Множитель (анализ Фурье) - Multiplier (Fourier analysis)

В Фурье - анализа , А оператор мультипликатор представляет собой тип линейного оператора или преобразование функций . Эти операторы действуют на функцию, изменяя ее преобразование Фурье . В частности, они умножают преобразование Фурье функции на заданную функцию, известную как множитель или символ . Иногда сам термин « оператор умножения » сокращается до слова « умножитель» . Проще говоря, множитель изменяет частоты, участвующие в любой функции. Этот класс операторов оказывается широким: общая теория показывает, что трансляционно-инвариантный оператор на группекоторый подчиняется некоторым (очень мягким) условиям регулярности, может быть выражен как оператор умножения, и наоборот. Многие знакомые операторы, такие как переводы и дифференцирование , являются операторами умножения, хотя есть много более сложных примеров, таких как преобразование Гильберта .

При обработке сигналов оператор умножения называется « фильтром », а умножитель - это частотная характеристика фильтра (или передаточная функция ).

В более широком контексте операторы умножителей - это частные случаи операторов спектральных умножителей, которые возникают из функционального исчисления оператора (или семейства коммутирующих операторов). Они также являются частными случаями псевдодифференциальных операторов и, в более общем смысле, интегральных операторов Фурье . В этой области есть естественные вопросы, которые все еще остаются открытыми, например, характеризация операторов ограниченных множителей L ^p (см. Ниже).

Операторы умножения не связаны с множителями Лагранжа , за исключением того, что они оба включают операцию умножения.

Необходимые сведения о преобразовании Фурье см. На этой странице. Дополнительный важный фон можно найти на страницах operator norm и L ^p space .

Примеры

В настройке периодических функций, определенных на единичном круге , преобразование Фурье функции - это просто последовательность ее коэффициентов Фурье . Чтобы увидеть, что дифференцирование может быть реализовано как множитель, рассмотрим ряд Фурье для производной периодической функции. После использования интегрирования по частям в определении коэффициента Фурье мы имеем, что ${\ displaystyle f (t).}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f ') (n) = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f' (t) e ^ {- int} \, dt = \ int _ { - \ pi} ^ {\ pi} (in) f (t) e ^ {- int} \, dt = in \ cdot {\ mathcal {F}} (f) (n)}$.

Таким образом, формально следует, что ряд Фурье для производной - это просто ряд Фурье для, умноженный на множитель . Это то же самое, что сказать, что дифференцирование - это оператор умножения с множителем . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle in}$${\ displaystyle in}$

Примером оператора множителя, действующего на функции на вещественной прямой, является преобразование Гильберта . Можно показать, что преобразование Гильберта является оператором умножения, множитель которого задается как , где sgn - сигнум-функция . ${\ Displaystyle м (\ xi) = - я \ OperatorName {sgn} (\ xi)}$

Наконец, еще одним важным примером множителя является характеристическая функция единичного куба, которая возникает при изучении «частичных сумм» для преобразования Фурье (см. Сходимость рядов Фурье ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Определение

Операторы мультипликаторов могут быть определены на любой группе G, для которой также определено преобразование Фурье (в частности, на любой локально компактной абелевой группе ). Общее определение таково. Если - достаточно регулярная функция , пусть обозначает ее преобразование Фурье (где - Понтрягин, двойственный к G ). Обозначим через другую функцию, которую мы будем называть множителем . Тогда оператор множителя, связанный с этим символом m , определяется по формуле ${\ displaystyle f: G \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ hat {f}}: {\ hat {G}} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ hat {G}}}$${\ displaystyle m: {\ hat {G}} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle T = T_ {m}}$

${\ displaystyle {\ widehat {Tf}} (\ xi): = m (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi).}$

Другими словами, преобразование Фурье функции Tf на частоте ξ задается преобразованием Фурье функции f на этой частоте, умноженным на значение множителя на этой частоте. Это объясняет терминологию «множитель».

