Тригонометрический ряд - Trigonometric series

В математике тригонометрический ряд - это ряд вида:

${\ displaystyle {\ frac {A_ {0}} {2}} + \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (A_ {n} \ cos {nx} + B_ {n} \ sin { nx}).}$

Он называется рядом Фурье, если члены и имеют вид: ${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle B_ {n}}$

${\ displaystyle A_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \! f (x) \ cos {nx} \, dx \ qquad ( п = 0,1,2,3 \ точки)}$

${\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \! f (x) \ sin {nx} \, dx \ qquad ( п = 1,2,3, \ точки)}$

где - интегрируемая функция . ${\ displaystyle f}$

Нули тригонометрического ряда

Уникальность и нули тригонометрических рядов были активной областью исследований в Европе 19 века. Во-первых, Георг Кантор доказал, что если тригонометрический ряд сходится к функции на интервале , который тождественно равен нулю или, в более общем смысле, отличен от нуля не более чем в конечном числе точек, то все коэффициенты ряда равны нулю. ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$

Позже Кантор доказал , что даже если множество S , на котором отличен от нуля бесконечно, но производное множество S» из S конечна, то коэффициенты равны нулю. Фактически, он доказал более общий результат. Пусть S ₀ = S , и пусть S _{к + 1} будет получен набор из S _к . Если существует конечное число n, для которого S _n конечно, то все коэффициенты равны нулю. Позже Лебег доказал, что если существует счетно бесконечный ординал α такой, что S _α конечно, то все коэффициенты ряда равны нулю. Известно, что работа Кантора над проблемой уникальности привела к тому, что он изобрел трансфинитные порядковые числа , которые появились как нижние индексы α в S _α . ${\ displaystyle f}$

Ссылки