Гауссов период - Gaussian period

В математике , в области теории чисел , гауссовский период - это определенная сумма корней из единицы . Периоды позволяют проводить явные вычисления в круговых полях, связанных с теорией Галуа и гармоническим анализом ( дискретное преобразование Фурье ). Они лежат в основе классической теории циклотомии . Тесно связана сумма Гаусса , тип экспоненциальной суммы, которая представляет собой линейную комбинацию периодов.

История

Как следует из названия, периоды были введены Гауссом и легли в основу его теории построения компаса и линейки . Например, построение гептадекагона (формулы, которая способствовала его репутации) зависело от алгебры таких периодов, из которых

${\ displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {17}} \ right) = \ zeta + \ zeta ^ {16} \,}$

это пример семнадцатого корня единства

${\ displaystyle \ zeta = \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {17}} \ right).}$

Общее определение

Для целого числа n > 1 пусть H - любая подгруппа мультипликативной группы

${\ Displaystyle G = (\ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$

из обратимых остатков по модулю п , и пусть

${\ displaystyle \ zeta = \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {n}} \ right).}$

Гауссово период Р является суммой примитивных п-й корней из единицы , где пробегает все элементы в фиксированном смежном классе из H в G . ${\ Displaystyle \ zeta ^ {а}}$${\ displaystyle a}$

Определение P также можно сформулировать в терминах следа поля . У нас есть

${\ Displaystyle P = \ OperatorName {Tr} _ {\ mathbb {Q} (\ zeta) / L} (\ zeta ^ {j})}$

для некоторого подполя L поля Q (ζ) и некоторого j, взаимно простого с n . Это соответствует предыдущему определению путем идентификации G и H с группами Галуа из Q (z) / Q и Q (z) / L , соответственно. Выбор j определяет выбор смежного класса H в G в предыдущем определении.

Пример

Ситуация наиболее проста, когда n - простое число p > 2. В этом случае G циклическая группа порядка p - 1 и имеет одну подгруппу H порядка d для каждого множителя d числа p - 1. Например, мы можем взять H из индекса два. В этом случае H состоит из квадратичных вычетов по модулю p . Этому H соответствует гауссов период

${\ Displaystyle P = \ zeta + \ zeta ^ {4} + \ zeta ^ {9} + \ cdots}$

суммируется по ( p - 1) / 2 квадратичным вычетам, а другой период P * суммируется по ( p - 1) / 2 квадратичным невычетам. Легко увидеть, что

${\ Displaystyle P + P ^ {*} = - 1}$

так как левая сторона добавляет все первобытного р -го корни 1. Мы также знаем, из определения следовых, что P лежит в квадратичном расширении Q . Следовательно, как знал Гаусс, P удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Вычисление квадрата суммы P связано с проблемой подсчета того, сколько квадратичных вычетов между 1 и p - 1 сменяются квадратичными вычетами. Решение элементарное (как мы бы сейчас сказали, оно вычисляет локальную дзета-функцию для кривой, которая является конической ). Надо

( P - P *) ² = p или - p , для p = 4 m + 1 или 4 m + 3 соответственно.

Таким образом, это дает нам точную информацию о том, какое квадратичное поле лежит в Q (ζ). (Это можно вывести также из аргументов разветвления в алгебраической теории чисел ; см. Квадратичное поле .)

Как в конечном итоге показал Гаусс, для вычисления P - P * правильный квадратный корень, который нужно извлечь, - это положительный (соответственно i, умноженный на положительное действительное значение) в обоих случаях. Таким образом, явное значение периода P определяется выражением

${\ displaystyle P = {\ begin {case} {\ frac {-1 + {\ sqrt {p}}} {2}}, & {\ text {if}} p = 4m + 1, \\ [6pt] {\ frac {-1 + i {\ sqrt {p}}} {2}}, & {\ text {if}} p = 4m + 3. \ end {case}}}$

Суммы Гаусса

Как более подробно обсуждается ниже, гауссовские периоды тесно связаны с другим классом сумм корней из единицы, теперь обычно называемыми суммами Гаусса (иногда гауссовыми суммами ). Величина P - P *, представленная выше, является квадратичной суммой Гаусса по модулю p , простейшим нетривиальным примером суммы Гаусса. Заметим, что P - P * также можно записать как

${\ Displaystyle \ сумма \ чи (а) \ дзета ^ {а}}$

где здесь обозначает символ Лежандра ( a / p ), а сумма берется по классам вычетов по модулю p . В более общем смысле, учитывая характер Дирихле χ mod n , сумма Гаусса по модулю n, связанная с χ, равна ${\ Displaystyle \ чи (а)}$

${\ Displaystyle G (к, \ чи) = \ сумма _ {м = 1} ^ {п} \ чи (м) \ ехр \ влево ({\ гидроразрыва {2 \ пи imk} {п}} \ вправо). }$

В частном случае с главным характером Дирихля , сумма Гаусса сводится к Рамануджан суммы : ${\ Displaystyle \ чи = \ чи _ {1}}$

${\ Displaystyle G (к, \ чи _ {1}) = c_ {n} (k) = \ sum _ {m = 1; (m, n) = 1} ^ {n} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi imk} {n}} \ right) = \ sum _ {d | (n, k)} d \ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}$

где μ - функция Мёбиуса .

Суммы Гаусса широко используются в теории чисел; например , они возникают значительно в функциональных уравнений из L-функций . (Суммы Гаусса в некотором смысле являются конечными полевыми аналогами гамма-функции .) ${\ Displaystyle G (к, \ чи)}$

Связь гауссовских периодов и гауссовых сумм

Гауссовские периоды связаны с суммами Гаусса , для которых характер χ тривиально на Н . Такие χ принимают одинаковое значение во всех элементах через в фиксированном смежном классе H в G . Например, квадратный символ mod p, описанный выше, принимает значение 1 для каждого квадратичного остатка и значение -1 для каждого квадратичного невычета. Таким образом, сумму Гаусса можно записать как линейную комбинацию гауссовских периодов (с коэффициентами χ ( a )); верно и обратное, как следствие соотношений ортогональности для группы ( Z / n Z ) ^× . Другими словами, периоды Гаусса и суммы Гаусса являются преобразованиями Фурье друг друга . Гауссовские периоды обычно лежат в меньших полях, поскольку, например, когда n является простым числом p , значения χ ( a ) являются корнями ( p - 1) -й степени из единицы. С другой стороны, суммы Гаусса обладают более хорошими алгебраическими свойствами. ${\ Displaystyle G (1, \ чи)}$${\ Displaystyle G (1, \ чи)}$

использованная литература

• Х. Давенпорт, Х.Л. Монтгомери (2000). Теория мультипликативных чисел . Springer. п. 18. ISBN   0-387-95097-4 .