Обратите внимание, что приведенное выше определение определяет Tf неявно; чтобы восстановить Tf явно, нужно обратить преобразование Фурье. Это легко сделать, если и f, и m достаточно гладкие и интегрируемые. Одна из основных проблем в этом предмете состоит в том, чтобы определить для любого заданного множителя m , продолжает ли соответствующий оператор множителя Фурье быть хорошо определенным, когда f имеет очень низкую регулярность, например, если предполагается, что он лежит только в L ^p Космос. См. Обсуждение «проблемы ограниченности» ниже. Как минимум, обычно требуется, чтобы множитель m был ограниченным и измеримым ; этого достаточно, чтобы установить ограниченность на, но, как правило, недостаточно, чтобы дать ограниченность на других пространствах. ${\ displaystyle L ^ {2}}$

Оператор умножения T можно рассматривать как композицию трех операторов, а именно преобразования Фурье, операции поточечного умножения на m , а затем обратного преобразования Фурье. Эквивалентно, T - это сопряжение оператора поточечного умножения преобразованием Фурье. Таким образом, операторы множителей можно рассматривать как операторы, диагонализованные преобразованием Фурье.

Операторы умножения на общие группы

Теперь мы специализировать выше общее определение для конкретных групп G . Сначала рассмотрим функции единичной окружности на G, которые можно представить как 2π-периодические функции на вещественной прямой. В этой группе двойственной по Понтрягину является группа целых чисел. Преобразование Фурье (для достаточно регулярных функций f ) задается формулой ${\ Displaystyle G = \ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z};}$${\ displaystyle {\ hat {G}} = \ mathbb {Z}.}$

${\ displaystyle {\ hat {f}} (n): = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (t) e ^ {- int} dt }$

а обратное преобразование Фурье дается формулой

${\ displaystyle f (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} (n) e ^ {int}.}$

Множитель в этой настройке - это просто последовательность чисел, и оператор, связанный с этим множителем, затем задается формулой ${\ Displaystyle (м_ {п}) _ {п = - \ infty} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle T = T_ {m}}$

${\ displaystyle (Tf) (t): = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} m_ {n} {\ hat {f}} (n) e ^ {int},}$

по крайней мере, для достаточно удачного выбора множителя и функции f . ${\ Displaystyle (м_ {п}) _ {п = - \ infty} ^ {\ infty}}$

Пусть теперь G - евклидово пространство . Здесь двойственная группа также евклидова, а преобразования Фурье и обратное преобразование Фурье задаются формулами ${\ Displaystyle G = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ hat {G}} = \ mathbb {R} ^ {n},}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {f}} (\ xi): = {} & \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) e ^ {- 2 \ pi ix \ cdot \ xi} dx \\ f (x) = {} & \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ hat {f}} (\ xi) e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} d \ xi. \ end {выровнено}}}$

Множитель в этом параметре является функцией, а связанный с ним оператор множителя определяется как ${\ displaystyle m: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C},}$${\ displaystyle T = T_ {m}}$

${\ Displaystyle Tf (x): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} m (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi) e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi } d \ xi,}$

снова в предположении достаточно сильной регулярности и ограниченности множителя и функции.

В смысле распределений нет разницы между операторами умножения и операторами свертки ; каждый умножитель Т также может быть выражен в виде Tf = F * K для некоторого распределения K , известное как ядра свертки из T . С этой точки зрения перевод на величину x ₀ - это свертка с дельта-функцией Дирака δ (· -  x ₀ ), дифференцирование - это свертка с δ '. Дополнительные примеры приведены в таблице ниже .

