Уравнение Шредингера - Schrödinger equation

Уравнение Шредингера начертано на надгробии Аннемари и Эрвина Шредингеров. ( Используется точечная запись Ньютона для производной по времени.)

Уравнение Шредингера - это линейное уравнение в частных производных, которое определяет волновую функцию квантово-механической системы. Это ключевой результат квантовой механики , и его открытие стало важной вехой в развитии предмета. Уравнение названо в честь Эрвина Шредингера , который постулировал уравнение в 1925 году и опубликовал его в 1926 году, что легло в основу работы, которая привела к его Нобелевской премии по физике в 1933 году.

Концептуально уравнение Шредингера является квантовым аналогом второго закона Ньютона в классической механике . Учитывая набор известных начальных условий, второй закон Ньютона делает математическое предсказание относительно того, какой путь данная физическая система пойдет с течением времени. Уравнение Шредингера дает эволюцию волновой функции во времени, квантово-механическую характеристику изолированной физической системы. Уравнение может быть выведено из того факта, что оператор временной эволюции должен быть унитарным и, следовательно, должен быть порожден экспонентой самосопряженного оператора , который является квантовым гамильтонианом .

Уравнение Шредингера - не единственный способ изучать квантово-механические системы и делать прогнозы. Другие формулировки квантовой механики включают матричную механику , введенную Вернером Гейзенбергом , и формулировку интеграла по путям , разработанную главным образом Ричардом Фейнманом . Поль Дирак объединил матричную механику и уравнение Шредингера в единую формулировку. При сравнении этих подходов использование уравнения Шредингера иногда называют «волновой механикой».

Определение

Предварительные мероприятия

Сложный график волновой функции , удовлетворяющей нерелятивистскому уравнению Шредингера с V = 0 . Другими словами, это соответствует частице, свободно перемещающейся в пустом пространстве.

Вводные курсы по физике или химии обычно вводят уравнение Шредингера таким образом, чтобы его можно было оценить, зная только концепции и обозначения основного исчисления , особенно производные по пространству и времени. Частным случаем уравнения Шредингера, допускающим формулировку в этих терминах, является пространственное уравнение Шредингера для одной нерелятивистской частицы в одном измерении:

Вот волновая функция, функция, которая присваивает комплексное число каждой точке в каждый момент времени . Параметром является масса частицы, и это потенциал , который представляет собой среду , в которой существует частица. Постоянная - это мнимая единица измерения и сокращенная постоянная Планка , которая имеет единицы действия (энергия, умноженная на время).

Выходя за рамки этого простого случая, математически строгая формулировка квантовой механики, разработанная Полем Дираком , Дэвидом Гильбертом , Джоном фон Нейманом и Германом Вейлем, определяет состояние квантово-механической системы как вектор, принадлежащий ( сепарабельному ) гильбертову пространству . Постулируется, что этот вектор нормализуется под внутренним произведением пространства Гильберта, то есть в нотации Дирака он подчиняется . Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы - например, для описания положения и импульса гильбертово пространство - это пространство комплексных квадратично интегрируемых функций , а гильбертово пространство для спина одиночного протона - это просто пространство двумерные комплексные векторы с обычным внутренним произведением.

Интересующие физические величины - положение, импульс, энергия, спин - представлены «наблюдаемыми», которые являются эрмитовыми (точнее, самосопряженными ) линейными операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Волновая функция может быть собственным вектором наблюдаемой, и в этом случае она называется собственным состоянием , а соответствующее собственное значение соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии. В более общем смысле квантовое состояние будет линейной комбинацией собственных состояний, известной как квантовая суперпозиция . Когда наблюдаемое измеряется, результатом будет одно из его собственных значений с вероятностью, заданной правилом Борна : в простейшем случае собственное значение невырождено, а вероятность дается выражением , где - связанный с ним собственный вектор. В более общем смысле, собственное значение является вырожденным, и вероятность дается выражением , где - проектор на связанное с ним собственное подпространство.

