определения «общей окрестности» для получения фактов из известной предельной точки.

Если - пространство (например, метрическое пространство ), то является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит бесконечно много точек. Фактически, пространства характеризуются этим свойством. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$

Если это Фреш-Урысон (который все метрические пространства и первый счетные пространства есть), то есть предельная точка тогда и только тогда , когда существует последовательность точек , в которых предел является На самом деле, Фреш-Урысон характеризуются это свойство. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S \ setminus \ {х \}}$ ${\ displaystyle x.}$

Множество предельных точек называется производное множество из ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S.}$

Типы накопительных баллов

Если каждая окрестность точки содержит бесконечно много точек, то это особый тип предельной точки, называемый ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle x}$ ω-предельная точка из ${\ displaystyle S.}$

Если каждая окрестность содержит несчетное множество точек , то есть тип специфики предельной точки называется точкой конденсации из ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S.}$

Если каждая окрестность из удовлетворяет то тип специфики предельной точки называется ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ влево | U \ крышка S \ вправо | = \ влево | S \ вправо |,}$ ${\ displaystyle x}$ полная точка накопления из ${\ displaystyle S.}$

Точки накопления последовательностей и сетей

Последовательность, перечисляющая все положительные рациональные числа . Каждое положительное действительное число является точкой кластера.

В топологическом пространстве точка называется точкой кластера или ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ предельная точка последовательности , если для любыхокрестностейизбесконечно многотакихчто это эквивалентно сказатьчто для каждых окрестностейизи каждыхесть некоторыетакиечто еслиэтометрическое пространствоилипервое-счетного пространство(или,более общем,пространство Фреше – Урысона), тоявляется кластерной точкойтогда и только тогда, когдаявляется пределом некоторой подпоследовательности . Множество всех кластерных точек последовательности иногда называютпредельным множеством. ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ in V.}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n_ {0} \ in \ mathbb {N},}$ ${\ displaystyle n \ geq n_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ in V.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet}.}$

Обратите внимание, что уже существует понятие предела последовательности, означающее точку, к которой сходится последовательность (то есть каждая окрестность точки содержит все, кроме конечного числа элементов последовательности). Вот почему мы не используем термин « предельная точка последовательности» как синоним точки накопления последовательности. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Понятие сети обобщает идею последовательности . Сеть - это функция, где - направленное множество и является топологическим пространством. Точка называется кластерной точкой или ${\ displaystyle f: (P, \ leq) \ к X,}$ ${\ displaystyle (P, \ leq)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ Накопление точка сети , если для каждойокрестностиизи каждыйесть некоторыетакиечтоэквивалентно, еслиестьподсетькоторая сходится кточкам кластера в сети охватывал идею обеих точек сгущения и точек ω-накопительные. Дляфильтровтакже определены точки кластеризации и ограничения. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle p_ {0} \ in P,}$ ${\ displaystyle p \ geq p_ {0}}$ ${\ displaystyle f (p) \ in V,}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x.}$

Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления набора

Каждая последовательность в по определению является просто картой, поэтому ее изображение можно определить обычным образом. ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: \ mathbb {N} \ to X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} x _ {\ bullet}: = \ left \ {x_ {n}: n \ in \ mathbb {N} \ right \}}$

Если существует элемент, который встречается в последовательности бесконечно много раз, это точка накопления последовательности. Но не обязательно быть точкой накопления соответствующего набора. Например, если последовательность является постоянной последовательностью со значением, которое мы имеем, и является изолированной точкой, а не точкой накопления ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} x _ {\ bullet}.}$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} x _ {\ bullet} = \ {x \}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} x _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} x _ {\ bullet}.}$

Если ни один элемент не встречается в последовательности бесконечно много раз, например, если все элементы различны, любая точка накопления последовательности является точкой накопления связанного набора. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} x _ {\ bullet}.}$

И наоборот, учитывая счетное бесконечное множество в, мы можем перечислить все элементы множеством способов, даже с повторениями, и, таким образом, связать с ним множество последовательностей, которые будут удовлетворять ${\ displaystyle A \ substeq X}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle A = \ operatorname {Im} x _ {\ bullet}.}$

Любая точка накопления является точкой накопления любой из соответствующих последовательностей (поскольку любая окрестность точки будет содержать бесконечно много элементов и, следовательно, также бесконечно много членов в любой связанной последовательности). ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$

Точка, которая не является точкой накопления, не может быть точкой накопления какой-либо из ассоциированных последовательностей без бесконечных повторов (потому что имеет окрестность, которая содержит только конечное количество (возможно, даже ни одной) точек, и эта окрестность может содержать только конечное количество членов таких последовательностей). ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle A}$

Характеристики

Каждый предел непостоянной последовательности является точкой накопления последовательности. И по определению каждая предельная точка является точкой привязки .

Замыкание множества - это несвязное объединение его предельных и изолированных точек : ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (S)}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle L (S)}$ ${\ Displaystyle I (S)}$

{\ Displaystyle \ OperatorName {cl} (S) = L (S) \ чашка I (S), L (S) \ cap I (S) = \ varnothing.}

Точка является предельной точкой тогда и только тогда , когда он находится в замыкании на ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle S \ substeq X}$ ${\ Displaystyle S \ setminus \ {x \}.}$

Доказательство

Мы используем тот факт, что точка находится в замыкании множества, тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки встречается с множеством. Теперь, является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку, отличную от того и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку тогда и только тогда, когда находится в замыкании ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle S \ setminus \ {х \},}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle S \ setminus \ {x \}.}$

Если мы будем использовать для обозначения множества предельных точек , то мы имеем следующую характеристику закрытия : Закрытие равно объединению и этот факт иногда берется как определение о закрытии . ${\ Displaystyle L (S)}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle L (S).}$

Доказательство

("Левое подмножество") Предположим, что в замыкании If находится в, мы закончили. Если не находится в, то каждая окрестность содержит точку, а эта точка не может быть. Другими словами, является предельной точкой и находится в ("Правом подмножестве"). Если находится в, то каждая окрестность явно соответствует, поэтому находится в замыкании Если находится в, то каждая окрестность содержит точку (кроме ), поэтому снова в замыкании. Это завершает доказательство. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle L (S).}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle L (S),}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S.}$

Следствие этого результата дает нам характеристику замкнутых множеств: множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. ${\ displaystyle S}$

Доказательство

Доказательство 1: замкнуто тогда и только тогда, когда равно его закрытию тогда и только тогда, когда и только если содержится в ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S = S \ чашка L (S)}$ ${\ Displaystyle L (S)}$ ${\ displaystyle S.}$

Доказательство 2: Пусть замкнутое множество и предельная точка If не в том дополнении к включает открытую окрестность С является предельной точкой любых открытых окрестностей должна иметь непустое пересечение с Тем не менее, множество не может имеют нетривиальное пересечение со своим дополнением. Наоборот, accept содержит все свои предельные точки. Мы покажем, что дополнение является открытым множеством. Пусть точка в дополнении По предположению, не является предельной точкой, и , следовательно , существует открытая окрестность о том , что не пересекаются и поэтому целиком лежит в дополнении Поскольку это рассуждение справедливо для произвольного в дополнении дополнения можно выразить как объединение открытых окрестностей точек в дополнении. Следовательно, дополнение к открыто. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle S}$

Никакая изолированная точка не является предельной точкой какого-либо множества.

Доказательство
Если - изолированная точка, то это окрестность , не содержащая других точек, кроме ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ {х \}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x.}$

Пространство является дискретным тогда и только тогда , когда нет подмножества не имеет предельную точку. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Доказательство

Если дискретно, то каждая точка изолирована и не может быть предельной точкой какого-либо множества. И наоборот, если не дискретный, то есть одноэлементный, который не открыт. Следовательно, каждая открытая окрестность содержит точку, а значит , и предельную точку ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ {х \}}$ ${\ Displaystyle \ {х \}}$ ${\ displaystyle y \ neq x,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X.}$

Если пространство имеет тривиальную топологию и является подмножеством с более чем одним элементом, то все элементы являются предельными точками. Если одноэлементное пространство, то каждая точка является предельной точкой пространства. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle X \ setminus S}$ ${\ displaystyle S.}$

Доказательство
Пока он непустой, его закрытие будет пустым только тогда, когда оно пусто или является уникальным элементом ${\ Displaystyle S \ setminus \ {х \}}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S.}$

Смотрите также

Точка привязки - точка, которая принадлежит замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
Точка конденсации
Конвергентный фильтр
Производное множество (математика)
Фильтры в топологии - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
Изолированная точка
Предел функции - точка, к которой сходятся функции в топологии.
Предел последовательности - значение, к которому "стремятся" элементы последовательности.
Subsequential limit - Предел некоторой подпоследовательности

Цитаты

использованная литература

Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
"Предельная точка множества" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects

Предельная точка - Limit point

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Очки накопления набора

Типы накопительных баллов

Точки накопления последовательностей и сетей

Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления набора

Характеристики

Смотрите также

Цитаты

использованная литература