Диаграммы

Дальнейшие примеры

На единичном круге

В следующей таблице показаны некоторые распространенные примеры операторов множителя на единичной окружности. ${\ displaystyle G = \ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z}.}$

Имя	Множитель, ${\ displaystyle m_ {n}}$	Оператор, ${\ displaystyle Tf (t)}$	Ядро, ${\ Displaystyle К (т)}$
Оператор идентификации	1	f ( t )	Дельта-функция Дирака ${\ Displaystyle \ дельта (т)}$
Умножение на константу c	c	cf ( t )	${\ Displaystyle с \ дельта (т)}$
Перевод s	${\ displaystyle e ^ {- ins}}$	f ( т  -  с )	${\ displaystyle \ delta (ts)}$
Дифференциация	в	${\ Displaystyle f '(т)}$	${\ Displaystyle \ delta '(т)}$
k -кратное дифференцирование	${\ Displaystyle (в) ^ {к}}$	${\ Displaystyle е ^ {(к)} (т)}$	${\ Displaystyle \ дельта ^ {(к)} (т)}$
Постоянный коэффициент дифференциального оператора	${\ Displaystyle P (дюйм)}$	${\ displaystyle P \ left ({\ frac {d} {dt}} \ right) f (t)}$	${\ displaystyle P \ left ({\ frac {d} {dt}} \ right) \ delta (t)}$
Дробная производная порядка${\ displaystyle \ alpha}$	${\ Displaystyle | п | ^ {\ альфа}}$	${\ displaystyle \ left | {\ frac {d} {dt}} \ right | ^ {\ alpha} f (t)}$	${\ displaystyle \ left | {\ frac {d} {dt}} \ right | ^ {\ alpha} \ delta (t)}$
Среднее значение	${\ displaystyle 1_ {n = 0}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (t) \, dt}$	1
Компонент без содержания	${\ Displaystyle 1_ {п \ neq 0}}$	${\ displaystyle f (t) - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (t) \, dt}$	${\ displaystyle \ delta (t) -1}$
Интеграция (бесполезного компонента)	${\ displaystyle {\ frac {1} {in}} 1_ {n \ neq 0}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (\ pi -s) f (ts) \, ds}$	Пилообразная функция ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (1- \ left \ {{\ frac {t} {2 \ pi}} \ right \} \ right)}$
Периодическое преобразование Гильберта H	${\ Displaystyle 1_ {п \ geq 0} -1_ {п <0}}$	${\ displaystyle Hf: = pv {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {\ frac {f (s)} {e ^ {i (ts)} - 1}} \, ds}$	${\ displaystyle pv2 {\ frac {f (s)} {e ^ {i (ts)} - 1}} \, ds}$
Суммирование Дирихле ${\ displaystyle D_ {N}}$	${\ displaystyle 1 _ {- N \ leq n \ leq N}}$	${\ displaystyle \ sum _ {n = -N} ^ {N} {\ hat {f}} (n) e ^ {int}}$	Ядро Дирихле ${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ left (\ left (N + {\ frac {1} {2}} \ right) t \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {1} {2}} t \ right)}}}$
Суммирование Фейера ${\ displaystyle F_ {N}}$	${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {| n |} {N}} \ right) 1 _ {- N \ leq n \ leq N}}$	${\ displaystyle \ sum _ {n = -N} ^ {N} \ left (1 - {\ frac {| n |} {N}} \ right) {\ hat {f}} (n) e ^ {int }}$	Ядро Фейера ${\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ left ({\ frac {\ sin \ left ({\ frac {1} {2}} Nt \ right)} {\ sin \ left ({\ frac { 1} {2}} t \ right)}} \ right) ^ {2}}$
Общий множитель	${\ displaystyle m_ {n}}$	${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} m_ {n} {\ hat {f}} (n) e ^ {int}}$	${\ displaystyle T \ delta (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} m_ {n} e ^ {int}}$
Оператор общей свертки	${\ Displaystyle {\ шляпа {K}} (п)}$	${\ displaystyle f * K (t): = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (s) K (ts) \, ds}$	${\ Displaystyle К (т)}$

О евклидовом пространстве

В следующей таблице показаны некоторые общие примеры операторов умножения в евклидовом пространстве . ${\ Displaystyle G = \ mathbb {R} ^ {n}}$