Собственное состояние импульса было бы идеально монохроматической волной бесконечной протяженности, которая не интегрируема с квадратом. Аналогичным образом, собственное состояние положения будет дельта-распределением Дирака , не интегрируемым с квадратом и технически вообще не функцией. Следовательно, ни один из них не может принадлежать гильбертову пространству частицы. Иногда физики вводят фиктивные «основы» для гильбертова пространства, состоящего из элементов вне этого пространства. Они придуманы для удобства вычислений и не отражают физические состояния.

Уравнение, зависящее от времени

Форма уравнения Шредингера зависит от физической ситуации. Самая общая форма - это нестационарное уравнение Шредингера, которое дает описание системы, развивающейся во времени:

где (греческая буква psi ) - вектор состояния квантовой системы, - время и - наблюдаемый, гамильтонов оператор .

Каждая из этих трех строк представляет собой волновую функцию, которая удовлетворяет нестационарному уравнению Шредингера для гармонического осциллятора . Слева: действительная часть (синий цвет) и мнимая часть (красный цвет) волновой функции. Справа: распределение вероятностей нахождения частицы с этой волновой функцией в заданном положении. Два верхних ряда представляют собой примеры стационарных состояний , которые соответствуют стоячим волнам . Нижняя строка - это пример состояния, которое не является стационарным. В правом столбце показано, почему стационарные состояния называются «стационарными».

Термин «уравнение Шредингера» может относиться как к общему уравнению, так и к конкретной нерелятивистской версии. Общее уравнение действительно является довольно общим и используется во всей квантовой механике для всего, от уравнения Дирака до квантовой теории поля , путем включения различных выражений для гамильтониана. Конкретная нерелятивистская версия - это приближение, которое дает точные результаты во многих ситуациях, но только до определенной степени (см. Релятивистскую квантовую механику и релятивистскую квантовую теорию поля ).

Чтобы применить уравнение Шредингера, запишите гамильтониан для системы, учитывая кинетическую и потенциальную энергии частиц, составляющих систему, а затем вставьте его в уравнение Шредингера. Полученное уравнение в частных производных решается для волновой функции, которая содержит информацию о системе. На практике квадрат модуля волновой функции в каждой точке используется для определения функции плотности вероятности . Например, учитывая волновую функцию в позиционном пространстве, как указано выше, мы имеем

Не зависящее от времени уравнение

Зависящее от времени уравнение Шредингера, описанное выше, предсказывает, что волновые функции могут образовывать стоячие волны , называемые стационарными состояниями . Эти состояния особенно важны, поскольку их индивидуальное изучение позже упрощает задачу решения нестационарного уравнения Шредингера для любого состояния. Стационарные состояния также можно описать более простой формой уравнения Шредингера, не зависящим от времени уравнением Шредингера.

Не зависящее от времени уравнение Шредингера ( общее )

где - энергия системы. Это используется только тогда, когда сам гамильтониан явно не зависит от времени. Однако даже в этом случае полная волновая функция по-прежнему зависит от времени. На языке линейной алгебры это уравнение является уравнением на собственные значения . Следовательно, волновая функция является собственной функцией оператора Гамильтона с соответствующим собственным значением (ями) .

Характеристики

Линейность

Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением , а это означает, что если две волновые функции ψ 1 и ψ 2 являются решениями, то любая их линейная комбинация - тоже :

где a и b - любые комплексные числа. Более того, сумма может быть расширена для любого количества волновых функций. Это свойство позволяет суперпозициям квантовых состояний быть решениями уравнения Шредингера. В более общем смысле, общее решение уравнения Шредингера можно найти, взяв взвешенную сумму по базису состояний. Часто используется выбор, основанный на собственных состояниях энергии, которые являются решениями не зависящего от времени уравнения Шредингера. Например, рассмотрим волновую функцию Ψ ( x , t ) такую, что волновая функция является произведением двух функций: одной независимой от времени и одной зависящей от времени. Если состояния с определенной энергией, найденные с использованием не зависящего от времени уравнения Шредингера, задаются выражением ψ E ( x ) с амплитудой A n, а зависящий от времени фазовый коэффициент определяется выражением

