Польское пространство - Polish space

В математической дисциплине общей топологии , польское пространство является разъемным полностью метризуемым топологическим пространством ; то есть пространство гомеоморфно к полному метрическому пространству , которое имеет счетное плотное подмножество. Польские пространства названы так потому, что они были впервые всесторонне изучены польскими топологами и логиками - Серпинским , Куратовским , Тарским и другими. Однако сегодня польские пространства в основном изучаются, потому что они являются основным местом для описательной теории множеств , включая изучение борелевских отношений эквивалентности . Польские пространства также удобны для более продвинутой теории меры , в частности, теории вероятностей .

Типичными примерами польских пространств являются вещественная линия , любое разделимое банахово пространство , пространство Кантора и пространство Бэра . Кроме того, некоторые пространства, которые не являются полными метрическими пространствами в обычной метрике, могут быть польскими; например, открытый интервал (0, 1) - польский.

Между любыми двумя несчетными польскими пространствами существует борелевский изоморфизм ; то есть биекция , сохраняющая борелевскую структуру. В частности, каждое бесчисленное польское пространство имеет мощность континуума .

Пространства Люсина , Суслина и Радона являются обобщениями польских пространств.

Характеристики

  1. Каждое польское пространство является вторым счетным (в силу его сепарабельности метризуемости).
  2. ( Теорема Александрова ) Если X польский то и любого G & delta подмножество X .
  3. Подпространство Q польского пространство P является польской тогда и только тогда , когда Q представляет собой пересечение последовательности открытых подмножеств P . (Это обратная теореме Александрова.)
  4. ( Теорема Кантора-Бендиксон ) Если X является польский , то любое замкнутое подмножество X можно записать в виде несвязного объединения в виде совершенного множества и счетного множества. Далее, если польское пространство X несчетно, его можно записать как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного открытого множества.
  5. Каждое польское пространство гомеоморфно G δ -подмножеству гильбертова куба (то есть I N , где I - единичный интервал, а N - множество натуральных чисел).

Следующие пробелы являются польскими:

  • замкнутые подмножества польского пространства,
  • открытые подмножества польского пространства,
  • произведения и непересекающиеся объединения счетных семейств польских пространств,
  • локально компактные пространства, метризуемые и счетные на бесконечности ,
  • счетные пересечения польских подпространств хаусдорфова топологического пространства,
  • множество иррациональных чисел с топологией, индуцированной стандартной топологией вещественной прямой.

Характеристика

Существует множество характеризаций, которые говорят о метризуемости топологического пространства с подсчетом секунд, например , теорема Урысона о метризации . Проблема определения, является ли метризуемое пространство полностью метризуемым, сложнее. Топологические пространства, такие как открытый единичный интервал (0,1), могут иметь как полные, так и неполные метрики, порождающие их топологию.

Существует характеристика полных сепарабельных метрических пространств в терминах игры, известной как сильная игра Шоке . Разделимое метрическое пространство полностью метризуемо тогда и только тогда, когда у второго игрока есть выигрышная стратегия в этой игре.

Вторая характеризация следует из теоремы Александрова. Он утверждает, что сепарабельное метрическое пространство полностью метризуемо тогда и только тогда, когда оно является подмножеством своего пополнения в исходной метрике.

Польские метрические пространства

Хотя польские пространства метризуемы, они не являются метрическими пространствами сами по себе ; каждое польское пространство допускает множество полных метрик, порождающих одну и ту же топологию, но ни одна из них не выделяется или не выделяется. Польское пространство с выделенной полной метрикой называется польским метрическим пространством . Альтернативный подход, эквивалентный приведенному здесь, состоит в том, чтобы сначала определить «польское метрическое пространство» как «полное сепарабельное метрическое пространство», а затем определить «польское пространство» как топологическое пространство, полученное из польского метрического пространства, забыв метрика.

Обобщения польских пространств

Пространства Люсина

Топологическое пространство называется пространством Люсина, если оно гомеоморфно борелевскому подмножеству компактного метрического пространства. Некоторая более сильная топология превращает Лусина в польское пространство.

Есть много способов сформировать пространства Люзина. Особенно:

  • Каждое польское пространство - это Лусин
  • Подпространство в пространстве Люсина называется Люсином тогда и только тогда, когда оно является борелевским множеством.
  • Любое счетное объединение или пересечение подпространств Лузина в хаусдорфовом пространстве является Лусиным.
  • Произведение счетного числа пространств Лузина - это Лузин.
  • Непересекающееся объединение счетного числа пространств Лузина есть Лузин.

Пространства Суслина

Суслинское пространство есть образ польского пространства при непрерывном отображении. Итак, каждое пространство Лусина - это Суслин. В польском пространстве подмножество является пространством Суслина тогда и только тогда, когда оно является множеством Суслина (образ операции Суслина ).

Следующие пространства Суслина:

  • закрытые или открытые подмножества пространства Суслина,
  • счетные произведения и непересекающиеся объединения пространств Суслина,
  • счетные пересечения или счетные объединения подпространств Суслина хаусдорфового топологического пространства,
  • непрерывные образы пространств Суслина,
  • Борелевские подмножества пространства Суслина.

У них есть следующие свойства:

  • Каждое пространство Суслина отделимо.

Радоновые пространства

Пространство Радона , названное в честь Иоганна Радона является топологическим пространством , что каждая борелевская вероятностная мера на М является внутренней регулярной . Поскольку вероятностная мера глобально конечна и, следовательно, является локально конечной мерой , каждая вероятностная мера в пространстве Радона также является мерой Радона . В частности, сепарабельное полное метрическое пространство ( M , d ) является пространством Радона.

Каждое суслинское пространство - это радон.

Польские группы

Польская группа является топологической группой G , которая также является польским пространство, другими словами , гомеоморфных сепарабелъным полным метрического пространства. Есть несколько классических результатов Банаха , Фройденталя и Куратовского о гомоморфизмах между польскими группами. Во-первых, аргумент Банаха (1932 , с. 23) применяется mutatis mutandi к неабелевым польским группам: если G и H - сепарабельные метрические пространства с G Polish, то любой борелевский гомоморфизм из G в H непрерывен. Во-вторых, существует версия теоремы об открытом отображении или теоремы о замкнутом графике, принадлежащая Куратовскому (1933 , с. 400) : непрерывный инъективный гомоморфизм польской подгруппы G на другую польскую группу H является открытым отображением. В результате в польских группах замечательно то, что измеримые по Бэру отображения (т. Е. Для которых прообраз любого открытого множества обладает свойством Бэра ), являющиеся гомоморфизмами между ними, автоматически непрерывны. Группа гомеоморфизмов гильбертова куба [0,1] N является универсальной польской группой в том смысле, что каждая польская группа изоморфна ее замкнутой подгруппе.

Примеры:

  • Все конечномерные группы Ли со счетным числом компонент являются польскими группами.
  • Унитарная группа сепарабельного гильбертова пространства (с сильной операторной топологией ) является польской группой.
  • Группа гомеоморфизмов компактного метрического пространства - польская группа.
  • Произведение счетного числа польских групп - это польская группа.
  • Группа изометрий сепарабельного полного метрического пространства - это польская группа

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение