Почти всюду - Almost everywhere

Простой пример меры присваивает подобласти прямоугольника долю занимаемой им геометрической площади . Тогда граница прямоугольника имеет меру 0, а его внутренняя часть имеет меру 1. Почти каждая точка прямоугольника является внутренней точкой , но внутренняя часть имеет непустое дополнение .

В теории меры (раздел математического анализа ) свойство имеет место почти везде, если с технической точки зрения набор, для которого это свойство имеет место, использует почти все возможности. Понятие «почти всюду» является сопутствующим понятием концепции меры нуль и аналогично понятию почти наверняка в теории вероятностей .

Более конкретно, свойство выполняется почти везде, если оно выполняется для всех элементов в наборе, кроме подмножества с нулевой мерой, или, что эквивалентно, если набор элементов, для которых выполняется свойство, является конулентным . В случаях, когда мера не полная , достаточно, чтобы набор содержался в наборе нулевой меры. При обсуждении множества действительных чисел , то мера Лебега обычно предполагается , если не указано иное.

Термин почти повсеместно сокращается до ae ; в более ранней литературе pp используется для обозначения эквивалентной французской языковой фразы presque partout .

Множество с полной мерой - это множество , дополнение которого имеет нулевую меру. В теории вероятностей термины почти наверняка , почти наверняка и почти всегда относятся к событиям с вероятностью 1, не обязательно включая все исходы. Это в точности наборы полной меры в вероятностном пространстве.

Иногда вместо того, чтобы сказать, что свойство выполняется почти везде, говорят, что свойство выполняется почти для всех элементов (хотя термин « почти все» также может иметь другие значения).

Определение

Если - пространство с мерой , то говорят , что свойство имеет место почти всюду в, если существует набор с , и все они обладают этим свойством . Другой распространенный способ выразить то же самое, чтобы сказать , что «почти каждая точка удовлетворяет », или что «почти каждый , имеет». ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle N \ in \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ му (N) = 0}$ ${\ displaystyle x \ in X \ setminus N}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ Displaystyle P \,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle P (x)}$

Это не требуется , что множество имеет меру 0; он может не принадлежать . По приведенному выше определению достаточно, чтобы он содержался в некотором измеримом множестве , имеющем меру 0. ${\ Displaystyle \ {х \ в X: \ neg P (x) \}}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ {х \ в X: \ neg P (x) \}}$ ${\ displaystyle N}$

Характеристики

Если свойство имеет место почти всюду и влечет свойство , то свойство сохраняется почти всюду. Это следует из монотонности мер. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle Q}$
Если - конечная или счетная последовательность свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их конъюнкция выполняется почти всюду. Это следует из счетной субаддитивности мер. ${\ displaystyle (P_ {n})}$ ${\ displaystyle \ forall nP_ {n}}$
Напротив, если - несчетное семейство свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их конъюнкция не обязательно выполняется почти всюду. Например, если мера Лебега на и свойство не быть равным (т.е. истинно тогда и только тогда ), то каждое из них выполняется почти всюду, но конъюнкция нигде не выполняется. ${\ displaystyle (P_ {x}) _ {x \ in \ mathbf {R}}}$ ${\ displaystyle \ forall xP_ {x}}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle X = \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle P_ {x}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle P_ {x} (y)}$ ${\ displaystyle y \ neq x}$ ${\ displaystyle P_ {x}}$ ${\ displaystyle \ forall xP_ {x}}$

Как следствие первых двух свойств, часто можно рассуждать о «почти каждой точке» пространства мер, как если бы это была обычная точка, а не абстракция. Это часто делается неявно в неформальных математических аргументах. Однако следует быть осторожным с этим способом рассуждений из-за третьего пункта выше: универсальная количественная оценка по бесчисленным семействам утверждений действительна для обычных точек, но не для «почти каждой точки».

Примеры

Если f : R → R - интегрируемая по Лебегу функция и почти всюду, то ${\ Displaystyle е (х) \ geq 0}$
${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (х) \, dx \ geq 0}$
для всех действительных чисел с равенством тогда и только тогда, когда почти везде. ${\ displaystyle a <b}$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$
Если F : [ , Ь ] → R является монотонной функцией , то F является дифференцируемой почти везде.
Если f : R → R измеримо по Лебегу и
${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | е (х) | \, dx <\ infty}$

для всех действительных чисел существует такое множество E (зависящее от f ), что, если x принадлежит E , среднее значение Лебега ${\ displaystyle a <b}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ epsilon}} \ int _ {x- \ epsilon} ^ {x + \ epsilon} f (t) \, dt}$
сходится к f ( x ) при уменьшении до нуля. Множество E называется множеством Лебега f . Можно доказать, что его дополнение имеет нулевую меру. Другими слова, лебегово среднее из й сходятся к е почти всюду. ${\ displaystyle \ epsilon}$
Ограниченная функция F : [ , Ь ] → R является Риману тогда и только тогда , когда она непрерывна почти всюду.
Любопытно, что десятичное разложение почти каждого действительного числа в интервале [0, 1] содержит полный текст пьес Шекспира , закодированный в ASCII ; аналогично для любой другой конечной последовательности цифр см. Нормальное число .

Определение с помощью ультрафильтров

Вне контекста реального анализа понятие свойства, истинного почти везде, иногда определяется в терминах ультрафильтра . Ультрафильтр на множестве X - это максимальный набор F подмножеств X таких, что:

Если U ∈ F и U ⊆ V, то V ∈ F
Пересечение любых двух множеств в F находится в F
Пустое множество не в F

Свойство P точек в X имеет место почти всюду, по отношению к ультрафильтру F , если множество точек , для которых P имеет место в F .

Например, одна конструкция гиперреалистической системы счисления определяет гиперреалистическое число как класс эквивалентности последовательностей, которые почти всюду равны, как это определено ультрафильтром.

Определение почти везде в терминах ультрафильтров тесно связано с определением в терминах мер, потому что каждый ультрафильтр определяет конечно-аддитивную меру, принимающую только значения 0 и 1, где набор имеет меру 1 тогда и только тогда, когда он включен в ультрафильтре.

Смотрите также

Функция Дирихле, функция , которая почти всюду равна 0.

Библиография

Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-00710-2 .

[:0-1] а ^б «Окончательный словарь высшего математического жаргона - почти» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 19 ноября 2019 .

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Почти везде» . mathworld.wolfram.com . Проверено 19 ноября 2019 .

[3] Халмос, Пол Р. (1974). Теория меры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8 .

[4] "Определение почти везде | Dictionary.com" . www.dictionary.com . Проверено 19 ноября 2019 .

[5] Урселл, HD (1932-01-01). «О сходимости почти всюду рядов Радемахера и сумм Бохнерфейера функции, почти периодической в смысле Степанова» . Труды Лондонского математического общества . s2-33 (1): 457–466. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-33.1.457 . ISSN 0024-6115 .

[6] «Свойства, которые хранятся почти везде - Mathonline» . mathonline.wikidot.com . Проверено 19 ноября 2019 .

Languages

In other projects