то допустимое общее решение

Унитарность

Уравнение Шредингера с постоянной гамильтониана имеет решение

Оператор известен как оператор эволюции во времени, и он унитарен : он сохраняет внутреннее произведение между векторами в гильбертовом пространстве. Унитарность - это общая черта эволюции во времени согласно уравнению Шредингера. Если начальное состояние равно , то состояние в более позднее время будет задано как

для некоторого унитарного оператора . Наоборот, предположим, что это непрерывное семейство унитарных операторов, параметризованных . Без потери общности , параметризацию можно выбрать так, чтобы это был оператор идентичности и для любого . Тогда экспоненциально зависит от параметра , откуда следует

для некоторого самосопряженного оператора , называемого генератором семейства . Гамильтониан и есть такой генератор (с точностью до коэффициента постоянной Планка, который был бы установлен в 1 в натуральных единицах ).

Изменения основы

Уравнение Шредингера часто представляется с использованием величин, изменяющихся как функции положения, но как уравнение вектор-оператор оно имеет допустимое представление в любом произвольном полном базисе кетов в гильбертовом пространстве . Как упоминалось выше, «базисы», лежащие вне физического гильбертова пространства, также используются для расчетных целей. Это иллюстрируется уравнениями Шредингера в пространственном и импульсном пространстве для нерелятивистской бесспиновой частицы. Гильбертово пространство для такой частицы - это пространство комплексных интегрируемых с квадратом функций в трехмерном евклидовом пространстве, а его гамильтониан представляет собой сумму члена кинетической энергии, квадратичного по оператору импульса, и члена потенциальной энергии:

Записывая для трехмерного вектора положения и для трехмерного вектора импульса, уравнение Шредингера для пространственного положения имеет вид

Аналог в импульсном пространстве включает преобразования Фурье волновой функции и потенциала:

Функции и выводятся из пути

где и не принадлежат самому гильбертову пространству, но имеют четко определенные скалярные произведения со всеми элементами этого пространства.

При ограничении от трех измерений до одного, уравнение пространственного положения является лишь первой формой уравнения Шредингера, приведенного выше . Связь между положением и импульсом в квантовой механике можно оценить в одном измерении. В каноническом квантовании , классические переменные и поощряются к операторам самосопряжённых и которые удовлетворяют каноническое коммутационное соотношение

Это означает, что

поэтому действие оператора импульса в представлении пространства позиций равно . Таким образом, становится второй производной , а в трех измерениях вторая производная становится лапласианом .

Каноническое коммутационное соотношение также означает, что операторы положения и импульса сопряжены друг другу по Фурье. Следовательно, функции, первоначально определенные в терминах их зависимости от положения, могут быть преобразованы в функции количества движения с помощью преобразования Фурье. В физике твердого тела уравнение Шредингера часто записывают для функций импульса, поскольку теорема Блоха гарантирует, что периодический потенциал кристаллической решетки связан с только для дискретных векторов обратной решетки . Это делает его удобным для решения в импульсном пространстве уравнение Шредингера в каждой точке в зоне Бриллюэна независимо от других точек в зоне Бриллюэна.

Вероятность тока

Уравнение Шредингера согласуется с локальным сохранением вероятности . Умножение уравнения Шредингера справа на комплексно сопряженную волновую функцию и умножение волновой функции слева от комплексно сопряженного уравнения Шредингера и вычитание дает уравнение неразрывности для вероятности:

куда

- плотность вероятности (вероятность на единицу объема, * обозначает комплексно сопряженное ), и

- ток вероятности (расход на единицу площади).

Разделение переменных

Если гамильтониан не является явной функцией времени, уравнение можно разделить на произведение пространственной и временной частей. В общем случае волновая функция имеет вид:

где является функцией всех пространственных координат частицы (ей), составляющих только систему, и является функцией только времени. Подстановка этого выражения для в уравнение Шредингера и решение путем разделения переменных означает, что общее решение нестационарного уравнения имеет вид

Поскольку фазовый фактор, зависящий от времени, всегда один и тот же, в задачах, не зависящих от времени, необходимо решать только пространственную часть. Кроме того, оператор энергии Ĥ = /твсегда можно заменить собственным значением энергии E , и, таким образом, не зависящее от времени уравнение Шредингера является уравнением на собственные значения для оператора Гамильтона:

Это верно для любого количества частиц в любом количестве измерений (в не зависящем от времени потенциале). Этот случай описывает решения стоячей волны нестационарного уравнения, которые представляют собой состояния с определенной энергией (вместо распределения вероятностей с разными энергиями). В физике эти стоячие волны называются « стационарными состояниями » или « собственными состояниями энергии »; в химии их называют « атомными орбиталями » или « молекулярными орбиталями ». Суперпозиции собственных состояний энергии изменяют свои свойства в соответствии с относительными фазами между уровнями энергии. Собственные состояния энергии образуют основу: любая волновая функция может быть записана как сумма по дискретным состояниям энергии или интеграл по состояниям с непрерывной энергией, или, в более общем смысле, как интеграл по мере. Это спектральная теорема в математике, а в пространстве конечных состояний это просто утверждение полноты собственных векторов эрмитовой матрицы .

Разделение переменных также может быть полезным методом для не зависящего от времени уравнения Шредингера. Например, в зависимости от симметрии задачи декартовы оси могут быть разделены,

или можно разделить радиальные и угловые координаты :

Примеры

Частица в коробке

1-мерный ящик потенциальной энергии (или бесконечная потенциальная яма)

Частица в одномерном ящике потенциальной энергии является наиболее математически простым примером, в котором ограничения приводят к квантованию уровней энергии. Ящик определяется как имеющий нулевую потенциальную энергию внутри определенной области и бесконечную потенциальную энергию снаружи . Для одномерного случая в направлении не зависящее от времени уравнение Шредингера может быть записано

С дифференциальным оператором, определяемым формулой

предыдущее уравнение напоминает классический аналог кинетической энергии ,

с состоянием в этом случае, имеющим энергию, совпадающую с кинетической энергией частицы.

Общие решения уравнения Шредингера для частицы в ящике следующие:

или, по формуле Эйлера ,

Бесконечные потенциальные стенки ящика определяют значения и при и где должны быть равны нулю. Таким образом, на ,

и . В ,

в котором не может быть нулем, так как это противоречило бы постулату, имеющему норму 1. Следовательно, поскольку , должно быть целым числом, кратным ,

Это ограничение на подразумевает ограничение на уровни энергии, в результате чего

Конечные потенциальная яма является обобщением бесконечной потенциальной проблемы скважины для потенциальных ям , имеющих конечную глубину. Проблема конечной потенциальной ямы математически более сложна, чем проблема бесконечных частиц в ящике, поскольку волновая функция не привязана к нулю на стенках ямы. Вместо этого волновая функция должна удовлетворять более сложным математическим граничным условиям, поскольку она отлична от нуля в областях за пределами скважины. Другая проблема связана с прямоугольным потенциальным барьером , который дает модель квантового туннельного эффекта, который играет важную роль в работе современных технологий, таких как флэш-память и сканирующая туннельная микроскопия .

Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор в классической механике (А-В) и квантовой механике (С-Н). В (A – B) шар, прикрепленный к пружине , колеблется взад и вперед. (C – H) - шесть решений уравнения Шредингера для этой ситуации. По горизонтальной оси отложено положение, по вертикальной оси - действительная (синяя) или мнимая (красная) часть волновой функции . Стационарные состояния или собственные состояния энергии, которые являются решениями не зависящего от времени уравнения Шредингера, показаны на C, D, E, F, но не на G или H.

Уравнение Шредингера для этой ситуации имеет вид

где - смещение и угловая частота. Это пример квантово-механической системы, волновая функция которой может быть решена точно. Кроме того, его можно использовать для описания приблизительно большого количества других систем, включая колеблющиеся атомы, молекулы и атомы или ионы в решетках, а также для аппроксимации других потенциалов вблизи точек равновесия. Это также основа методов возмущений в квантовой механике.

Решения в позиционном пространстве:

где , а функции - полиномы Эрмита порядка . Набор решений может быть сгенерирован

Собственные значения:

Случай называется основным состоянием , его энергия называется энергией нулевой точки , а волновая функция является гауссовой .

Гармонический осциллятор, как частица в ящике, иллюстрирует общую особенность уравнения Шредингера, заключающуюся в дискретизации энергий связанных собственных состояний.

Атом водорода

Уравнение Шредингера для атома водорода (или водородоподобного атома) имеет вид

где - заряд электрона, - положение электрона относительно ядра, - величина относительного положения, потенциальный член обусловлен кулоновским взаимодействием , где - диэлектрическая проницаемость свободного пространства и

- это приведенная масса двух тел ядра водорода (просто протона ) массы и электрона массы . Отрицательный знак возникает в потенциальном члене, поскольку протон и электрон заряжены противоположно. Приведенная масса вместо массы электрона используется, поскольку электрон и протон вместе вращаются друг вокруг друга вокруг общего центра масс и представляют собой проблему двух тел, которую необходимо решить. Движение электрона представляет здесь принципиальный интерес, поэтому эквивалентная задача одного тела - это движение электрона с использованием приведенной массы.

Уравнение Шредингера для атома водорода может быть решено путем разделения переменных. В этом случае наиболее удобны сферические полярные координаты . Таким образом,

где R - радиальные функции, а - сферические гармоники степени и порядка . Это единственный атом, для которого уравнение Шредингера решено точно. Многоэлектронные атомы требуют приближенных методов. Семейство решений:

куда:

Примерные решения

Обычно невозможно точно решить уравнение Шредингера для ситуаций, представляющих физический интерес. Соответственно, приближенные решения получаются с использованием таких методов, как вариационные методы и приближение ВКБ . Также принято рассматривать интересующую проблему как небольшую модификацию проблемы, которая может быть решена точно, - метод, известный как теория возмущений .

Полуклассический предел

Один простой способ сравнить классическую механику с квантовой - рассмотреть эволюцию во времени ожидаемого положения и ожидаемого импульса, которую затем можно сравнить с эволюцией во времени обычного положения и импульса в классической механике. Квантовые математические ожидания удовлетворяют теореме Эренфеста . Теорема Эренфеста утверждает, что для одномерной квантовой частицы, движущейся в потенциале ,

Хотя первое из этих уравнений согласуется с классическим поведением, второе - нет: если бы пара удовлетворяла второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения должна была бы быть

что обычно не то же самое, что . В случае квантового гармонического осциллятора, однако, он является линейным, и это различие исчезает, так что в этом очень частном случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно следуют классическим траекториям.

Для общих систем лучшее, на что мы можем надеяться, - это то, что ожидаемые положение и импульс будут приблизительно соответствовать классическим траекториям. Если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки , то и будет почти одинаковым, поскольку оба будут примерно равны . В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс будут оставаться очень близкими к классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается сильно локализованной по положению.

Уравнение Шредингера в общем виде

тесно связано с уравнением Гамильтона – Якоби (HJE)

где - классическое действие, а - функция Гамильтона (не оператор). Здесь обобщенные координаты для (используемые в контексте HJE) могут быть установлены в положение в декартовых координатах как .

Подстановка

где - плотность вероятности, в уравнение Шредингера, а затем ограничение в результирующем уравнении дает уравнение Гамильтона – Якоби .

Матрицы плотности

Волновые функции не всегда являются наиболее удобным способом описания квантовых систем и их поведения. Когда подготовка системы известна лишь частично или когда исследуемая система является частью большего целого, вместо этого могут использоваться матрицы плотности . Матрица плотности - это положительный полуопределенный оператор , след которого равен 1. (Термин «оператор плотности» также используется, особенно когда лежащее в основе гильбертово пространство бесконечномерно.) Множество всех матриц плотности является выпуклым , и крайние точки - это операторы, которые проецируются на векторы в гильбертовом пространстве. Это представления волновых функций в виде матрицы плотности; в обозначениях Дирака они записываются

Матричным аналогом уравнения Шредингера для волновых функций является

где скобки обозначают коммутатор . Это по-разному известно как уравнение фон Неймана, уравнение Лиувилля – фон Неймана или просто уравнение Шредингера для матриц плотности. Если гамильтониан не зависит от времени, это уравнение можно легко решить и получить

В более общем смысле, если унитарный оператор описывает эволюцию волновой функции на некотором временном интервале, то временная эволюция матрицы плотности на том же интервале определяется выражением

Унитарная эволюция матрицы плотности сохраняет энтропию фон Неймана .

Релятивистская квантовая физика и квантовая теория поля

Квантовая теория поля (КТП) - это структура, которая позволяет комбинировать квантовую механику со специальной теорией относительности . Общая форма уравнения Шредингера также верна в КТП, как в релятивистских, так и в нерелятивистских ситуациях.

Уравнения Клейна – Гордона и Дирака.

Релятивистская квантовая механика получается там, где одновременно применяются квантовая механика и специальная теория относительности. В общем, кто-то хочет построить релятивистские волновые уравнения из релятивистского соотношения энергии-импульса

вместо классических уравнений энергии. Уравнение Клейна-Гордона и уравнения Дирака два таких уравнения. Уравнение Клейна – Гордона,

было первым таким уравнением, которое было получено еще до нерелятивистского, и применимо к массивным бесспиновым частицам. Уравнение Дирака возникло из извлечения «квадратного корня» из уравнения Клейна – Гордона путем факторизации всего релятивистского волнового оператора в произведение двух операторов - один из них является оператором для всего уравнения Дирака. Полное уравнение Дирака:

Общая форма уравнения Шредингера остается верной в теории относительности, но гамильтониан менее очевиден. Например, гамильтониан Дирака для частицы массы m и электрического заряда q в электромагнитном поле (описываемом электромагнитными потенциалами φ и A ) имеет вид:

в котором γ = ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) и γ 0 - это гамма-матрицы Дирака, связанные со спином частицы. Уравнение Дирака верно для всех спин - 1 / 2 частиц, и решения уравнений являются 4-компонентными спинорными полями с двумя компонентами , соответствующих частицы и два другими для античастицы .

Для уравнения Клейна – Гордона общая форма уравнения Шредингера неудобна для использования, и на практике гамильтониан не выражается аналогично гамильтониану Дирака. Уравнения для релятивистских квантовых полей можно получить другими способами, например, исходя из плотности Лагранжа и используя уравнения Эйлера – Лагранжа для полей, или использовать теорию представлений группы Лоренца, в которой определенные представления могут использоваться для фиксации уравнения для свободной частицы данного спина (и массы).

В общем, гамильтониан, который нужно подставить в общее уравнение Шредингера, является функцией не только операторов положения и импульса (и, возможно, времени), но также и спиновых матриц. Кроме того, решения релятивистского волнового уравнения для массивной частицы со спином s представляют собой комплексные 2 (2 s + 1) -компонентные спинорные поля .

Фокское пространство

В первоначальной формулировке уравнение Дирака является уравнением для одной квантовой частицы, точно так же, как одночастичное уравнение Шредингера с волновой функцией . Это имеет ограниченное применение в релятивистской квантовой механике, где число частиц не фиксировано. Эвристически это усложнение может быть мотивировано тем, что эквивалентность массы и энергии подразумевает, что материальные частицы могут быть созданы из энергии. Обычный способ решить эту проблему в КТП - ввести гильбертово пространство, в котором базисные состояния помечены числом частиц, так называемое пространство Фока . Затем можно сформулировать уравнение Шредингера для квантовых состояний в этом гильбертовом пространстве.

История

После Макса Планка квантование «сек света (см излучение черного тела ), Альберт Эйнштейн интерпретированы Планка квант быть фотоны , частицы света , и предположил , что энергия фотона пропорциональна его частоте , один из первых признаков волны –Частичная двойственность . Поскольку энергия и импульс связаны таким же образом, как частота и волновое число в специальной теории относительности , из этого следовало, что импульс фотона обратно пропорционален его длине волны или пропорционален его волновому числу :

где находится постоянная Планка и приведенная постоянная Планка. Луи де Бройль предположил, что это верно для всех частиц, даже для частиц с массой, например электронов. Он показал, что, предполагая, что волны материи распространяются вместе со своими частицами, электроны образуют стоячие волны , а это означает, что допустимы только определенные дискретные частоты вращения вокруг ядра атома. Эти квантованные орбиты соответствуют дискретным уровням энергии , и де Бройль воспроизвел формулу модели Бора для уровней энергии. Модель Бора была основана на предполагаемом квантовании углового момента в соответствии с:

Согласно де Бройлю, электрон описывается волной, и целый ряд длин волн должен соответствовать окружности орбиты электрона:

Этот подход по существу ограничивал электронную волну в одном измерении по круговой орбите радиуса .

В 1921 году, до де Бройля, Артур Ланн из Чикагского университета использовал тот же аргумент, основанный на завершении релятивистского 4-вектора энергии-импульса, для вывода того, что мы теперь называем соотношением де Бройля. В отличие от де Бройля, Ланн сформулировал дифференциальное уравнение, теперь известное как уравнение Шредингера, и решил найти его собственные значения энергии для атома водорода. К сожалению, статья была отклонена Physical Review , как рассказал Камен.

Продолжая идеи де Бройля, физик Питер Дебай небрежно заметил, что, если частицы ведут себя как волны, они должны удовлетворять какому-то волновому уравнению. Вдохновленный замечанием Дебая, Шредингер решил найти правильное трехмерное волновое уравнение для электрона. Он руководствовался аналогией Уильяма Роуэна Гамильтона между механикой и оптикой, закодированной в наблюдении, что предел нулевой длины волны оптики напоминает механическую систему - траектории световых лучей становятся острыми следами, которые подчиняются принципу Ферма , аналогу принципа наименьшего действия .

Он нашел уравнение:

Однако, к тому времени, Арнольд Зоммерфельд был усовершенствовал модель Бора с релятивистскими поправками . Шредингер использовал релятивистское соотношение энергии-импульса, чтобы найти то, что теперь известно как уравнение Клейна – Гордона в кулоновском потенциаленатуральных единицах ):

Он нашел стоячие волны этого релятивистского уравнения, но релятивистские поправки не соответствовали формуле Зоммерфельда. Обескураженный, он отложил свои расчеты и уединился с любовницей в горной хижине в декабре 1925 года.

Находясь в каюте, Шредингер решил, что его ранние нерелятивистские вычисления достаточно новы, чтобы их опубликовать, и решил оставить проблему релятивистских поправок на будущее. Несмотря на трудности с решением дифференциального уравнения для водорода (он обратился за помощью к своему другу, математику Герману Вейлю ), Шредингер в статье, опубликованной в 1926 году, показал, что его нерелятивистская версия волнового уравнения дает правильные спектральные энергии водорода. водород спектральные серии путем обработки атома водорода «s электрона как волны , двигающейся в потенциальной яме , созданный протон . Это вычисление точно воспроизвело энергетические уровни модели Бора .

Уравнение Шредингера детализирует поведение, но ничего не говорит о его природе . Шредингер попытался интерпретировать действительную часть как плотность заряда, а затем пересмотрел это предложение, заявив в своей следующей статье, что квадрат модуля является плотностью заряда. Однако этот подход оказался неудачным. В 1926 году, всего через несколько дней после публикации этой статьи, Макс Борн успешно интерпретировал ее как амплитуду вероятности , квадрат модуля которой равен плотности вероятности . Позже сам Шредингер объяснил эту интерпретацию следующим образом:

Уже ... упомянутая пси-функция ... теперь является средством прогнозирования вероятности результатов измерений. В нем воплощена мгновенно достигнутая сумма теоретически обоснованных будущих ожиданий, в некотором роде изложенная в каталоге.

-  Эрвин Шредингер

Интерпретация

Уравнение Шредингера позволяет вычислить волновую функцию системы и ее динамическое изменение во времени. Однако уравнение Шредингера прямо не говорит, что такое волновая функция. Смысл уравнения Шредингера и то, как математические сущности в нем соотносятся с физической реальностью, зависит от принятой интерпретации квантовой механики .

В представлениях, часто объединяемых в копенгагенскую интерпретацию , волновая функция системы - это набор статистической информации об этой системе. Уравнение Шредингера связывает информацию о системе в один момент с информацией о ней в другой. Хотя процесс эволюции во времени, представленный уравнением Шредингера, является непрерывным и детерминированным, поскольку знание волновой функции в один момент в принципе достаточно для ее расчета для всех будущих времен, волновые функции также могут изменяться скачкообразно и стохастически во время измерения . Согласно этой точке зрения, волновая функция изменяется, потому что доступна новая информация. Волновая функция после измерения обычно не может быть известна до измерения, но вероятности для различных возможностей могут быть рассчитаны с использованием правила Борна . Другие, более поздние интерпретации квантовой механики, такие как реляционная квантовая механика и QBism, также придают уравнению Шредингера статус такого рода.

Сам Шредингер предположил в 1952 году, что различные члены суперпозиции, развивающиеся в соответствии с уравнением Шредингера, «не являются альтернативами, но все действительно происходят одновременно». Это было интерпретировано как ранняя версия многомировой интерпретации Эверетта . Эта интерпретация, независимо сформулированная в 1956 году, утверждает, что все возможности, описываемые квантовой теорией, одновременно возникают в мультивселенной, состоящей в основном из независимых параллельных вселенных. Эта интерпретация устраняет аксиому коллапса волновой функции, оставляя только непрерывную эволюцию в рамках уравнения Шредингера, и поэтому все возможные состояния измеряемой системы и измерительного прибора вместе с наблюдателем присутствуют в реальной физической квантовой суперпозиции . Хотя мультивселенная детерминирована, мы воспринимаем недетерминированное поведение, управляемое вероятностями, потому что мы наблюдаем не мультивселенную в целом, а только одну параллельную вселенную за раз. Как именно это должно работать, было предметом множества споров. Почему мы вообще должны приписывать вероятности исходам, которые обязательно произойдут в некоторых мирах, и почему вероятности должны определяться правилом Борна? Было предложено несколько способов ответить на эти вопросы в рамках концепции многих миров, но нет единого мнения о том, успешны ли они.

Бомовская механика переформулирует квантовую механику, чтобы сделать ее детерминированной, но ценой явной нелокальности (цена, которую требует теорема Белла ). Он приписывает каждой физической системе не только волновую функцию, но, кроме того, реальное положение, которое детерминированно изменяется в соответствии с нелокальным управляющим уравнением. Эволюция физической системы всегда задается уравнением Шредингера вместе с управляющим уравнением.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки