Теорема Фейера - Fejér's theorem

В математике теорема Фейера , названная в честь венгерского математика липот фейер , утверждает , что , если F : R  →  C является непрерывной функцией с периодом 2л, то последовательность (σ _п ) из Чезаро посредством последовательности ( ы _п ) из частичных сумм из ряд Фурье от F равномерно сходится к F на [-я, π].

Явно,

${\ displaystyle s_ {n} (x) = \ sum _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} e ^ {ikx},}$

где

${\ displaystyle c_ {k} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) e ^ {- ikt} dt,}$

и

${\ displaystyle \ sigma _ {n} (x) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} (x) = {\ frac {1 } {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (xt) F_ {n} (t) dt,}$

где F _n является ядром Фейера n- го порядка .

Более общая форма теоремы применяется к функциям, которые не обязательно являются непрерывными ( Зигмунд 1968 , теорема III.3.4). Предположим, что f принадлежит L ¹ (-π, π). Если левый и правый пределы f ( x ₀ ± 0) функции f ( x ) существуют в x ₀ , или если оба предела бесконечны одного и того же знака, то

${\ displaystyle \ sigma _ {n} (x_ {0}) \ to {\ frac {1} {2}} \ left (f (x_ {0} +0) + f (x_ {0} -0) \ право).}$

Также подразумевается существование или расхождение до бесконечности среднего значения Чезаро. По теореме Марселя Рисса теорема Фейера выполняется точно так, как указано, если (C, 1) среднее σ _n заменить на (C, α) среднее значение ряда Фурье ( Zygmund 1968 , теорема III.5.1).

Ссылки

• Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрическая серия (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-521-35885-9.