Имя	Множитель, ${\ Displaystyle м (\ xi)}$	Оператор, ${\ displaystyle Tf (x)}$	Ядро, ${\ Displaystyle К (х)}$
Оператор идентификации	1	f ( x )	${\ Displaystyle \ дельта (х)}$
Умножение на константу c	c	cf ( x )	${\ Displaystyle с \ дельта (х)}$
Перевод y	${\ Displaystyle е ^ {2 \ пи iy \ cdot \ xi}}$	${\ Displaystyle f (ху)}$	${\ Displaystyle \ дельта (ху)}$
Производная (только одно измерение) ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}}}$	${\ Displaystyle 2 \ пи я \ xi}$	${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} (x)}$	${\ Displaystyle \ delta '(х)}$
Частная производная ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}}}$	${\ Displaystyle 2 \ пи я \ xi _ {j}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {j}}} (x)}$	${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ delta} {\ partial x_ {j}}} (x)}$
Лапласиан ${\ displaystyle \ Delta}$	${\ Displaystyle -4 \ pi ^ {2} | \ xi | ^ {2}}$	${\ displaystyle \ Delta f (x)}$	${\ displaystyle \ Delta \ delta (x)}$
Постоянный коэффициент дифференциального оператора ${\ Displaystyle Р (\ набла)}$	${\ Displaystyle P (я \ xi)}$	${\ Displaystyle Р (\ набла) е (х)}$	${\ Displaystyle Р (\ набла) \ дельта (х)}$
Дробная производная порядка ${\ displaystyle \ alpha}$	${\ Displaystyle (2 \ пи | \ хи |) ^ {\ альфа}}$	${\ displaystyle (- \ Delta) ^ {\ frac {\ alpha} {2}} f (x)}$	${\ displaystyle (- \ Delta) ^ {\ frac {\ alpha} {2}} \ delta (x)}$
Потенциал порядка Рисса${\ displaystyle \ alpha}$	${\ Displaystyle (2 \ пи | \ хи |) ^ {- \ альфа}}$	${\ displaystyle (- \ Delta) ^ {- {\ frac {\ alpha} {2}}} f (x)}$	${\ displaystyle (- \ Delta) ^ {- {\ frac {\ alpha} {2}}} \ delta (x) = c_ {n, \ alpha} | x | ^ {\ alpha -n}}$
Бесселев потенциал порядка${\ displaystyle \ alpha}$	${\ displaystyle \ left (1 + 4 \ pi ^ {2} | \ xi | ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {\ alpha} {2}}}}$	${\ displaystyle (1- \ Delta) ^ {- {\ frac {\ alpha} {2}}} f (x)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {(4 \ pi) ^ {\ frac {\ alpha} {2}} \ Gamma \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {\ pi} {s}} | x | ^ {2}} e ^ {- {\ frac {s} {4 \ pi}}} s ^ {\ frac {-n + \ alpha} {2}} {\ frac {ds} {s}}}$
Оператор теплового потока ${\ Displaystyle \ ехр (т \ Дельта)}$	${\ Displaystyle \ ехр \ влево (-4 \ пи ^ {2} т | \ хи | ^ {2} \ вправо)}$	${\ displaystyle \ exp (t \ Delta) f (x) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {\ frac {n} {2}}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- {\ frac {| xy | ^ {2}} {4t}}} f (y) \, dy}$	Тепловое ядро ${\ displaystyle {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {\ frac {n} {2}}}} e ^ {- {\ frac {| x | ^ {2}} {4t}}} }$
Оператор эволюции уравнения Шредингера${\ Displaystyle \ ехр (он \ Дельта)}$	${\ Displaystyle \ ехр \ влево (-i4 \ pi ^ {2} t | \ xi | ^ {2} \ right)}$	${\ displaystyle \ exp (it \ Delta) f (x) = {\ frac {1} {(4 \ pi it) ^ {\ frac {n} {2}}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {i {\ frac {| xy | ^ {2}} {4t}}} f (y) \, dy}$	Ядро Шредингера ${\ displaystyle {\ frac {1} {(4 \ pi it) ^ {\ frac {n} {2}}}} e ^ {i {\ frac {| x | ^ {2}} {4t}}} }$
Преобразование Гильберта H (только одно измерение)	${\ Displaystyle -i \ OperatorName {sgn} (\ xi)}$	${\ displaystyle Hf: = pv {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {f (y)} {xy}} \, dy}$	${\ displaystyle pv {\ frac {1} {\ pi x}}}$
Рисса преобразует R j	${\ Displaystyle -i {\ гидроразрыва {\ xi _ {j}} {| \ xi |}}}$	${\ displaystyle R_ {j} f: = pvc_ {n} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ frac {f (y) (x_ {j} -y_ {j})} {| ху | ^ {п + 1}}} \, dy}$	${\ displaystyle pv {\ frac {c_ {n} x_ {j}} {| x | ^ {n + 1}}}, \ quad c_ {n} = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac { 1} {2}} (n + 1) \ right)} {\ pi ^ {{\ frac {1} {2}} (n + 1)}}}}$
Частный интеграл Фурье (только одно измерение) ${\ displaystyle S_ {R} ^ {0}}$	${\ Displaystyle 1 _ {- Р \ leq \ xi \ leq R}}$	${\ Displaystyle \ int _ {- R} ^ {R} {\ hat {f}} (\ xi) e ^ {2 \ pi ix \ xi} dx}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sin (2 \ pi Rx)} {\ pi x}}}$
Дисковый множитель ${\ displaystyle S_ {R} ^ {0}}$	${\ Displaystyle 1_ {| \ xi | \ leq R}}$	${\ Displaystyle \ int _ {| \ xi | \ leq R} {\ шляпа {f}} (\ xi) e ^ {2 \ pi ix \ xi} dx}$	${\ displaystyle | x | ^ {- {\ frac {n} {2}}} J _ {\ frac {n} {2}} (2 \ pi | x |)}$( J - функция Бесселя )
Операторы Бохнера – Рисса ${\ Displaystyle S_ {R} ^ {\ delta}}$	${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {| \ xi | ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) _ {+} ^ {\ delta}}$	${\ displaystyle \ int _ {| \ xi | \ leq R} \ left (1 - {\ frac {| \ xi | ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) ^ {\ delta} { \ hat {f}} (\ xi) e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \ d \ xi}$	${\ displaystyle \ int _ {| \ xi | \ leq R} \ left (1 - {\ frac {| \ xi | ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) ^ {\ delta} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, d \ xi}$
Общий множитель	${\ Displaystyle м (\ xi)}$	${\ displaystyle \ int _ {R ^ {n}} м (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi) e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} d \ xi}$	${\ Displaystyle \ int _ {R ^ {n}} м (\ xi) e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \ d \ xi}$
Оператор общей свертки	${\ Displaystyle {\ шляпа {K}} (\ xi)}$	${\ Displaystyle е * К (х): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (y) K (xy) \, dy}$	${\ Displaystyle К (х)}$

Общие Соображения

Карта представляет собой гомоморфизм из С * -алгебр . Это следует потому, что сумма двух операторов умножения и является операторами умножения с множителем , композиция этих двух операторов умножения является оператором умножения с множителем, а сопряженный оператор умножения является другим оператором умножения с множителем . ${\ displaystyle m \ mapsto T_ {m}}$${\ displaystyle T_ {m}}$${\ displaystyle T_ {m '}}$${\ displaystyle m + m '}$${\ displaystyle мм ',}$${\ displaystyle T_ {m}}$${\ displaystyle {\ overline {m}}}$

В частности, мы видим, что любые два оператора умножения коммутируют друг с другом. Известно, что операторы множителей инвариантны к трансляциям. С другой стороны , можно показать , что любой перевод-инвариантный линейный оператор , который ограничен на L ² ( G ) является оператором мультипликатора.

Проблема L ^p ограниченности

Проблема ограниченности L ^p (для любого конкретного p ) для данной группы G , проще говоря, состоит в том, чтобы идентифицировать множители m такие, что соответствующий оператор множителя ограничен из L ^p ( G ) в L ^p ( G ). Такие множители обычно называют просто " множителями L ^p ". Обратите внимание, что, поскольку операторы умножения всегда линейны, такие операторы ограничены тогда и только тогда, когда они непрерывны . В целом эта проблема считается чрезвычайно сложной, но можно рассматривать многие частные случаи. Проблема сильно зависит от p , хотя существует соотношение двойственности : если и 1 ≤ p , q ≤ ∞, то оператор множителя ограничен на L ^p тогда и только тогда, когда он ограничен на L ^q . ${\ displaystyle 1 / p + 1 / q = 1}$

Теорема Рисса-Торина показывает, что если оператор мультипликатора ограничен на двух разных L ^p- пространствах, то он также ограничен на всех промежуточных пространствах. Следовательно, мы получаем, что пространство множителей наименьшее для L ¹ и L ^∞ и растет по мере приближения к L ² , которое имеет наибольшее пространство множителей.

Ограниченность на L ²

Это самый простой случай. Теорема замкнутости позволяет полностью решить эту проблему и получаем , что функция т является L ² ( G ) мультипликатор тогда и только тогда , когда оно ограничено и измеримо.

Ограниченность на L ¹ или L ^∞

Этот случай является более сложным , чем гильберты ( L ² ) случае, но полностью решен. Верно следующее:

Теорема : в евклидовом пространстве функция является множителем L ¹ (эквивалентно множителем L ^∞ ) тогда и только тогда, когда существует конечная борелевская мера μ такая, что m является преобразованием Фурье меры μ. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle м (\ xi)}$

(Часть «если» - это простое вычисление. Часть «только если» здесь более сложна.)

Ограниченность на L ^p при 1 < p <∞

В этом общем случае не установлены необходимые и достаточные условия ограниченности даже для евклидова пространства или единичной окружности. Однако известно несколько необходимых условий и несколько достаточных условий. Так , например , известно , что для того , чтобы оператор мультипликатора быть ограниченно на хотя бы один л ^р пространства, множитель должен быть ограничен и измеримым (это следует из характеристики L ² умножителей выше и свойства включения). Однако этого недостаточно, за исключением случая, когда p = 2.

Результаты, дающие достаточные условия ограниченности, известны как теоремы о множителях . Ниже приведены три таких результата.

Теорема Марцинкевича о множителях

Пусть - ограниченная функция, которая непрерывно дифференцируема на каждом множестве вида для и имеет такую ​​производную, что ${\ displaystyle m: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ left (-2 ^ {j + 1}, - 2 ^ {j} \ right) \ cup \ left (2 ^ {j}, 2 ^ {j + 1} \ right)}$${\ displaystyle j \ in \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle \ sup _ {j \ in \ mathbb {Z}} \ left (\ int _ {- 2 ^ {j + 1}} ^ {- 2 ^ {j}} \ left | m '(\ xi) \ right | \, d \ xi + \ int _ {2 ^ {j}} ^ {2 ^ {j + 1}} \ left | m '(\ xi) \ right | \, d \ xi \ right) < \ infty.}$

Тогда m является мультипликатором L ^p для всех 1 < p <∞.

Теорема Михлина о множителях

Пусть m - ограниченная функция , гладкая на которой, за исключением, возможно, начала координат, и такая, что функция ограничена для всех целых чисел : тогда m - множитель L ^p для всех 1 < p <∞ . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ textstyle | х | ^ {k} \ left | \ nabla ^ {k} m \ right |}$${\ textstyle 0 \ leq k \ leq {\ frac {n} {2}} + 1}$

Это частный случай теоремы Хёрмандера-Михлина о множителях.

Доказательства этих двух теорем довольно сложны и включают методы теории Кальдерона – Зигмунда и интерполяционной теоремы Марцинкевича : исходное доказательство см. В работе Михлина (1956) или Михлина (1965 , стр. 225–240).

Радиальные множители

Для радиальных множителей известно необходимое и достаточное условие ограниченности для некоторого частичного диапазона значений . Пусть и . Предположим, что это радиальный множитель, имеющий компактную опору вдали от начала координат. Тогда это мультипликатор тогда и только тогда , когда преобразование Фурье из принадлежит . ${\ displaystyle L ^ {p} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n \ geq 4}$${\ textstyle 1 <p <2 {\ frac {n-1} {n + 1}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle L ^ {p} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle L ^ {p} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$

Это теорема Хео, Назарова и Сигера . Они также предоставили необходимое и достаточное условие, которое справедливо без предположения о компактной опоре . ${\ displaystyle m}$

Примеры

Трансляции - это ограниченные операторы на любом L ^p . Дифференцирование не ограничено ни на каком L ^p . Преобразование Гильберта ограничено только для p строго между 1 и ∞. То, что она неограниченна на L ^∞ , легко, поскольку хорошо известно, что преобразование Гильберта ступенчатой ​​функции неограничено. Двойственность дает то же самое при p = 1 . Однако как теоремы Марцинкевича, так и теоремы Михлина о множителях показывают, что преобразование Гильберта ограничено в L ^p для всех 1 < p <∞ .

Другой интересный случай с единичным кругом - это когда последовательность , которая предлагается в качестве множителя, постоянна для n в каждом из множеств, и из теоремы о множителях Марцинкевича (адаптированной к контексту единичной окружности) мы видим, что любая такая последовательность ( также предполагается, что они ограничены, конечно) является множителем для любого 1 < p <∞ . ${\ displaystyle (x_ {n})}$${\ Displaystyle \ влево \ {2 ^ {п}, \ ldots, 2 ^ {п + 1} -1 \ вправо \}}$${\ displaystyle \ left \ {- 2 ^ {n + 1} +1, \ ldots, -2 ^ {n} \ right \}.}$

В одном измерении оператор дискового множителя (см. Таблицу выше) ограничен на L ^p для каждого 1 < p <∞ . Однако в 1972 году Чарльз Фефферман показал удивительный результат, что в двух и более измерениях оператор дискового множителя неограничен на L ^p для любого p ≠ 2 . Соответствующая проблема для множителей Бохнера – Рисса решена лишь частично; см. также гипотезу Бохнера – Рисса . ${\ displaystyle S_ {R} ^ {0}}$${\ displaystyle S_ {R} ^ {0}}$

Смотрите также

• Лемма Кальдерона – Зигмунда.
• Теорема Марцинкевича
• Сингулярные интегралы
• Сингулярные интегральные операторы типа свертки

Примечания

Процитированные работы

• Duoandikoetxea, Хавьер (2001), анализ Фурье , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2172-5
• Стейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press

Общие ссылки

• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-09431-1
• Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
• Хёрмандер, Ларс (1960), "Оценки трансляционно-инвариантных операторов в пространствах L ^p ", Acta Mathematica , 104 : 93–140, doi : 10.1007 / bf02547187
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных, I. Теория распределений и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
• Михлин, Соломон Г. (1956), «О множителях интегралов Фурье», Докл. АН СССР , 109 : 701–703, Zbl  0073.08402.(на русском языке ).
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, 83 , Pergamon Press , Zbl  0129.07701. Он содержит исчерпывающий обзор всех результатов, известных на момент публикации, включая краткий обзор истории.
• Рудин, Вальтер (1962), Анализ Фурье на группах , Interscience
• Торчинский, Альберто (2004), Методы действительных переменных в гармоническом анализе , Дувр, ISBN 0-486-43508-3