Пространство Фреше – Урысона - Fréchet–Urysohn space

В области топологии , Фреш-Урысон является топологическим пространством с тем свойством , что для любого подмножества замыкания в ин идентично последовательное закрытие в Фреше-Урысон представляет собой особый типа последовательного пространства . ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ substeq X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X.}$

Пространства Фреше – Урысона - это наиболее общий класс пространств, для которых достаточно последовательностей, чтобы определить все топологические свойства подмножеств пространства. То есть пространства Фреше – Урысона - это как раз те пространства, для которых знание того, какие последовательности сходятся к каким пределам (а какие нет), достаточно, чтобы полностью определить топологию пространства. Каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством, но не наоборот.

Пространство названо в честь Мориса Фреше и Павла Урысона .

Определения

Позвольте быть топологическим пространством . Последовательное закрытие из ин является набор: ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ operatorname {SeqCl} S: & = \ left [S \ right] _ {\ operatorname {seq}}: = \ left \ {x \ in X ~: ~ { \ text {существует последовательность}} s _ {\ bullet} = \ left (s_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty} \ substeq S {\ text {in}} S {\ text {такой, что}} s _ {\ bullet} \ to x {\ text {in}} (X, \ tau) \ right \} \ end {alignat}}}$

где или может быть написано, если требуется ясность. ${\ displaystyle \ operatorname {SeqCl} _ {X} S}$${\ displaystyle \ operatorname {SeqCl} _ {(X, \ tau)} S}$

Топологическое пространство называется пространством Фреше – Урысона, если ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {X} S = \ operatorname {SeqCl} _ {X} S}$

для каждого подмножества , где обозначает замыкание на в${\ Displaystyle S \ substeq X,}$${\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {X} S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (X, \ tau).}$

Последовательно открытые / закрытые наборы

Предположим, что любое подмножество последовательности A в конечном итоге находится в, если существует положительное целое число такое, что для всех индексов (т.е. целых чисел)${\ Displaystyle S \ substeq X}$${\ displaystyle X.}$${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x_ {i} \ in S}$${\ displaystyle i \ geq N.}$

Набор называется последовательно открытым, если каждая последовательность в нем сходится к точке, в которой в конечном итоге находится ; Обычно, если понимается, пишется вместо${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ влево (х_ {я} \ вправо) _ {я = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {SeqCl} S}$${\ displaystyle \ operatorname {SeqCl} _ {X} S.}$

Множество называется последовательно замкнутым, если или эквивалентно, если всякий раз, когда последовательность сходится к, то также должно быть в . Дополнение к последовательно открытому множеству является последовательно замкнутым множеством, и наоборот. ${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle S = \ OperatorName {SeqCl} _ {X} S,}$${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S.}$

Позволять

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ operatorname {SeqOpen} (X, \ tau): & = \ left \ {S \ substeq X ~: ~ S {\ text {последовательно открывается в}} (X , \ tau) \ right \} \\ & = \ left \ {S \ substeq X ~: ~ S = \ operatorname {SeqInt} _ {(X, \ tau)} S \ right \} \\\ end {выровнено }}}$

обозначают множество всех последовательно открытых подмножеств, где это может быть обозначено, если топология понятна. Множество является топология на который тоньше , чем исходная топология Каждых открытые (соотва. Замкнутое) подмножество является последовательно открытой (соответственно последовательно замкнуто), откуда следует , что ${\ Displaystyle (Х, \ тау),}$${\ displaystyle \ operatorname {SeqOpen} X}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ OperatorName {SeqOpen} (X, \ tau)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ tau.}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ tau \ substeq \ operatorname {SeqOpen} (X, \ tau).}$

Сильное пространство Фреше – Урысона.

Топологическое пространство является сильным Фреше-Урысона , если для каждой точки и каждой последовательности подмножеств пространства таким образом, что существует последовательность в таким образом, что для каждого и в указанных выше свойств могут быть выражены как принципов отбора . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in \ bigcap _ {n} {\ overline {A_ {n}}},}$${\ Displaystyle \ влево (а_ {я} \ вправо) _ {я = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a_ {i} \ in A_ {i}}$${\ Displaystyle я \ в \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ left (a_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty} \ to x}$${\ displaystyle (X, \ tau).}$

Контраст с последовательными пробелами

Каждое открытое подмножество последовательно открыто, а каждое закрытое множество последовательно закрывается. Однако обратное в целом неверно. Пространства, для которых верно обратное, называются последовательными пространствами ; то есть последовательное пространство - это топологическое пространство, в котором каждое последовательно открытое подмножество обязательно открыто, или, что эквивалентно, это пространство, в котором каждое последовательно замкнутое подмножество обязательно закрыто. Каждое пространство Фреше-Урысона является секвенциальным пространством, но есть секвенциальные пространства, которые не являются пространствами Фреше-Урысона. ${\ displaystyle X}$

Последовательные пространства (соответственно пространства Фреше-Урысона) можно рассматривать / интерпретировать как именно те пространства, в которых для любого заданного подмножества знания о том, какие последовательности сходятся в какой точке (точках) (а какие нет), достаточно, чтобы определить, действительно ли не замкнуто в (соотв. , достаточно определить замыкание в в ). Таким образом, последовательные пробелы - это те пробелы, для которых последовательности в могут использоваться в качестве «теста», чтобы определить, открыто ли какое-либо данное подмножество (или, что эквивалентно, закрыто) в ; или, иначе говоря, секвенциальные пространства - это те пространства, топологии которых можно полностью охарактеризовать в терминах сходимости последовательностей. В любом пространстве, не последовательно, существует подмножество , для которого этот «тест» дает « ложный положительный результат .» ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ substeq X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Характеристики

Если - топологическое пространство, то следующие условия эквивалентны: ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$

1. ${\ displaystyle X}$ является пространством Фреше – Урысона.
2. Определение: для каждого подмножества${\ displaystyle \ operatorname {SeqCl} _ {X} S ~ = ~ \ operatorname {Cl} _ {X} S}$${\ Displaystyle S \ substeq X.}$
3. ${\ displaystyle \ operatorname {SeqCl} _ {X} S ~ \ supseteq ~ \ operatorname {Cl} _ {X} S}$ для каждого подмножества ${\ Displaystyle S \ substeq X.}$
   • Это утверждение эквивалентно определению выше, потому что всегда выполняется для каждого${\ displaystyle \ operatorname {SeqCl} _ {X} S ~ \ substeq ~ \ operatorname {Cl} _ {X} S}$${\ Displaystyle S \ substeq X.}$
4. Каждое подпространство является последовательным пространством .${\ displaystyle X}$
5. Для любого подмножества , которое не замкнуто, и для каждого существует последовательность , сходящаяся к${\ Displaystyle S \ substeq X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ in \ left (\ operatorname {Cl} _ {X} S \ right) \ setminus S,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x.}$
   • Сравните это условие со следующей характеристикой последовательного пространства :

   Для любого подмножества , которое

   не замкнуто в существует некоторое , для которого существует последовательность в которая сходится к${\ Displaystyle S \ substeq X}$${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle x \ in \ left (\ operatorname {Cl} _ {X} S \ right) \ setminus S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x.}$
   • Эта характеризация означает, что каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством.

Приведенная ниже характеристика показывает, что среди хаусдорфовых секвенциальных пространств пространства Фреше – Урысона - это как раз те, для которых всегда может быть найдена « конфинальная сходящаяся диагональная последовательность», где эта «диагональная последовательность» является топологическим аналогом, который по духу похож на диагональ последовательности, которые используются в аргументах диагонализации , за исключением того, что некоторые последовательности могут быть «пропущены» диагональной последовательностью. ${\ displaystyle x_ {l} ^ {\ bullet}}$

Если это последовательное пространство Хаусдорфа, то следующие условия эквивалентны: ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$

1. ${\ displaystyle X}$ является пространством Фреше – Урысона.
2. Если - это последовательность с бесконечным изображением (или "диапазоном"), которые сходятся к некоторым, а если для каждого - это последовательность, которая сходится к тому месту, где эти гипотезы можно резюмировать на следующей диаграмме.${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {l} \ right) _ {l = 1} ^ {\ infty} \ substeq X}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle l \ in \ mathbb {N},}$ ${\ displaystyle x_ {l} ^ {\ bullet} = \ left (x_ {l} ^ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty} \ substeq X}$${\ displaystyle x_ {l},}$
   
   

   ${\ displaystyle {\ begin {alignat} {11} & x_ {1} ^ {1}, ~~ & x_ {1} ^ {2}, ~~ & x_ {1} ^ {3}, ~~ & x_ {1} ^ {4}, ~~ & x_ {1} ^ {5}, ~~ & \ ldots ~~ & x_ {1} ^ {i}, ~~ \ ldots ~~ & \ to ~~ & x_ {1} \\ [1.2 пример] & x_ {2} ^ {1}, ~~ & x_ {2} ^ {2}, ~~ & x_ {2} ^ {3}, ~~ & x_ {2} ^ {4}, ~~ & x_ {2} ^ {5}, ~~ & \ ldots ~~ & x_ {2} ^ {i}, ~~ \ ldots ~~ & \ to ~~ & x_ {2} \\ [1.2ex] & x_ {3} ^ {1} , ~~ & x_ {3} ^ {2}, ~~ & x_ {3} ^ {3}, ~~ & x_ {3} ^ {4}, ~~ & x_ {3} ^ {5}, ~~ & \ ldots ~~ & x_ {3} ^ {i}, ~~ \ ldots ~~ & \ to ~~ & x_ {3} \\ [1.2ex] & x_ {4} ^ {1}, ~~ & x_ {4} ^ {2 }, ~~ & x_ {4} ^ {3}, ~~ & x_ {4} ^ {4}, ~~ & x_ {4} ^ {5}, ~~ & \ ldots ~~ & x_ {4} ^ {i} , ~~ \ ldots ~~ & \ to ~~ & x_ {4} \\ [0.5ex] &&& \; \, \ vdots &&&& \; \, \ vdots && \; \, \ vdots \\ [0.5ex] & x_ {l} ^ {1}, ~~ & x_ {l} ^ {2}, ~~ & x_ {l} ^ {3}, ~~ & x_ {l} ^ {4}, ~~ & x_ {l} ^ {5 }, ~~ & \ ldots ~~ & x_ {l} ^ {i}, ~~ \ ldots ~~ & \ to ~~ & x_ {l} \\ [0.5ex] &&& \; \, \ vdots &&&& \; \ , \ vdots && \; \, \ vdots \\ &&&&&&&&& \, \ downarrow \\ &&&&&&&& ~~ & \; x \\\ конец {выровнено}}}$

   то существуют карты с строго возрастает таким образом, что${\ displaystyle \ iota, \ lambda: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ left (x _ {\ lambda (n)} ^ {\ iota (n)} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty} \ to x.}$
   • Предполагается, что вся сходимость имеет место в .${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$
   • Поскольку последовательность в по определению является просто картой формы, последовательность «
   имеющая бесконечное изображение » означает в точности то, что множество бесконечно. Если не обладает этим свойством, то оно обязательно будет в конечном итоге постоянным со значением, и в этом случае существование отображений с желаемыми свойствами легко проверяется для этого частного случая (даже если это не пространство Фреше – Урысона).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {N} \ to X,}$${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {l} \ right) _ {l = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} x _ {\ bullet}: = \ left \ {x_ {l}: l \ in \ mathbb {N} \ right \}}$${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle \ iota, \ lambda: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$
3. Утверждение (2), но с дополнительным требованием, которое также строго возрастает. ${\ displaystyle \ iota: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$
   • Короче говоря, это условие гарантирует, что если и если для каждого, то существует подпоследовательность сети, которая сходится к (здесь «подпоследовательность» означает подсеть, которая также является последовательностью). Обратите внимание, что в целом нет гарантии, что сеть сойдется (или даже к любой точке).${\ Displaystyle х _ {\ пуля} \ к х}$${\ displaystyle l \ in \ mathbb {N},}$ ${\ displaystyle x_ {l} ^ {\ bullet} \ to x_ {l},}$ ${\ displaystyle \ left (x_ {l} ^ {i} \ right) _ {(l, i) \ in \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ left (x_ {l} ^ {i} \ right) _ {(l, i) \ in \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle x}$
4. Утверждение (3), но с дополнительным требованием, чтобы ${\ displaystyle \ iota> \ lambda.}$

