Модуль Галуа - Galois module

В математике , модуль Галуа является G - модуль , с G является группой Галуа некоторого расширения из полей . Термин представление Галуа часто используется, когда G -модуль является векторным пространством над полем или свободным модулем над кольцом в теории представлений , но также может использоваться как синоним G -модуля. Изучение модулей Галуа для расширений локальных или глобальных полей и их групповых когомологий является важным инструментом в теории чисел .

Примеры

• Учитывая поля K , то мультипликативной группа ( K ^s ) ^× из в сепарабельному закрытии из K является модуль Галуа для абсолютной группы Галуа . Его вторая группа когомологий является изоморфной к группе Брауэра из K (по теореме Гильберта 90 , его первая группа когомологий равна нулю).
• Если Х является гладкой собственно схема над полем К тогда л-адическая когомологий группы ее геометрического слоя являются модулями Галуа абсолютной группой Галуа K .

Теория ветвления

Пусть К быть нормированное поле (с оценочной обозначается V ) , и пусть L / K быть конечное расширение Галуа с группой Галуа G . Для продолжения w поля v на L обозначим через I _w его группу инерции . Модуль Галуа ρ: G → Aut ( V ) называется неразветвленным, если ρ ( I _w ) = {1}.

Модульная структура Галуа целых алгебраических чисел

В классической алгебраической теории чисел пусть L - расширение Галуа поля K , и пусть G - соответствующая группа Галуа. Тогда кольцо О _л из алгебраических чисел от L можно рассматривать как O _K [ G ] -модуль, и можно спросить , что его структура. Это арифметический вопрос, поскольку по теореме о нормальном базисе известно, что L является свободным K [ G ] -модулем ранга 1. Если то же самое верно для целых чисел, это эквивалентно существованию нормального целочисленного базиса. , то есть & alpha ; в O _L таким образом, что его сопряженные элементы под G дают свободное основание для O _L над O _K . Это интересный вопрос , даже (возможно , особенно) , когда K является рациональным числом поля Q .

Например, если L  =  Q ( √ −3 ), существует ли нормальный интегральный базис? Ответ - да, как видно, отождествляя его с Q ( ζ ), где

ζ = ехр (2 π i / 3).

На самом деле все подполя круговых полей для р -х корней из единицы для р простого числа имеют нормальные интегральные базы (более Z ), как можно вывести из теории периодов Гаусса ( теорема Гильберта-Спейсер ). С другой стороны, гауссовское поле - нет. Это пример необходимого условия, найденного Эмми Нётер ( возможно, известного ранее? ). Здесь важно ручное разветвление . В терминах дискриминанта D оператора L и, по-прежнему, K  =  Q , никакое простое число p не должно делить D в степень p . Тогда теорема Нётер утверждает, что ручное ветвление необходимо и достаточно для того, чтобы O _L был проективным модулем над Z [ G ]. Поэтому, безусловно, необходимо, чтобы это был бесплатный модуль. Остается вопрос о разрыве между свободным и проективным, для которого сейчас создана большая теория.

Классический результат, основанный на результате Дэвида Гильберта , состоит в том, что у аккуратно разветвленного абелевого числового поля есть нормальный интегральный базис. В этом можно убедиться, используя теорему Кронекера – Вебера для включения абелевого поля в круговое поле.

Представления Галуа в теории чисел

Многие объекты, возникающие в теории чисел, естественно являются представлениями Галуа. Например, если L является расширением Галуа числового поля K , кольцо целых чисел O _L поля L является модулем Галуа над O _K для группы Галуа поля L / K (см. Теорему Гильберта – Шпейзера). Если K - локальное поле, мультипликативная группа его сепарабельного замыкания является модулем для абсолютной группы Галуа поля K, и ее изучение приводит к локальной теории полей классов . Для глобальной теории полей классов , объединение иделей групп класса всех конечных сепарабельных расширений в K используется вместо этого.

Существуют также представления Галуа, которые возникают из вспомогательных объектов и могут использоваться для изучения групп Галуа. Важное семейство примеров являются л-адическая Tate модули из абелевых многообразий .

Представления Артина

Пусть K - числовое поле. Эмиль Артин ввел класс представлений Галуа абсолютной группы Галуа G _K группы K , которые теперь называются представлениями Артина . Это непрерывные конечномерные линейные представления G _K в комплексных векторных пространствах . Исследование Артина этих представлений привело его сформулировать закон артинов взаимности и догадку , что сейчас называется Артин гипотеза относительно голоморфность из Артиновых L -функции .

Из-за несовместимости проконечной топологии на G _K и обычной (евклидовой) топологии на комплексных векторных пространствах образ представления Артина всегда конечен.

ℓ-адические представления

Пусть ℓ - простое число . ℓ-адическое представление из G _K представляет собой непрерывный гомоморфизм групп ρ: G _K → Aut ( М ) , где М представляет собой либо конечно-мерное векторное пространство над Q _л (алгебраическом замыкании л-адических чисел Q _л ) или конечно порожденный Z _ℓ - модуль (где Z _ℓ является целым замыканием из Z _л в Q _л ). Первые примеры возникают были ℓ-адической круговой характер и л-адической Tate модулей абелевых многообразий над K . Другие примеры происходят из представлений Галуа модулярных форм и автоморфных форм, а также представлений Галуа на ℓ-адических группах когомологий алгебраических многообразий.

В отличие от представлений Артина, ℓ-адические представления могут иметь бесконечное изображение. Например, образ G _Q при ℓ-адическом круговом характере есть . ℓ-адические представления с конечным изображением часто называют представлениями Артина. С помощью изоморфизма Q _ℓ и C они могут быть отождествлены с истинными представлениями Артина. ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {\ ell} ^ {\ times}}$

Mod ℓ представления

Это представления над конечным полем характеристики. Они часто возникают как модуль редукции-адического представления.

Местные условия на представительствах

Есть множество условий на представления, которые задаются некоторым свойством представления, ограниченного группой разложения некоторого простого числа. Терминология для этих состояний несколько хаотична: разные авторы придумывают разные названия для одного и того же состояния и используют одно и то же название с разными значениями. Некоторые из этих условий включают:

• Абелевы представления. Это означает, что образ группы Галуа в представлениях абелев .
• Абсолютно неприводимые представления. Они остаются неприводимыми над алгебраическим замыканием поля.
• Представления Барсотти – Тейта. Они похожи на конечные плоские представления.
• Кристаллические представления.
• представления де Рама.
• Конечные плоские представления. (Это название немного вводит в заблуждение, поскольку они на самом деле проконечны, а не конечны.) Их можно построить как проективный предел представлений группы Галуа на конечной плоской групповой схеме .
• Хорошие представления. Они связаны с представлениями эллиптических кривых с хорошей редукцией.
• Представления Ходжа – Тейта.
• Неприводимые представления . Они неприводимы в том смысле, что единственное подпредставление - это все пространство или ноль.
• Минимально разветвленные представления.
• Модульные представления. Это представления, исходящие из модульной формы , но они также могут относиться к представлениям над полями положительной характеристики .
• Обыкновенные представления. Они связаны с представлениями эллиптических кривых с обычной (несуперсингулярной) редукцией. Точнее, они являются двумерными представлениями, которые сводятся к одномерному подпредставлению, так что группа инерции определенным образом действует на подмодуль и фактор. Точное условие зависит от автора; например, он может тривиально воздействовать на фактор и символ ε на подмодуле.
• Потенциально что-то представление. Это означает, что представления, ограниченные открытой подгруппой конечного индекса, обладают некоторым заданным свойством.
• Приводимые представления. У них есть собственное ненулевое под-представление.
• Полустабильные представления. Это двухмерные представления, связанные с представлениями, исходящими от полустабильных эллиптических кривых .
• Покорно разветвленные представления. Они тривиальны на (первой) группе ветвления .
• Неразветвленные представления. На группе инерции они тривиальны.
• Дико разветвленные представления. Они нетривиальны на (первой) группе ветвления.

Представления группы Вейля

Если K является локальным или глобальным полем, теория классов формаций Крепится к K ее группы Вейля W _K , непрерывный гомоморфизм групп ф: W _K → G _K , и изоморфизм из топологических групп

${\ displaystyle r_ {K}: C_ {K} {\ tilde {\ rightarrow}} W_ {K} ^ {\ text {ab}}}$

где C _K - это K ^× или группа классов идеелей I _K / K ^× (в зависимости от того, является ли K локальным или глобальным) и W ab
K это абелианизация группы Вейля K . Через ф, любое представление G _K можно рассматривать как представление W _K . Тем не менее, Вт _К может иметь строго больше представления , чем G _K . Например, с помощью г _K непрерывные комплексные символы W _К находятся во взаимно однозначном с таковыми из C _K . Таким образом, символ абсолютного значения на C _K порождает характер W _K , образ которого бесконечен и, следовательно, не является характером G _K (поскольку все они имеют конечный образ).

ℓ-адическое представление W _K определяется таким же образом , как и для G _K . Они естественным образом возникают из геометрии: если X - гладкое проективное многообразие над K , то ℓ-адические когомологии геометрического слоя X являются-адическим представлением G _K, которое через φ индуцирует ℓ-адическое представление W _K . Если К является локальным поле остатка характеристического р  ≠ л, то проще исследовать так называемые Вейль-Делинь представление W _K .

Представления Вейля – Делиня

Пусть K - локальное поле. Пусть E - поле нулевой характеристики. Представлением Вейля – Делиня над E группы W _K (или просто K ) называется пара ( r ,  N ), состоящая из

• непрерывный групповой гомоморфизм r  : W _K → Aut _E ( V ) , где V - конечномерное векторное пространство над E с дискретной топологией ,
• нильпотентное эндоморфизм Н  : V → V такая , что г ( ж ) N г ( ш ) ^-1 = || w || N для всех ш  ∈  W _K .

Эти представления являются такими же , как и представления над Е из группы Вейля-Делинь из K .

Если характеристика вычета K отлична от ℓ, теорема Гротендика о ℓ-адической монодромии устанавливает биекцию между ℓ-адическими представлениями W _K (над Q _ℓ ) и представлениями Вейля – Делиня W _K над Q _ℓ (или эквивалентно над C ). У последних есть хорошая особенность, состоящая в том, что r непрерывно только по отношению к дискретной топологии на V , что делает ситуацию более алгебраической по своему вкусу.

Смотрите также

• Совместимая система ℓ-адических представлений

Примечания

использованная литература

• Кудла, Стивен С. (1994), "Местная корреспонденция Ленглендса: неархимедов случай", Мотивы, Часть 2 , Proc. Симпози. Pure Math., 55 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 365–392, ISBN. 978-0-8218-1635-6
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, Руководство по ремонту  1737196 , Zbl  0948.11001
• Тейт, Джон (1979), "Теоретические основы чисел", Автоморфные формы, представления и L-функции, Часть 2 , Proc. Симпози. Pure Math., 33 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 3–26, ISBN. 978-0-8218-1437-6

дальнейшее чтение

• Снайт, Виктор П. (1994), структура модуля Галуа , монографии Института Филдса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0264-X, Zbl  0830,11042
• Фрёлих, Альбрехт (1983), структура модуля Галуа алгебраических целых чисел , Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge, 1 , Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк-Токио: Springer-Verlag , ISBN. 3-540-11920-5, Zbl  0501,12012