Функция знака - Sign function

Сигнум-функция

y = sign x

В математике , то функция знак или знаковая функция (от Signum , латинская для «знака») является нечетной математической функцией , которая извлекает знак из более действительного числа . В математических выражениях знаковая функция часто представлена как $sgn$ . Чтобы избежать путаницы с функцией синуса, эту функцию обычно называют функцией signum.

Определение

Знаковая функция действительного числа $x$ определяется следующим образом:

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x: = {\ begin {cases} -1 & {\ text {if}} x <0, \\ 0 & {\ text {if}} x = 0, \\ 1 & {\ text {if}} x> 0. \ end {ases}}}

Характеристики

Знаковая функция не является непрерывной при

x = 0

.

Любое действительное число может быть выражено как произведение его абсолютного значения и его функции знака:

{\ displaystyle x = | x | \ operatorname {sgn} x.}

Отсюда следует, что всякий раз, когда $x$ не равно 0, мы имеем

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = {\ frac {x} {| x |}} = {\ frac {| x |} {x}} \ ,.}

Аналогично, для любого действительного числа $x$ ,

{\ displaystyle | x | = x \ operatorname {sgn} x.}

Мы также можем констатировать, что:

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x ^ {n} = (\ operatorname {sgn} x) ^ {n}.}

Знаковая функция - это производная от функции абсолютного значения с точностью до (но не включая) неопределенности в нуле. Более формально в теории интегрирования это слабая производная , а в теории выпуклых функций субдифференциал абсолютного значения в 0 - это интервал $[-1, 1]$ , «заполняющий» знаковую функцию (субдифференциал абсолютного значения равен не однозначно в 0). Обратите внимание, что результирующая степень $x$ равна 0, как и обычная производная $x$ . Числа отменяются, и все, что у нас остается, - это знак $x$ .

{\ displaystyle {\ frac {d | x |} {dx}} = \ operatorname {sgn} x {\ mbox {for}} x \ neq 0 \ ,.}

Сигнум-функция дифференцируема с производной 0 везде, кроме точки 0. Она не дифференцируема в 0 в обычном смысле, но согласно обобщенному понятию дифференцирования в теории распределений производная сигнум-функции в два раза больше дельта-функции Дирака , что можно продемонстрировать с помощью идентичности

{\ Displaystyle \ OperatorName {SGN} х = 2Н (х) -1 \ ,,}

где $H (x)$ - ступенчатая функция Хевисайда с использованием стандартного $H (0) =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/2$ формализм. Используя это тождество, легко вывести производную по распределению:

{\ displaystyle {\ frac {d \ operatorname {sgn} x} {dx}} = 2 {\ frac {dH (x)} {dx}} = 2 \ delta (x) \ ,.}

Преобразование Фурье сигнум-функции имеет вид

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (\ operatorname {sgn} x) e ^ {- ikx} dx = \ mathrm {pv} {\ frac {2} {ik}}}

,

где p. v. означает главное значение Коши .

Знак можно также записать в скобках Айверсона :

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = - [x <0] + [x> 0] \ ,.}

Знак также может быть записан с использованием функций пола и абсолютного значения :

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x = {\ Biggl \ lfloor} {\ frac {x} {| x | +1}} {\ Biggr \ rfloor} - {\ Biggl \ lfloor} {\ frac {-x} {| -x | +1}} {\ Biggr \ rfloor} \ ,.}

При $k ≫ 1$ гладкая аппроксимация знаковой функции имеет вид

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x \ приблизительно \ tanh kx \ ,.}

Другое приближение

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} x \ приблизительно {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + \ varepsilon ^ {2}}}} \ ,.}

который становится более резким при $ε \to 0$ ; обратите внимание, что это производная от $\sqrt x 2 + ε 2$ . Это основано на том факте, что указанное выше в точности равно для всех ненулевых $x,$ если $ε = 0$ , и имеет преимущество простого обобщения на многомерные аналоги знаковой функции (например, частные производные $\sqrt x 2 + y 2$ ).