Характеристики

Каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством, хотя обратное утверждение в общем случае неверно.

Если локально выпуклое топологическое векторное пространство Хаусдорфа является пространством Фреше-Урысона, то оно равно конечной топологии на, индуцированной множеством всех дуг, в которых по определению есть непрерывные пути , которые также являются топологическими вложениями . ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {Arc} \ left ([0,1]; X \ right)}$${\ Displaystyle (Х, \ тау),}$ ${\ Displaystyle [0,1] \ к (Х, \ тау)}$

Примеры

Каждое пространство с первой счетностью является пространством Фреше – Урысона. Следовательно, каждое пространство , имеющее счетность до второго , любое метризуемое пространство и любое псевдометризуемое пространство является пространством Фреше – Урысона. Отсюда также следует, что всякое топологическое пространство на конечном множестве является пространством Фреше – Урысона. ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ displaystyle X}$

Метризуемые непрерывные двойственные пространства

Метризуемый локально выпуклое топологическое векторное пространство (ТВС) (например, пространство Фреше ) является нормируемым пространством тогда и только тогда , когда его сильное сопряженное пространство Фреше-Урысона, или , что эквивалентно, тогда и только тогда , когда это пространство нормируемым. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$

Последовательные пространства, не являющиеся Фреше – Урысоном

Прямой предел конечномерных евклидовых пространств

Пространство конечных вещественных последовательностей является хаусдорфовым последовательным пространством, не Фреш-Урысон. Для каждого целого числаидентифицируютс набором,где последнееявным образомявляется подмножеством пространства последовательностей действительных чисел, элементыиидентифицируются вместе. В частности,может быть идентифицировано как подмножествои, в более общем смысле, как подмножестводля любого целого числа.Пусть ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle п \ geq 1,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ {\ left (0,0,0, \ ldots \ right) \} = \ left \ {\ left (x_ {1}, \ ldots, x_ { n}, 0,0,0, \ ldots \ right) ~: ~ x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ in \ mathbb {R} \ right \},}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}};}$${\ displaystyle \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, 0,0,0, \ ldots \ right)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п + 1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ substeq \ mathbb {R} ^ {n + k}}$${\ Displaystyle к \ geq 0.}$

${\ Displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ mathbb {R} ^ {\ infty}: = \ left \ {\ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} ~: ~ {\ text {все, кроме конечного числа}} x_ {i} {\ text {равны}} 0 \ right \} = \ bigcup _ {n = 1 } ^ {\ infty} \ mathbb {R} ^ {n}. \ end {alignat}}}$

Приведите его обычную топологию, в которой подмножество открыто (соответственно замкнуто) тогда и только тогда, когда для каждого целого числа это множество является открытым (соответственно замкнутым) подмножеством (с ним обычной евклидовой топологии ). Если и является последовательностью в then in тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число такое, что оба и содержатся в и в Из этих фактов следует, что это последовательное пространство. Для каждого целого числа пусть обозначает открытый шар радиуса (в евклидовой норме ) с центром в начале координат. Пусть Тогда замыкание есть это все , но происхождение из ничего не принадлежит к последовательному закрытию в самом деле, можно показать , что ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ tau,}$${\ Displaystyle S \ substeq \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle п \ geq 1,}$${\ Displaystyle S \ cap \ mathbb {R} ^ {n} = \ left \ {\ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) ~: ~ \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, 0,0, \ ldots \ right) \ in S \ right \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle v _ {\ bullet}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle v _ {\ bullet} \ to v}$${\ Displaystyle \ влево (\ mathbb {R} ^ {\ infty}, \ тау \ вправо)}$${\ Displaystyle п \ geq 1}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v _ {\ bullet}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle v _ {\ bullet} \ to v}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\ Displaystyle \ влево (\ mathbb {R} ^ {\ infty}, \ тау \ вправо)}$${\ Displaystyle п \ geq 1,}$${\ displaystyle B_ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle 1 / n}$${\ displaystyle S: = \ mathbb {R} ^ {\ infty} \, \ setminus \, \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {n}.}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ влево (\ mathbb {R} ^ {\ infty}, \ тау \ вправо)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle (0,0,0, \ ldots)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ left (\ mathbb {R} ^ {\ infty}, \ tau \ right).}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty} = \ operatorname {Cl} _ {\ mathbb {R} ^ {\ infty}} S ~ \ neq ~ \ operatorname {SeqCl} _ {\ mathbb {R} ^ {\ infty}} S = \ mathbb {R} ^ {\ infty} \ setminus \ left \ {(0,0,0, \ ldots) \ right \}.}$

Это доказывает, что пространство не является пространством Фреше – Урысона. ${\ Displaystyle \ влево (\ mathbb {R} ^ {\ infty}, \ тау \ вправо)}$

Montel DF-пространства

Каждое бесконечномерное DF-пространство Монтеля является секвенциальным пространством, но не пространством Фреше – Урысона.

Пространство Шварца и пространство гладких функций${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$

Следующие широко используемые пространства являются яркими примерами секвенциальных пространств, которые не являются пространствами Фреше – Урысона. Обозначим через пространство Шварца и пусть обозначим пространство гладких функций на открытом подмножестве, где оба этих пространства имеют свои обычные топологии пространства Фреше , как определено в статье о распределениях . Как и , а также сильный двойственны оба этих пространства, являются полным ядерными MONTEL ultrabornological пространства, что предполагает , что все четыре из этих локально выпуклых пространств также паракомпактные нормальных рефлексивные бочечны пространства . Сильные двойственные пространства к обоим и являются секвенциальными пространствами, но ни одно из этих двойственных пространств не является пространством Фреше-Урысона . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U),}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$

Смотрите также

• Аксиомы счетности
• Первое счетное пространство  - Топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетный базис окрестности.
• Предельная точка  - точка x в топологическом пространстве, все окрестности которой содержат некоторую другую точку в данном подмножестве, отличную от x.
• Последовательность покрывающих карт
• Последовательное пространство  - топологическое пространство , которое можно охарактеризовать в терминах последовательностей.

Примечания

Цитаты

использованная литература

• Архангельский А.В., Понтрягин Л.С. Общая топология I , Springer-Verlag, Нью-Йорк (1990) ISBN  3-540-18178-4 .
• Бут П.И., Тиллотсон А. Моноидальные замкнутые, декартовы замкнутые и удобные категории топологических пространств Pacific J. Math., 88 (1980) с. 35–53.
• Энгелькинг, Р. Общая топология , Хельдерманн, Берлин (1989). Исправленное и дополненное издание.
• Франклин, С.П., " Пространства, в которых достаточно последовательностей ", Фонд. Математика. 57 (1965), 107-115.
• Франклин, С.П., " Пространства, в которых достаточно последовательностей II ", Фонд. Математика. 61 (1967), 51-56.
• Горхэм, Энтони, " Последовательная сходимость в топологических пространствах "
• Стинрод, Н. Е., Удобная категория топологических пространств , Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .