Интегральный оператор Фурье - Fourier integral operator

В математическом анализе , интегральные операторы Фурье стали важным инструментом в теории дифференциальных уравнений в частных . Класс интегральных операторов Фурье содержит дифференциальные операторы, а также классические интегральные операторы в качестве частных случаев.

Интегральный оператор Фурье определяется выражением: ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle (Tf) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi i \ Phi (x, \ xi)} a (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi) \, d \ xi}$

где обозначает преобразование Фурье , является стандартным символом , который имеет компактный носитель в и вещественнозначен и однородна степени в . Также необходимо потребовать, чтобы при поддержке файла. В этих условиях, если a имеет нулевой порядок, можно показать, что определяет ограниченный оператор от до . ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle а (х, \ хи)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ det \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial x_ {i} \, \ partial \ xi _ {j}}} \ right) \ neq 0}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

Примеры

Одним из мотивов изучения интегральных операторов Фурье является оператор решения начальной задачи для волнового оператора. Действительно, рассмотрим следующую проблему:

${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} (t, x) = \ Delta u (t , x) \ quad \ mathrm {for} \ quad (t, x) \ in \ mathbb {R} ^ {+} \ times \ mathbb {R} ^ {n},}$

а также

${\ displaystyle u (0, x) = 0, \ quad {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} (0, x) = f (x), \ quad \ mathrm {for} \ quad f \ в {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n}).}$

Решение этой проблемы дает

${\ displaystyle u (t, x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int {\ frac {e ^ {i (\ langle x, \ xi \ rangle + ct | \ xi |)}} {2i | \ xi |}} {\ hat {f}} (\ xi) \, d \ xi - {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int {\ frac {e ^ {i (\ langle x, \ xi \ rangle -ct | \ xi |)}} {2i | \ xi |}} {\ hat {f}} (\ xi) \, d \ xi.}$

Их следует интерпретировать как осциллирующие интегралы, поскольку они, как правило, не сходятся. Формально это выглядит как сумма двух интегральных операторов Фурье, однако коэффициенты в каждом из интегралов не являются гладкими в начале координат и, следовательно, не являются стандартными символами. Если вырезать эту особенность с помощью срезающей функции, то полученные таким образом операторы по-прежнему будут обеспечивать решения начальной задачи по модулю гладких функций. Таким образом, если нас интересует только распространение особенностей начальных данных, достаточно рассмотреть такие операторы. Фактически, если мы позволим скорости звука c в волновом уравнении изменяться в зависимости от положения, мы все равно сможем найти интегральный оператор Фурье, который дает решение по модулю гладких функций, и интегральные операторы Фурье, таким образом, предоставляют полезный инструмент для изучения распространения сингулярностей решения волновых уравнений с переменной скоростью и, в более общем плане, других гиперболических уравнений.

Смотрите также

• Микролокальный анализ
• преобразование Фурье
• Псевдодифференциальный оператор
• Колебательный интегральный оператор
• Симплектическая категория

Заметки

Рекомендации

• Элиас Стейн, Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы . Princeton University Press, 1993. ISBN   0-691-03216-5
• Ф. Тревес, Введение в псевдодифференциальные и интегральные операторы Фурье, (Университетская серия по математике), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN   0-306-40404-4
• JJ Duistermaat , Интегральные операторы Фурье, (Прогресс в математике), Birkhäuser 1995. ISBN   0-8176-3821-0

Внешние ссылки

• "Интегральный оператор Фурье" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]