Ограниченный набор - Bounded set

An впечатление художника ограниченного множества (вверху) и неограниченного множества (внизу). Набор внизу продолжается вечно вправо.
«Граница» и «граница» - разные понятия; для последнего см. границу (топологию) . Круг в изоляции является безграничным ограниченным множеством, а полуплоскость неограниченна еще имеет границу.

В математическом анализе и смежных областях математики , множество называется ограниченным , если оно есть, в определенном смысле, конечного размера. И наоборот, неограниченное множество называется неограниченным . Слово «ограниченный» не имеет смысла в общем топологическом пространстве без соответствующей метрики .

Определение в реальных числах

Реальный набор с верхними границами и его супремумом .

Множество S из действительных чисел , называется ограниченным сверху , если существует некоторое действительное число K (не обязательно в S ) таким образом, что к ≥ s для всех х в S . Число к называется верхней границей из S . Аналогично определяются члены, ограниченные снизу, и нижняя граница .

Множество S будет ограничена , если она имеет обе верхние и нижние границы. Следовательно, набор действительных чисел ограничен, если он содержится в конечном интервале .

Определение в метрическом пространстве

Подмножество S из метрического пространства ( М , д ) является ограниченным , если существует г > 0 такое , что для всех х и т в S , мы имеем д ( ь , т ) < г . ( M , d ) - ограниченное метрическое пространство (или d - ограниченная метрика), если M ограничено как подмножество самого себя.

Ограниченность в топологических векторных пространствах

Основная статья: Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)

В топологических векторных пространствах существует другое определение ограниченных множеств, которое иногда называют ограниченностью фон Неймана . Если топология топологического векторного пространства индуцируются метрикой , который является однородным , как и в случае метрики , индуцированной нормой в нормированных векторных пространствах , то эти два определения совпадают.

Ограниченность в теории порядка

Набор действительных чисел ограничен тогда и только тогда, когда он имеет верхнюю и нижнюю границы. Это определение распространяется на подмножества любого частично упорядоченного множества . Обратите внимание, что это более общее понятие ограниченности не соответствует понятию «размер».

Подмножество S частично упорядоченное множество P называется ограниченным сверху , если существует элемент к в Р таким образом, что к ≥ s для всех х в S . Элемент к называется верхней границей из S . Аналогично определяются понятия ограниченного снизу и нижней границы . (См. Также верхнюю и нижнюю границы .)

Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным, если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границы, или, что эквивалентно, если оно содержится в интервале . Обратите внимание , что это не просто свойство множества S , но и один из множества S в качестве подмножества P .

Ограниченная ч.у.м. Р (то есть, само по себе, а не как подмножество) является тот , который имеет наименьший элемент и наибольший элемент . Обратите внимание, что это понятие ограниченности не имеет ничего общего с конечным размером, и что подмножество S ограниченного ч.у.м. P с ограничением порядка на P не обязательно является ограниченным ч.у.м.

Подмножество S в R n ограничено относительно евклидова расстояния тогда и только тогда, когда оно ограничено как подмножество R n с порядком произведения . Однако S может быть ограничено как подмножество R n с лексикографическим порядком , но не относительно евклидова расстояния.

Класс порядковых чисел называется неограниченным или конфинальным , если задан какой-либо порядковый номер, всегда есть некоторый элемент класса, превышающий его. Таким образом, в этом случае «неограниченный» не означает неограниченный сам по себе, но неограниченный как подкласс класса всех порядковых чисел.

Смотрите также

использованная литература

  • Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1982). Введение в реальный анализ . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-05944-7.
  • Рихтмайер, Роберт Д. (1978). Основы высшей математической физики . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-08873-3.