Норма оператора - Operator norm

В математике , то норма оператора измеряет «размер» некоторых линейных операторов , присвоив каждому из них действительное число называется его оператор нормы . Формально это норма, определенная на пространстве линейных ограниченных операторов между двумя заданными нормированными векторными пространствами .

Введение и определение

Учитывая два нормированных векторных пространства и (над одним и тем же базовым полем , либо действительные числа, либо комплексные числа ), линейная карта является непрерывной тогда и только тогда, когда существует действительное число такое, что ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$${\ displaystyle c}$

Норма слева равна единице, а норма справа - единице . Интуитивно понятно, что непрерывный оператор никогда не увеличивает длину любого вектора более чем в 1 раз. Таким образом, образ ограниченного множества при непрерывном операторе также ограничен. Из-за этого свойства непрерывные линейные операторы также известны как ограниченные операторы . Чтобы «измерить размер» можно взять нижнюю грань чисел так , чтобы указанное выше неравенство выполнялось для всех. Это число представляет собой максимальный скалярный коэффициент, на который «удлиняет» векторы. Другими словами, «размер» измеряется тем, насколько он «удлиняет» векторы в «самом большом» случае. Итак, мы определяем операторную норму как ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle c.}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle v \ in V.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Нижняя грань достигается как множество всех таких является закрытым , непустое и ограничена снизу. ${\ displaystyle c}$

Важно иметь в виду , что эта норма оператора зависит от выбора норм для нормированных векторных пространств и W . ${\ displaystyle V}$

Примеры

Каждая матрица вещественных чисел соответствует линейному отображению из в Каждая пара множества (векторных) норм, применимых к действительным векторным пространствам, индуцирует операторную норму для матриц действительных чисел, основанных только на действительных числах; эти индуцированные нормы образуют подмножество матричных норм . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}.}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

Если мы специально выбираем евклидову норму на обоих и затем матричная норма дана матрица является квадратный корень из наибольшего собственного значения матрицы (где обозначает сопряженную транспозицию в ). Это равносильно тому , назначая наибольшее сингулярное значение из${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {*} A}$${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A.}$

Переходя к типичному бесконечномерному примеру, рассмотрим пространство последовательностей, которое является пространством L ^p , определяемым формулой ${\ displaystyle \ ell ^ {2},}$

Это можно рассматривать как бесконечномерный аналог евклидова пространства. Теперь рассмотрим ограниченную последовательность . Последовательность - это элемент пространства с нормой, заданной формулой ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$${\ displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}.}$${\ displaystyle s _ {\ bullet}}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty},}$

Определите оператор поточечным умножением: ${\ displaystyle T_ {s}}$

Оператор ограничен операторной нормой ${\ displaystyle T_ {s}}$

Это обсуждение распространяется непосредственно на случай, когда он заменяется общим пробелом на и заменяется на${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle p> 1}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$${\ displaystyle L ^ {\ infty}.}$

Эквивалентные определения

Позвольте быть линейным оператором между нормированными пространствами. Первые четыре определения всегда эквивалентны, а если вдобавок, то все они эквивалентны: ${\ displaystyle A: V \ to W}$${\ Displaystyle V \ neq \ {0 \}}$

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ | A \ | _ {op} & = \ inf && \ {c \ geq 0 ~ &&: ~ \ | Av \ | \ leq c \ | v \ | ~ && ~ {\ mbox {для всех}} ~ && v \ in V \} \\ & = \ sup && \ {\ | Av \ | ~ &&: ~ \ | v \ | \ leq 1 ~ && ~ {\ mbox { and}} ~ && v \ in V \} \\ & = \ sup && \ {\ | Av \ | ~ &&: ~ \ | v \ | <1 ~ && ~ {\ mbox {and}} ~ && v \ in V \} \\ & = \ sup && \ {\ | Av \ | ~ &&: ~ \ | v \ | \ in \ {0,1 \} ~ && ~ {\ mbox {and}} ~ && v \ in V \ } \\ & = \ sup && \ {\ | Av \ | ~ &&: ~ \ | v \ | = 1 ~ && ~ {\ mbox {and}} ~ && v \ in V \} \; \; \; { \ text {это равенство выполняется тогда и только тогда, когда}} V \ neq \ {0 \} \\ & = \ sup && {\ bigg \ {} {\ frac {\ | Av \ |} {\ | v \ |} } ~ &&: ~ v \ neq 0 ~ && ~ {\ mbox {and}} ~ && v \ in V {\ bigg \}} \; \; \; {\ text {это равенство выполняется тогда и только тогда, когда}} V \ neq \ {0 \}. \\\ конец {выровненный}}}$

Если тогда наборы в последних двух строках будут пустыми, и, следовательно, их супремумы по набору будут равны вместо правильного значения Если вместо этого супремум берется по набору , то супремум пустого набора будет и формулы сохранятся для любого If ограничено, то ${\ Displaystyle V = \ {0 \}}$${\ displaystyle [- \ infty, \ infty]}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle 0.}$${\ displaystyle [0, \ infty]}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle V.}$${\ displaystyle A: V \ to W}$

и где это транспонированная из которых является линейный оператор , определяемый${\ displaystyle {} ^ {t} A: W ^ {*} \ to V ^ {*}}$${\ displaystyle A: V \ to W,}$${\ displaystyle w ^ {*} \, \ mapsto \, w ^ {*} \ circ A.}$

Характеристики

Операторная норма действительно является нормой в пространстве всех ограниченных операторов между и . Это означает ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

$${\ displaystyle \ | A \ | _ {op} \ geq 0 {\ mbox {and}} \ | A \ | _ {op} = 0 {\ mbox {тогда и только тогда, когда}} A = 0,}$$

$${\ displaystyle \ | aA \ | _ {op} = | a | \ | A \ | _ {op} {\ mbox {для каждого скаляра}} a,}$$

$${\ displaystyle \ | A + B \ | _ {op} \ leq \ | A \ | _ {op} + \ | B \ | _ {op}.}$$

Следующее неравенство является непосредственным следствием определения:

$${\ displaystyle \ | Av \ | \ leq \ | A \ | _ {op} \ | v \ | \ {\ mbox {для каждого}} \ v \ in V.}$$

Норма оператора также совместима с композицией или умножением операторов: если , и - три нормированных пространства над одним и тем же базовым полем, и и - два ограниченных оператора, то это

субмультипликативная норма , то есть: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A: V \ to W}$${\ displaystyle B: W \ to X}$

$${\ displaystyle \ | BA \ | _ {op} \ leq \ | B \ | _ {op} \ | A \ | _ {op}.}$$

Для ограниченных операторов на это означает, что операторное умножение совместно непрерывно. ${\ displaystyle V}$

Из определения следует, что если последовательность операторов сходится по операторной норме, она сходится равномерно на ограниченных множествах.

Таблица общих операторских норм

Некоторые общие операторные нормы легко вычислить, а другие NP-трудны . За исключением NP-жестких норм, все эти нормы могут быть вычислены в операциях (для матрицы), за исключением нормы (которая требует операций для точного ответа или меньше, если вы аппроксимируете его

степенным методом или итерациями Ланцоша). ). ${\ displaystyle N ^ {2}}$${\ Displaystyle N \ раз N}$${\ displaystyle \ ell _ {2} - \ ell _ {2}}$${\ displaystyle N ^ {3}}$

Вычислимость операторных норм.

		Ко-домен
		${\ displaystyle \ ell _ {1}}$	${\ displaystyle \ ell _ {2}}$	${\ displaystyle \ ell _ {\ infty}}$
Домен	${\ displaystyle \ ell _ {1}}$	Максимальная норма столба${\ displaystyle \ ell _ {1}}$	Максимальная норма столба${\ displaystyle \ ell _ {2}}$	Максимальная норма столба ${\ displaystyle \ ell _ {\ infty}}$
	${\ displaystyle \ ell _ {2}}$	NP-жесткий	Максимальное сингулярное значение	Максимальная норма ряда ${\ displaystyle \ ell _ {2}}$
	${\ displaystyle \ ell _ {\ infty}}$	NP-жесткий	NP-жесткий	Максимальная норма ряда ${\ displaystyle \ ell _ {1}}$

Норму присоединенного или транспонированного можно вычислить следующим образом. Мы имеем , что для любого тогда , когда являются

