Измерение продукта - Product measure

В математике , учитывая два измеримых пространства и меры по ним, можно получить продукт измеримого пространства и меру продукта на этом пространстве. Концептуально, это похоже на определение декартово произведение из множеств и топологией произведения двух топологических пространств, за исключением того, что может быть много естественным выбором для измерения продукта.

Пусть и - два измеримых пространства , то есть, и являются сигма-алгебрами на и соответственно, и пусть и - меры на этих пространствах. Обозначим через сигма-алгебру на декартовом произведении, порожденную подмножествами вида , где и Эта сигма-алгебра называется σ-алгеброй тензорного произведения на пространстве произведений. ${\ displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})}$${\ displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle \ mu _ {1}}$${\ displaystyle \ mu _ {2}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1} \ otimes \ Sigma _ {2}}$ ${\ displaystyle X_ {1} \ times X_ {2}}$${\ displaystyle B_ {1} \ times B_ {2}}$${\ displaystyle B_ {1} \ in \ Sigma _ {1}}$${\ displaystyle B_ {2} \ in \ Sigma _ {2}.}$

Мера продукта определяется как мера на измеримом пространстве со свойством ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ times \ mu _ {2}}$${\ displaystyle (X_ {1} \ times X_ {2}, \ Sigma _ {1} \ otimes \ Sigma _ {2})}$

${\ displaystyle (\ mu _ {1} \ times \ mu _ {2}) (B_ {1} \ times B_ {2}) = \ mu _ {1} (B_ {1}) \ mu _ {2} (БИ 2})}$

для всех

${\ Displaystyle B_ {1} \ in \ Sigma _ {1}, \ B_ {2} \ in \ Sigma _ {2}}$.

(При умножении мер, некоторые из которых бесконечны, мы определяем произведение равным нулю, если какой-либо коэффициент равен нулю.)

В самом деле, когда пространства -конечные, мера продукта однозначно определена, и для каждых измеримых множества Е , ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle (\ mu _ {1} \ times \ mu _ {2}) (E) = \ int _ {X_ {2}} \ mu _ {1} (E ^ {y}) \, d \ mu _ {2} (y) = \ int _ {X_ {1}} \ mu _ {2} (E_ {x}) \, d \ mu _ {1} (x),}$

где и , которые являются измеримыми множествами. ${\ displaystyle E_ {x} = \ {y \ in X_ {2} | (x, y) \ in E \}}$${\ displaystyle E ^ {y} = \ {x \ in X_ {1} | (x, y) \ in E \}}$

Существование этой меры гарантирует теорема Хана – Колмогорова . Уникальность измерения продукта гарантируется только в том случае, как и являются σ-конечной . ${\ Displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1}, \ mu _ {1})}$${\ Displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2}, \ mu _ {2})}$

В борелевские меры на евклидовом пространстве R ^п могут быть получены как произведение п экземпляров борелевскими мер на вещественной прямой R .

Даже если два фактора пространства продукта являются полными пространствами измерения, пространство продукта может не быть. Следовательно, процедура пополнения необходима для расширения меры Бореля до меры Лебега или для расширения произведения двух мер Лебега, чтобы получить меру Лебега на пространстве произведения.

Конструкция, противоположная формированию продукта двух мер, - это дезинтеграция , которая в некотором смысле «разбивает» данную меру на семейство мер, которые можно интегрировать, чтобы получить исходную меру.

Примеры

• Для двух пространств с мерой всегда существует единственная максимальная мера произведения μ _max на их произведении, обладающая тем свойством, что если μ _max ( A ) конечна для некоторого измеримого множества A , то μ _max ( A ) = μ ( A ) для любого мера продукта μ. В частности, его значение на любом измеряемом наборе, по крайней мере, равно значению любого другого показателя продукта. Это мера, произведенная теоремой Каратеодори о продолжении .
• Иногда также существует единственная мера минимального произведения μ _min , задаваемая формулой μ _min ( S ) = sup _{A ⊂ S , μ max ( A ) конечным} μ _max ( A ), где A и S считаются измеримыми.
• Вот пример, когда продукт имеет более одного показателя продукта. Возьмем произведение X × Y , где X - это единичный интервал с мерой Лебега, а Y - это единичный интервал со счетной мерой и всеми измеримыми множествами. Тогда для меры минимального произведения мерой множества является сумма мер его горизонтальных секций, в то время как для меры максимального произведения мерой множества является бесконечность меры, если только оно не содержится в объединении счетного числа множеств вида A × B , где либо A имеет меру Лебега 0, либо B - одна точка. (В этом случае мера может быть конечной или бесконечной.) В частности, диагональ имеет меру 0 для меры минимального произведения и меру бесконечности для меры максимального произведения.

Смотрите также

• Теорема Фубини

Ссылки

• Лоэв, Мишель (1977). «8.2. Продуктовые меры и повторные интегралы». Теория вероятностей т. Я (4-е изд.). Springer. С. 135–137. ISBN 0-387-90210-4.
• Халмос, Пол (1974). «35. Товарная мера». Теория меры . Springer. С.  143–145 . ISBN 0-387-90088-8.

Эта статья включает в себя материал из Product measure на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .