Сходимость рядов Фурье - Convergence of Fourier series

В математике , вопрос о том , что ряд Фурье о наличии периодической функции сходится к данной функции исследуется поле , известное как классический гармонический анализ , филиал чистой математики . Сходимость не обязательно дается в общем случае, и для того, чтобы сходимость произошла, должны быть соблюдены определенные критерии.

Определение сходимости требует понимания поточечной сходимости , равномерной сходимости , абсолютной сходимости , пространств L ^p , методов суммирования и среднего Чезаро .

Предварительные мероприятия

Рассмотрим f как интегрируемую функцию на интервале [0, 2 π ] . Для такого ф на коэффициенты Фурье определяются формулой ${\ displaystyle {\ widehat {f}} (п)}$

${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (t) e ^ {- int} \, \ mathrm {d} t, \ quad n \ in \ mathbb {Z}.}$

Связь между f и его рядом Фурье принято описывать как

${\ displaystyle f \ sim \ sum _ {n} {\ widehat {f}} (n) e ^ {int}.}$

Обозначение ~ здесь означает, что сумма в некотором смысле представляет функцию. Чтобы исследовать это более тщательно, необходимо определить частичные суммы:

${\ displaystyle S_ {N} (f; t) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} {\ widehat {f}} (n) e ^ {int}.}$

Здесь возникает вопрос: сходятся ли функции (которые являются функциями переменной t, которую мы пропустили в обозначениях) к f и в каком смысле? Существуют ли условия на f, обеспечивающие тот или иной тип сходимости? Это основная проблема, обсуждаемая в этой статье. ${\ Displaystyle S_ {N} (е)}$

Прежде чем продолжить, необходимо ввести ядро Дирихле . Взяв формулу для , вставив ее в формулу для и проведя некоторую алгебру, получаем, что ${\ displaystyle {\ widehat {f}} (п)}$${\ displaystyle S_ {N}}$

${\ Displaystyle S_ {N} (е) = е * D_ {N}}$

где ∗ обозначает периодическую свертку, а - ядро ​​Дирихле, имеющее явную формулу ${\ displaystyle D_ {N}}$

${\ displaystyle D_ {n} (t) = {\ frac {\ sin ((n + {\ frac {1} {2}}) t)} {\ sin (t / 2)}}.}$

Ядро Дирихле не является положительным ядром, и на самом деле его норма расходится, а именно

${\ displaystyle \ int | D_ {n} (t) | \, \ mathrm {d} t \ to \ infty}$

факт, который играет решающую роль в обсуждении. Норма D _n в L ¹ ( T ) совпадает с нормой оператора свертки с D _n , действующим в пространстве C ( T ) периодических непрерывных функций, или с нормой линейного функционала f  → ( S _n f ) (0) на C ( T ). Следовательно, это семейство линейных функционалов на C ( T ) неограниченно при n  → ∞.

Величина коэффициентов Фурье

В приложениях часто бывает полезно знать размер коэффициента Фурье.

Если - абсолютно непрерывная функция, ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {K \ over | n |}}$

для константы, которая зависит только от . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle f}$

Если - функция ограниченной вариации , ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {{\ rm {var}} (f) \ over 2 \ pi | n |}.}$

Если ${\ displaystyle f \ in C ^ {p}}$

${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {\ | f ^ {(p)} \ | _ {L_ {1}} \ over | n | ^ {p}} .}$

Если и имеет модуль непрерывности , ${\ displaystyle f \ in C ^ {p}}$${\ displaystyle f ^ {(p)}}$${\ displaystyle \ omega _ {p}}$

${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {\ omega (2 \ pi / n) \ over | n | ^ {p}}}$

а значит, если принадлежит α- классу Гёльдера${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {K \ over | n | ^ {\ alpha}}.}$

Поточечная сходимость

Наложение базисных функций синусоидальной волны (внизу) для образования пилообразной волны (вверху); базисные функции имеют длины волн λ / k ( k = целое число) короче длины волны λ самой пилообразной формы (за исключением k = 1). Все базовые функции имеют узлы в узлах пилообразной формы, но все, кроме основных, имеют дополнительные узлы. Колебание вокруг зуба пилы называется явлением Гиббса.

Существует много известных достаточных условий, при которых ряд Фурье функции сходится в данной точке x , например, если функция дифференцируема в x . Даже скачкообразный разрыв не представляет проблемы: если функция имеет левую и правую производные в x , то ряд Фурье сходится к среднему от левого и правого пределов (но см. Явление Гиббса ).

Дирихле- Дини Критерий гласит: если ƒ 2 π -периодический, локально интегрируем и удовлетворяет

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left | {\ frac {f (x_ {0} + t) + f (x_ {0} -t)} {2}} - \ ell \ right | {\ frac {\ mathrm {d} t} {t}} <\ infty,}$

тогда (S _n f ) ( x ₀ ) сходится к ℓ. Отсюда следует, что для любой функции f любого класса Гёльдера α  > 0 ряд Фурье всюду сходится к f ( x ).

Также известно, что для любой периодической функции ограниченной вариации ряд Фурье всюду сходится. См. Также тест Дини . В общем, наиболее распространенными критериями поточечной сходимости периодической функции f являются следующие:

• Если f удовлетворяет условию Гёльдера, то его ряд Фурье сходится равномерно.
• Если f имеет ограниченную вариацию, то ее ряд Фурье всюду сходится.
• Если f непрерывна и ее коэффициенты Фурье абсолютно суммируемы, то ряд Фурье сходится равномерно.

Существуют непрерывные функции, ряд Фурье которых сходится поточечно, но не равномерно; см. Антони Зигмунд, Тригонометрические ряды , т. 1, глава 8, теорема 1.13, с. 300.

Однако ряду Фурье непрерывной функции нет необходимости поточечно сходиться. Возможно, самое простое доказательство использует неограниченность ядра Дирихле в L ¹ ( T ) и принцип равномерной ограниченности Банаха – Штейнгауза . Как типично для аргументов существования, использующих теорему Бэра о категории , это доказательство неконструктивно. Он показывает, что семейство непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в заданном x, имеет первую категорию Бэра в банаховом пространстве непрерывных функций на окружности.

Таким образом, в некотором смысле поточечная сходимость нетипична , и для большинства непрерывных функций ряд Фурье не сходится в данной точке. Однако теорема Карлесона показывает, что для данной непрерывной функции ряд Фурье сходится почти всюду.

Также можно указать явные примеры непрерывной функции, ряд Фурье которой расходится в 0: например, четная и 2π-периодическая функция f, определенная для всех x в [0, π] формулой

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {p = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {p ^ {2}}} \ sin \ left [\ left (2 ^ {p ^ { 3}} + 1 \ right) {\ frac {x} {2}} \ right].}$

Равномерная сходимость

Предположим , и имеет модуль непрерывности , тогда частичная сумма ряда Фурье сходится к функции со скоростью ${\ displaystyle f \ in C ^ {p}}$${\ displaystyle f ^ {(p)}}$

${\ Displaystyle | е (х) - (S_ {N} е) (х) | \ leq К {\ ln N \ над N ^ {p}} \ omega (2 \ pi / N)}$

для константы , которая не зависит ни от , ни , ни . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle N}$

Эта теорема, впервые доказанная Д. Джексоном, говорит, например, что если удовлетворяет условию - Гельдера , то ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle | f (x) - (S_ {N} f) (x) | \ leq K {\ ln N \ over N ^ {\ alpha}}.}$

Если это периодическая и абсолютно непрерывна на , то ряд Фурье сходится равномерно, но не обязательно совсем, . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Абсолютная конвергенция

Функция ƒ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, если

${\ displaystyle \ | е \ | _ {A}: = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | {\ widehat {f}} (n) | <\ infty.}$

Очевидно, что если это условие выполняется, то сходится абсолютно для любого t, а с другой стороны, достаточно, чтобы абсолютно сходилось даже для одного t , тогда это условие выполняется. Другими словами, для абсолютной сходимости нет вопроса о том, где сумма сходится абсолютно - если она сходится абсолютно в одной точке, то это происходит везде. ${\ Displaystyle (S_ {N} е) (т)}$${\ Displaystyle (S_ {N} е) (т)}$

Семейство всех функций с абсолютно сходящимся рядом Фурье является банаховой алгеброй (операция умножения в алгебре - это простое умножение функций). Это называется алгебра Винера , после того, как Norbert Wiener , который доказал , что если ƒ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и никогда не равна нулю, то 1 / ƒ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Первоначальное доказательство теоремы Винера было трудным; упрощение с использованием теории банаховых алгебр было дано Израилем Гельфандом . Наконец, в 1975 году Дональд Дж. Ньюман дал краткое элементарное доказательство .

Если принадлежит α-классу Гёльдера при α> 1/2, то ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ | е \ | _ {A} \ leq c _ {\ alpha} \ | f \ | _ {{\ rm {Lip}} _ {\ alpha}}, \ qquad \ | f \ | _ {K }: = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | n || {\ widehat {f}} (n) | ^ {2} \ leq c _ {\ alpha} \ | f \ | _ {{\ rm {Lip}} _ {\ alpha}} ^ {2}}$

для константы в условии Гельдера , постоянный только зависит от ; - норма алгебры Крейна. Обратите внимание, что 1/2 здесь существенна - есть 1/2-гёльдеровские функции, которые не принадлежат алгебре Винера. Кроме того, эта теорема не может улучшить наиболее известную оценку размера коэффициента Фурье α-функции Гёльдера - она ​​только и тогда не суммируется. ${\ Displaystyle \ | е \ | _ {{\ rm {Lip}} _ {\ alpha}}}$${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ | е \ | _ {K}}$${\ Displaystyle О (1 / п ^ {\ альфа})}$

Если ƒ имеет ограниченную вариацию и принадлежит к классу α-Гельдера для некоторого а> 0, то она принадлежит алгебре Винера.

Сходимость норм

Простейший случай является то , что L ² , что является прямой транскрипцией общего пространства Гильберта результатов. Согласно теореме Рисса-Фишера , если ƒ является квадратично интегрируемым тогда

${\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f (x) -S_ {N} (f) (x) \ right | ^ {2} \, \ mathrm {d} x = 0}$

т.е. ,  сходится к ƒ в норме L ² . Легко видеть , что верно и обратное утверждение: если предел выше равен нулю, ƒ должен быть в L ² . Так что это условие « если и только если» . ${\ displaystyle S_ {N} f}$

Если 2 в приведенных выше показателях заменить некоторым p , вопрос становится намного сложнее. Оказывается, сходимость сохраняется, если 1 < p  <∞. Другими словами, для ƒ в L ^р ,  сходится к ƒ в л ^р норме. Первоначальное доказательство использует свойства голоморфных функций и пространств Харди , а другое доказательство Саломона Бохнера опирается на интерполяционную теорему Рисса – Торина . Для p  = 1 и бесконечности результат неверен. Построение примера дивергенции в L ¹ было впервые выполнено Андреем Колмогоровым (см. Ниже). Для бесконечности результат является следствием принципа равномерной ограниченности . ${\ Displaystyle S_ {N} (е)}$

Если оператор частичного суммирования S _N заменить подходящим ядром суммируемости (например, суммой Фейера, полученной путем свертки с ядром Фейера ), можно применить основные функциональные аналитические методы, чтобы показать, что сходимость по норме имеет место для 1 ≤  p  <∞.

Сходимость почти везде

Вопрос о том, сходится ли почти всюду ряд Фурье любой непрерывной функции, был поставлен Николаем Лусиным в 20-х годах прошлого века. Она была положительно решена в 1966 году Леннартом Карлесоном . Его результат, теперь известный как теорема Карлесона , говорит разложение Фурье любой функции в L ² сходится почти всюду. Позже Ричард Хант обобщил это на L ^p для любого p  > 1.

Напротив, Андрей Колмогоров , будучи студентом в возрасте 19 лет, в своей первой научной работе построил пример функции из L ¹ , ряд Фурье которой расходится почти всюду (позже улучшенный, чтобы расходиться везде).

Жан-Пьер Кахане и Ицхак Кацнельсон доказал , что для любого заданного множества Е в меру нуль, то существует непрерывная функция ƒ такая , что ряд Фурье ƒ не сходится в любой точке Е .

Суммируемость

Сходится ли последовательность 0,1,0,1,0,1, ... (частичные суммы ряда Гранди ) к ½? Это не кажется очень необоснованным обобщением понятия конвергенции. Поэтому мы говорим , что любая последовательность является Чезаро суммирует к некоторым а если ${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} = a.}$

Нетрудно видеть, что если последовательность сходится к некоторому a, то она также суммируема по Чезаро .

