Спектральный радиус - Spectral radius

В математике , то спектральный радиус из квадратной матрицы или ограниченного линейного оператора является самым большим абсолютным значением его собственных значений (т.е. верхней грани между абсолютными значениями элементов в его спектре ). Иногда его обозначают через ρ (·).

Матрицы

Пусть λ ₁ , ..., λ _{n собственные} числа ( действительные или комплексные ) матрицы A ∈ C ^{n × n} . Тогда его спектральный радиус ρ ( A ) определяется как:

${\ displaystyle \ rho (A) = \ max \ left \ {| \ lambda _ {1} |, \ dotsc, | \ lambda _ {n} | \ right \}.}$

Спектральный радиус - это своего рода точная нижняя грань всех норм матрицы. Действительно, с одной стороны, для любой естественной матричной нормы ; а с другой стороны, формула Гельфанда утверждает это . Оба этих результата показаны ниже. ${\ Displaystyle \ ро (А) \ leqslant \ | А \ |}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ Displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}$

Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет произвольным векторам . Чтобы понять, почему, пусть будет произвольно и рассмотрим матрицу ${\ Displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle r> 1}$

${\ displaystyle C_ {r} = {\ begin {pmatrix} 0 & r ^ {- 1} \\ r & 0 \ end {pmatrix}}}$.

Характеристический полином из является , поэтому его собственные значения и , таким образом . Однако . В итоге для любой нормы ${\ displaystyle C_ {r}}$${\ displaystyle \ lambda ^ {2} -1}$${\ displaystyle \ {- 1,1 \}}$${\ displaystyle \ rho (C_ {r}) = 1}$${\ displaystyle C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} = r \ mathbf {e} _ {2}}$${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$

${\ displaystyle \ | C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} \ | = r> 1 = \ rho (C_ {r}) \ | \ mathbf {e} _ {1} \ |.}$

В качестве иллюстрации формулы Гельфанда обратите внимание на as , поскольку if - четное, а if - нечетное. ${\ Displaystyle \ | C_ {r} ^ {k} \ | ^ {1 / k} \ to 1}$${\ Displaystyle к \ к \ infty}$${\ displaystyle C_ {r} ^ {k} = I}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle C_ {r} ^ {k} = C_ {r}}$${\ displaystyle k}$

Особый случай , в котором для всех , когда есть эрмитова матрица и является евклидовой нормой . Это связано с тем, что любая эрмитова матрица диагонализуема с помощью унитарной матрицы , а унитарные матрицы сохраняют длину вектора: ${\ Displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ Displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | = \ | U ^ {*} DU \ mathbf {v} \ | = \ | DU \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | U \ mathbf {v} \ | = \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |.}$

Ограниченные линейные операторы

Для ограниченного линейного оператора A в банаховом пространстве собственные значения заменяются спектром оператора , значения которого не могут быть инъективными; обозначим спектр через ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A- \ lambda I}$

${\ displaystyle \ sigma (A) = \ left \ {\ lambda \ in \ mathbb {C}: \ ker (A- \ lambda I) \ neq \ emptyset \ right \}}$

Спектральный радиус затем определяется как верхняя грань величин элементов в спектре:

${\ Displaystyle \ rho (A) = \ sup _ {\ lambda \ in \ sigma (A)} | \ lambda |}$

Если обозначить операторную норму через , то мы получим формулу спектрального радиуса или формулу Гельфанда: ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$

Ограниченный оператор (в комплексном гильбертовом пространстве) называется спектралоидным оператором, если его спектральный радиус совпадает с его числовым радиусом . Примером такого оператора является обычный оператор .

Графики

Спектральный радиус конечного графа определяется как спектральный радиус его матрицы смежности .

Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (т.е. существует некоторое вещественное число C такое, что степень каждой вершины графа меньше, чем C ). В этом случае для графа G определим:

${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (G) = \ left \ {f: V (G) \ to \ mathbf {R} \: \ \ sum \ nolimits _ {v \ in V (G)} \ left \ | f (v) ^ {2} \ right \ | <\ infty \ right \}.}$

Пусть γ - оператор смежности группы G :

${\ Displaystyle {\ begin {case} \ gamma: \ ell ^ {2} (G) \ to \ ell ^ {2} (G) \\ (\ gamma f) (v) = \ sum _ {(u, v) \ in E (G)} f (u) \ end {case}}}$

Спектральный радиус G определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора γ .

Верхняя граница

Верхние оценки спектрального радиуса матрицы

Следующее предложение показывает простую, но полезную оценку сверху спектрального радиуса матрицы:

Предложение. Пусть A ∈ C ^{n × n} со спектральным радиусом ρ ( A ) и согласованной матричной нормой || ⋅ || . Затем для каждого целого числа : ${\ displaystyle k \ geqslant 1}$

${\ Displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$

Доказательство

Пусть ( v , λ ) быть собственным вектором - собственное значение пара для матрицы A . По субмультипликативному свойству матричной нормы мы получаем:

${\ displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ | \ mathbf {v} \ | = \ | \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \ | = \ | A ^ {k} \ mathbf {v} \ | \ leq \ | A ^ {k} \ | \ cdot \ | \ mathbf {v} \ |}$

и поскольку v ≠ 0, имеем

${\ Displaystyle | \ лямбда | ^ {k} \ leq \ | A ^ {k} \ |}$

и поэтому

${\ Displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$

Верхние оценки спектрального радиуса графа

Существует множество верхних оценок спектрального радиуса графа с точки зрения числа его вершин n и числа ребер m . Например, если

${\ displaystyle {\ frac {(k-2) (k-3)} {2}} \ leq mn \ leq {\ frac {k (k-3)} {2}}}$

где - целое число, тогда ${\ Displaystyle 3 \ Leq К \ Leq N}$

${\ displaystyle \ rho (G) \ leq {\ sqrt {2m-n-k + {\ frac {5} {2}} + {\ sqrt {2m-2n + {\ frac {9} {4}}}}} }}$

Последовательность мощности

Теорема

Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости степенной последовательности матрицы; а именно, имеет место следующая теорема:

Теорема. Пусть A ∈ C ^{n × n} со спектральным радиусом ρ ( A ) . Тогда ρ ( A ) <1 тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0.}$

С другой стороны, если р ( А )> 1 , . Утверждение верно при любом выборе матричной нормы на C ^{n × n} .${\ Displaystyle \ lim _ {к \ к \ infty} \ | A ^ {k} \ | = \ infty}$

Доказательство теоремы

Предположим, что рассматриваемый предел равен нулю, покажем, что ρ ( A ) <1 . Пусть ( v , λ ) быть собственным вектором - собственное значение пара для A . Поскольку A ^k v = λ ^k v, имеем:

${\ Displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} \ right) \ mathbf {v} \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty } \ left (A ^ {k} \ mathbf {v} \ right) \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \\ & = \ mathbf {v } \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ end {выровнено}}}$

и, поскольку по условию v ≠ 0 , должно быть

${\ Displaystyle \ lim _ {к \ к \ infty} \ lambda ^ {k} = 0}$

откуда следует | λ | <1. Поскольку это должно быть верно для любого собственного значения λ, мы можем заключить, что ρ ( A ) <1.

Теперь предположим, что радиус A меньше 1 . Из теоремы Жордана о нормальной форме мы знаем, что для всех A ∈ C ^{n × n} существуют V , J ∈ C ^{n × n} с неособой V и J блочной диагональю такие, что:

${\ displaystyle A = VJV ^ {- 1}}$

с

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} (\ lambda _ {s-1}) & 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}$

куда

${\ displaystyle J_ {m_ {i}} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda _ {i} & 1 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i} & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} \ end {bmatrix}} \ in \ mathbf { C} ^ {m_ {i} \ times m_ {i}}, 1 \ leq i \ leq s.}$

Легко увидеть, что

${\ Displaystyle A ^ {k} = VJ ^ {k} V ^ {- 1}}$

и, поскольку J блочно-диагональный,

${\ displaystyle J ^ {k} = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} ^ {k} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} ^ {k } (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} ^ {k} (\ lambda _ {s-1}) & 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} ^ {k} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}$

Теперь стандартный результат о k- степени жорданова блока гласит, что для : ${\ displaystyle m_ {i} \ times m_ {i}}$${\ Displaystyle к \ geq m_ {я} -1}$

${\ displaystyle J_ {m_ {i}} ^ {k} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ { i} ^ {k-1} & {k \ choose 2} \ lambda _ {i} ^ {k-2} & \ cdots & {k \ choose m_ {i} -1} \ lambda _ {i} ^ { k-m_ {i} +1} \\ 0 & \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} & \ cdots & {k \ choose m_ {i} -2} \ lambda _ {i} ^ {k-m_ {i} +2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i } ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} ^ {k} \ end {bmatrix}}}$

Таким образом, если тогда для всех i . Следовательно, для всех i мы имеем: ${\ Displaystyle \ rho (А) <1}$ ${\ Displaystyle | \ лямбда _ {я} | <1}$

${\ Displaystyle \ lim _ {к \ к \ infty} J_ {m_ {i}} ^ {k} = 0}$

что подразумевает

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k} = 0.}$

Следовательно,

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = \ lim _ {k \ to \ infty} VJ ^ {k} V ^ {- 1} = V \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k} \ right) V ^ {- 1} = 0}$

С другой стороны, если есть хотя бы один элемент в J, который не остается ограниченным при увеличении k, что доказывает вторую часть утверждения. ${\ displaystyle \ rho (A)> 1}$

Формула Гельфанда

Теорема

Следующая теорема дает спектральный радиус как предел нормы матрицы.

Теорема (формула Гельфанда; 1941). Для любой матричной нормы || ⋅ || имеем

${\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$.

Доказательство

Для любого ε > 0 сначала построим следующие две матрицы:

${\ displaystyle A _ {\ pm} = {\ frac {1} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}} A.}$

Затем:

${\ displaystyle \ rho \ left (A _ {\ pm} \ right) = {\ frac {\ rho (A)} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}}, \ qquad \ rho (A _ {+}) <1 <\ rho (A _ {-}).}$

Сначала применим предыдущую теорему к A ₊ :

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A _ {+} ^ {k} = 0.}$

Это означает, что согласно определению предела последовательности, существует N ₊ ∈ N такое, что для всех k ≥ N ₊ ,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A _ {+} ^ {k} \ right \ | <1 \ end {align}}}$

так

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} <\ rho (A) + \ varepsilon. \ end {align}}}$

Применение предыдущей теоремы к A _- означает, что не ограничено и существует N _- ∈ N такое, что для всех k ≥ N _- , ${\ Displaystyle \ | A _ {-} ^ {k} \ |}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A _ {-} ^ {k} \ right \ |> 1 \ end {align}}}$

так

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}}> \ rho (A) - \ varepsilon. \ end {align}}}$

Пусть N = max { N ₊ , N _- }, тогда имеем:

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ exists N \ in \ mathbf {N} \ quad \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) - \ varepsilon <\ left \ | A ^ {k} \ справа \ | ^ {\ frac {1} {k}} <\ rho (A) + \ varepsilon}$

который по определению

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} = \ rho (A).}$

Следствия Гельфанда

Формула Гельфанда непосредственно приводит к оценке спектрального радиуса произведения конечного числа матриц, а именно, предполагая, что все они коммутируют, получаем

${\ displaystyle \ rho (A_ {1} \ cdots A_ {n}) \ leq \ rho (A_ {1}) \ cdots \ rho (A_ {n}).}$

На самом деле, если норма непротиворечива , доказательство показывает больше, чем тезис; фактически, используя предыдущую лемму, мы можем заменить в определении предела левую нижнюю границу самим спектральным радиусом и записать более точно:

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ существует N \ in \ mathbf {N}, \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac { 1} {k}} <\ rho (A) + \ varepsilon}$

который по определению

${\ Displaystyle \ lim _ {к \ к \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} = \ rho (A) ^ {+},}$

где + означает приближение к пределу сверху.

Пример

Рассмотрим матрицу

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 9 & -1 & 2 \\ - 2 & 8 & 4 \\ 1 & 1 & 8 \ end {bmatrix}}}$

чьи собственные значения 5, 10, 10 ; по определению ρ ( A ) = 10 . В следующей таблице перечислены значения четырех наиболее часто используемых норм в сравнении с несколькими возрастающими значениями k (обратите внимание, что из-за особой формы этой матрицы ): ${\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}}$${\ Displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}}$

k	${\ Displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}}$	${\ Displaystyle \ |. \ | _ {F}}$	${\ Displaystyle \ |. \ | _ {2}}$
1	14	15.362291496	10,681145748
2	12.649110641	12.328294348	10,595665162
3	11.934831919	11,532450664	10,500980846
4	11,501633169	11.151002986	10,418165779
5	11.216043151	10.921242235	10,351918183
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
10	10,604944422	10,455910430	10.183690042
11	10,548677680	10,413702213	10.166990229
12	10,501921835	10.378620930	10.153031596
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
20	10,298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10,148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
100	10,058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
1000	10.005879594	10.004460985	10,001823382
2000 г.	10,002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10,001959481	10.001486774	10.000607757
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10,000060774
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
100000	10,000058779	10,000044600	10,000018232

Примечания и ссылки

Список используемой литературы

• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб (1963), Линейные операторы II. Спектральная теория: самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве , Interscience Publishers, Inc.
• Лакс, Питер Д. (2002), Функциональный анализ , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

Смотрите также

• Спектральный промежуток
• Спектральный радиус Шарнирный является обобщением спектрального радиуса для множеств матриц.
• Спектр матрицы
• Спектральная абсцисса