См. « Ступенчатая функция Хевисайда - Аналитические приближения» .

Комплексный сигнал

Сигнум-функцию можно обобщить на комплексные числа следующим образом:

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} z = {\ frac {z} {| z |}}}

для любого комплексного числа $z,$ кроме $z = 0$ . Сигнум данного комплексного числа $г$ является точкой на единичной окружности в комплексной плоскости , которая является ближайшей к $г$ . Тогда для $г \neq 0$ ,

{\ Displaystyle \ OperatorName {SGN} г = е ^ {я \ арг г} \ ,,}

где $arg$ - функция комплексного аргумента .

По причинам симметрии, а также для сохранения правильного обобщения сигнум-функции на вещественные числа, также в комплексной области, обычно определяемой для $z = 0$ :

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} (0 + 0i) = 0}

Другое обобщение функции знака для вещественных и сложных выражений - $csgn$ , которое определяется как:

{\ displaystyle \ operatorname {csgn} z = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} \ mathrm {Re} (z)> 0, \\ - 1 & {\ text {if}} \ mathrm {Re } (z) <0, \\\ имя оператора {sgn} \ mathrm {Im} (z) & {\ text {if}} \ mathrm {Re} (z) = 0 \ end {cases}}}

где $Re (z)$ - действительная часть $z,$ а $Im (z)$ - мнимая часть $z$ .

Тогда (при $z \neq 0$ ) имеем :

{\ displaystyle \ operatorname {csgn} z = {\ frac {z} {\ sqrt {z ^ {2}}}} = {\ frac {\ sqrt {z ^ {2}}} {z}}.}

Обобщенная сигнум-функция

При действительных значениях $x$ можно определить обобщенную функцию - вариант сигнум-функции $ε (x)$ такую, что $ε (x) 2 = 1$ всюду, в том числе в точке $x = 0$ , в отличие от $sgn$ , для которой $( знак 0) 2 = 0$ . Этот обобщенный знак позволяет построить алгебру обобщенных функций , но цена такого обобщения - потеря коммутативности . В частности, обобщенные сигнум-антикоммутируют с дельта-функцией Дирака

{\ Displaystyle \ varepsilon (x) \ delta (x) + \ delta (x) \ varepsilon (x) = 0 ~;}

кроме того, $ε (x)$ нельзя вычислить при $x = 0$ ; и специальное имя $ε$ необходимо, чтобы отличать ее от функции $sgn$ . ( $ε (0)$ не определено, но $sign 0 = 0.$ )

Смотрите также

Примечания

^ ^a ^b "Функция Signum - Maeckes" . www.maeckes.nl .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Знак" . MathWorld .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Ступенчатая функция Хевисайда" . MathWorld .
^ Берроуз, BL; Колвелл, ди-джей (1990). «Преобразование Фурье единичной ступенчатой функции». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 21 (4): 629–635. DOI : 10.1080 / 0020739900210418 .
^ Документация по Maple V. 21 мая 1998 г.
^ Yu.M.Shirokov (1979). «Алгебра одномерных обобщенных функций» . Хвостохранилище . 39 (3): 471–477. DOI : 10.1007 / BF01017992 . Архивировано из оригинала на 2012-12-08.

[:0-1] "Функция Signum - Maeckes" . www.maeckes.nl .

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Знак" . MathWorld .

[3] Вайсштейн, Эрик В. "Ступенчатая функция Хевисайда" . MathWorld .

[4] Берроуз, BL; Колвелл, ди-джей (1990). «Преобразование Фурье единичной ступенчатой функции». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 21 (4): 629–635. DOI : 10.1080 / 0020739900210418 .

[5] Документация по Maple V. 21 мая 1998 г.

[Algebra-6] Yu.M.Shirokov (1979). «Алгебра одномерных обобщенных функций» . Хвостохранилище . 39 (3): 471–477. DOI : 10.1007 / BF01017992 . Архивировано из оригинала на 2012-12-08.

Languages

In other projects