Чтобы обсудить суммируемость рядов Фурье, мы должны заменить их подходящим понятием. Следовательно, мы определяем ${\ displaystyle S_ {N}}$

${\ displaystyle K_ {N} (f; t) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} S_ {n} (f; t), \ quad N \ geq 1,}$

и спросите: сходится ли к f ? больше не связано с ядром Дирихле, а с ядром Фейера , а именно ${\ Displaystyle K_ {N} (е)}$${\ displaystyle K_ {N}}$

${\ Displaystyle К_ {N} (е) = е * F_ {N} \,}$

где - ядро ​​Фейера, ${\ displaystyle F_ {N}}$

${\ displaystyle F_ {N} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} D_ {n}.}$

Основное отличие состоит в том, что ядро ​​Фейера является положительным ядром. Теорема Фейера утверждает, что указанная выше последовательность частичных сумм равномерно сходится к ƒ . Это влечет за собой гораздо лучшие свойства сходимости.

• Если ƒ непрерывен в точке т , то ряд Фурье ƒ суммирует по т к ƒ ( т ). Если ƒ непрерывен, то ее ряд Фурье равномерно суммирует (т.е. сходится равномерно к ƒ ).${\ displaystyle K_ {N} f}$
• Для любой интегрируемой ƒ , сходится к ƒ в норме.${\ displaystyle K_ {N} f}$${\ displaystyle L ^ {1}}$
• Феномена Гиббса нет.

Из результатов о суммируемости могут также следовать результаты о регулярной сходимости. Например, мы узнаем, что если ƒ непрерывно в точке t , то ряд Фурье от ƒ не может сходиться к значению, отличному от ƒ ( t ). Он может либо сходиться к ƒ ( t ), либо расходиться. Это потому, что, если сходится к некоторому значению x , оно также суммируемо с ним, поэтому из первого свойства суммируемости выше x  = ƒ ( t ). ${\ Displaystyle S_ {N} (е; т)}$

Порядок роста

Порядок роста ядра Дирихле логарифмический, т.е.

${\ displaystyle \ int | D_ {N} (t) | \, \ mathrm {d} t = {\ frac {4} {\ pi ^ {2}}} \ log N + O (1).}$

См. Обозначение Big O для обозначения O (1). Фактическое значение трудно вычислить (см. Зигмунд 8.3), и оно практически бесполезно. Тот факт, что для некоторой константы c мы имеем ${\ displaystyle 4 / \ pi ^ {2}}$

${\ displaystyle \ int | D_ {N} (t) | \, \ mathrm {d} t> c \ log N + O (1)}$

достаточно ясно, если рассматривать график ядра Дирихле. Интеграл по n- му пику больше, чем c / n, и поэтому оценка суммы гармоник дает логарифмическую оценку.

Эта оценка влечет за собой количественные версии некоторых предыдущих результатов. Для любой непрерывной функции f и любого t выполняется

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {S_ {N} (f; t)} {\ log N}} = 0.}$

Однако, при любом порядке со роста ( п ) меньше , чем бревна, это уже не имеет места, и это не возможно найти непрерывную функцию F таким образом, что в течение некоторого т ,

${\ displaystyle \ varlimsup _ {N \ to \ infty} {\ frac {S_ {N} (f; t)} {\ omega (N)}} = \ infty.}$

Эквивалентная проблема для расходимости всюду открыта. Конягин удался построить интегрируемую функцию таких , что для любого Т один имеет

${\ displaystyle \ varlimsup _ {N \ to \ infty} {\ frac {S_ {N} (f; t)} {\ sqrt {\ log N}}} = \ infty.}$

Неизвестно, является ли этот пример наилучшим из возможных. Единственная известная граница с другого направления - это log n .

Несколько измерений

Изучив эквивалентную задачу более чем в одном измерении, необходимо указать точный порядок суммирования, который используется. Например, в двух измерениях можно определить

${\ Displaystyle S_ {N} (е; t_ {1}, t_ {2}) = \ sum _ {| n_ {1} | \ leq N, | n_ {2} | \ leq N} {\ widehat {f }} (n_ {1}, n_ {2}) e ​​^ {i (n_ {1} t_ {1} + n_ {2} t_ {2})}}$

которые известны как «квадратные частичные суммы». Заменив указанную выше сумму на

${\ displaystyle \ sum _ {n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2} \ leq N ^ {2}}}$

приводят к "частичным круговым суммам". Разница между этими двумя определениями весьма заметна. Например, норма соответствующего ядра Дирихле для квадратных частичных сумм имеет порядок, а для круговых частичных сумм - порядка . ${\ displaystyle \ log ^ {2} N}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$

Многие результаты, верные для одного измерения, неверны или неизвестны для нескольких измерений. В частности, эквивалент теоремы Карлесона все еще открыт для круговых частичных сумм. Почти везде сходимость «квадратных частичных сумм» (а также более общих многоугольных частичных сумм) в нескольких измерениях была установлена ​​примерно в 1970 году Чарльзом Фефферманом .

Примечания

использованная литература

Учебники

• Данхэм Джексон Теория приближения , Публикация Коллоквиума AMS Том XI, Нью-Йорк 1930.
• Нина К. Бары, Трактат о тригонометрических рядах , Тт. I, II. Авторизованный перевод Маргарет Ф. Маллинс. Книга Пергамской прессы. Macmillan Co., Нью-Йорк, 1964 год.
• Антони Зигмунд, Тригонометрические ряды , Vol. I, II. Третье издание. С предисловием Роберта А. Феффермана. Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. ISBN  0-521-89053-5
• Ицхак Кацнельсон, Введение в гармонический анализ , Третье издание. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2004. ISBN  0-521-54359-2
• Карл Р. Стромберг, Введение в классический анализ , Wadsworth International Group, 1981. ISBN  0-534-98012-0

В книге Кацнельсона использована самая современная терминология и стиль из трех. Первоначальные даты публикации: Зигмунд в 1935 году, Бари в 1961 году и Кацнельсон в 1968 году. Однако книга Зигмунда была значительно расширена во втором издании в 1959 году.

Статьи, на которые есть ссылки в тексте

• Поль дю Буа-Реймон , "Ueber die Fourierschen Reihen", Nachr. Kön. Ges. Wiss. Göttingen 21 (1873), 571–582.

Это первое доказательство того, что ряд Фурье непрерывной функции может расходиться. На немецком

• Андрей Колмогоров , "Une série de Fourier – Lebesgue divergente presque partout", Fundamenta Mathematicae 4 (1923), 324–328.
• Андрей Колмогоров, "Une série de Fourier – Lebesgue divergente partout", CR Acad. Sci. Париж 183 (1926), 1327–1328

Первый - это построение интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Второе - повсюду усиление дивергенции. На французском.

• Леннарт Карлесон , "О сходимости и росте частных сумм рядов Фурье", Acta Math. 116 (1966) 135–157.
• Ричард А. Хант , "О сходимости рядов Фурье", Ортогональные разложения и их непрерывные аналоги (Proc. Conf., Edwardsville, Ill., 1967), 235–255. Южный Иллинойс Univ. Press, Карбондейл, Иллинойс.
• Чарльз Луи Фефферман , "Точечная сходимость рядов Фурье", Ann. математики. 98 (1973), 551–571.
• Майкл Лейси и Кристоф Тиле , "Доказательство ограниченности оператора Карлесона", Math. Res. Lett. 7: 4 (2000), 361–370.
• Оле Г. Йёрсбо, Лейф Мейлбро, Теорема Карлесона – Ханта о рядах Фурье . Конспект лекций по математике 911, Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1982. ISBN  3-540-11198-0

Это оригинальная работа Карлесона, в которой он доказывает, что разложение Фурье любой непрерывной функции сходится почти всюду; статья Ханта, где он обобщает ее на пространства; две попытки упростить доказательство; и книга, которая дает его самостоятельное изложение.${\ Displaystyle L ^ {p}}$

• Данэм Джексон , Ряды Фурье и ортогональные многочлены , 1963 г.
• DJ Newman, "Простое доказательство 1 / f теоремы Винера", Proc. Амер. Математика. Soc. 48 (1975), 264–265.
• Жан-Пьер Кахан и Ицхак Кацнельсон , "Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques", Studia Math. 26 (1966), 305–306

В этой статье авторы показывают, что для любого множества нулевой меры существует непрерывная функция на окружности, ряд Фурье которой расходится на этом множестве. На французском.

• Сергей Владимирович Конягин , "О расходимости тригонометрических рядов Фурье всюду", ЦРН Акад. Sci. Париж, 329 (1999), 693–697.
• Жан-Пьер Кахан, Некоторые случайные серии функций , второе издание. Cambridge University Press, 1993. ISBN  0-521-45602-9

Работа Конягина доказывает рассмотренный выше результат о расходимости. Более простое доказательство, которое дает только log log  n, можно найти в книге Кахане.${\ displaystyle {\ sqrt {\ log n}}}$