Гельдеровскими сопряженной с , то есть и${\ displaystyle p, q,}$${\ displaystyle \ | A \ | _ {p \ rightarrow q} = \ | A ^ {*} \ | _ {q '\ rightarrow p'}}$${\ displaystyle p ', q'}$${\ displaystyle p, q,}$${\ displaystyle 1 / p + 1 / p '= 1}$${\ displaystyle 1 / q + 1 / q '= 1.}$

Операторы в гильбертовом пространстве

Предположим , это действительное или комплексное

гильбертово пространство . Если - линейный ограниченный оператор, то имеем ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle A: H \ to H}$

$${\ Displaystyle \ | A \ | _ {op} = \ left \ | A ^ {*} \ right \ | _ {op}}$$

и

$${\ displaystyle \ left \ | A ^ {*} A \ right \ | _ {op} = \ | A \ | _ {op} ^ {2},}$$

где обозначает оператор , сопряженный с (который в евклидовых пространств со стандартным скалярным произведением соответствует сопряженным транспонированной матрице ). ${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

В общем, спектральный радиус от ограничена сверху операторной норме : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

$${\ Displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A \ | _ {op}.}$$

Чтобы понять, почему равенство не всегда может выполняться, рассмотрим жорданову каноническую форму матрицы в конечномерном случае. Поскольку на наддиагонали есть ненулевые элементы, равенство может быть нарушено. В операторы квазинильпотентных один класс таких примеров. Ненулевой квазинильпотентный оператор имеет спектр So, а${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ {0 \}.}$${\ Displaystyle \ rho (А) = 0}$${\ displaystyle \ | A \ | _ {op}> 0.}$

Однако, когда матрица является

нормальным , его Джордан канонической формой является диагональной ( с точностью до унитарной эквивалентности); это спектральная теорема . В этом случае легко увидеть, что ${\ displaystyle N}$

$${\ Displaystyle \ rho (N) = \ | N \ | _ {op}.}$$

Эту формулу иногда можно использовать для вычисления операторной нормы данного ограниченного оператора : определить

эрмитов оператор, определить его спектральный радиус и извлечь квадратный корень, чтобы получить операторную норму${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B = A ^ {*} A,}$${\ displaystyle A.}$

Пространство ограниченных операторов на с

топологией, индуцированной операторной нормой, не сепарабельно . Например, рассмотрим пространство Lp, которое является гильбертовым пространством. Для аренды быть характеристической функцией от и быть оператором умножения задается то есть, ${\ displaystyle H,}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} [0,1],}$${\ Displaystyle 0 <т \ Leq 1,}$${\ displaystyle \ Omega _ {t}}$${\ displaystyle [0, t],}$${\ displaystyle P_ {t}}$${\ displaystyle \ Omega _ {t},}$

$${\ displaystyle P_ {t} (f) = f \ cdot \ Omega _ {t}.}$$

Тогда каждый является ограниченным оператором с операторной нормой 1 и ${\ displaystyle P_ {t}}$

$${\ displaystyle \ left \ | P_ {t} -P_ {s} \ right \ | _ {op} = 1 \ quad {\ mbox {для всех}} \ quad t \ neq s.}$$

Но это

бесчисленное множество . Отсюда следует, что пространство ограниченных операторов на не сепарабельно по операторной норме. Это можно сравнить с тем фактом, что пространство последовательностей не разделимо. ${\ displaystyle \ {P_ {t}: 0 <t \ leq 1 \}}$${\ Displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$

Ассоциативная алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, вместе с оператором нормой и операциями присоединенном дает C * -алгебра .

Смотрите также

• Непрерывный линейный оператор
• Разрывная линейная карта
• Двойная норма
• Матричная норма  - Норма в векторном пространстве матриц
• Норма (математика)  - Длина в векторном пространстве
• Нормированное пространство
• Операторная алгебра  - раздел функционального анализа
• Теория операторов
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Неограниченный оператор

Примечания

Список используемой литературы

• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

использованная литература

• Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2007), Анализ бесконечных измерений: Автостопом , Springer, стр. 229, ISBN 9783540326960.
• Конвей, Джон Б. (1990), «III.2 Линейные операторы в нормированных пространствах», Курс функционального анализа , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 67–69, ISBN. 0-387-97245-5