Потенциал Рисса - Riesz potential

В математике , то потенциал Рисса является потенциал назван в честь его первооткрывателя, в Венгрии математика Марсель Рисс . В некотором смысле потенциал Рисса определяет обратную величину для степени оператора Лапласа в евклидовом пространстве. Они обобщают интегралы Римана – Лиувилля от одной переменной на несколько переменных.

Если 0 < α < п , то потенциал Рисса я _αF из локально интегрируемой функции F на R ^п функция определяется

{\ displaystyle (I _ {\ alpha} f) (x) = {\ frac {1} {c _ {\ alpha}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ frac {f (y )} {| xy | ^ {n- \ alpha}}} \, \ mathrm {d} y}

( 1 )

где постоянная определяется выражением

{\ displaystyle c _ {\ alpha} = \ pi ^ {n / 2} 2 ^ {\ alpha} {\ frac {\ Gamma (\ alpha / 2)} {\ Gamma ((n- \ alpha) / 2)} }.}

Этот сингулярный интеграл корректно определен при условии, что f достаточно быстро убывает на бесконечности, в частности, если f ∈ L ^p ( R ⁿ ) с 1 ≤ p < n / α . Фактически, для любого 1 ≤ p ( p > 1 является классическим, согласно Соболеву, а для p = 1 см. ( Schikorra, Spector & Van Schaftingen )), скорость убывания f и I _α f связаны соотношением форма неравенства (неравенство Харди – Литтлвуда – Соболева )

{\ displaystyle \ | I _ {\ alpha} f \ | _ {p ^ {*}} \ leq C_ {p} \ | Rf \ | _ {p}, \ quad p ^ {*} = {\ frac {np } {n- \ alpha p}},}

где - векторное преобразование Рисса . В более общем смысле, операторы I _α корректно определены для такого комплексного α, что 0 <Re α < n . ${\ displaystyle Rf = DI_ {1} f}$

Потенциал Рисса можно определить в более общем смысле в слабом смысле как свертку

{\ Displaystyle I _ {\ alpha} е = е * К _ {\ альфа}}

где K _α - локально интегрируемая функция:

{\ displaystyle K _ {\ alpha} (x) = {\ frac {1} {c _ {\ alpha}}} {\ frac {1} {| x | ^ {n- \ alpha}}}.}

Следовательно, потенциал Рисса может быть определен всякий раз, когда f является распределением с компактным носителем. В этой связи потенциал Рисса положительной борелевской меры μ с компактным носителем представляет интерес в основном для теории потенциала, потому что тогда I _α μ является (непрерывной) субгармонической функцией вне носителя μ и полунепрерывно снизу на всех R ⁿ .

Рассмотрение преобразования Фурье показывает, что потенциал Рисса является множителем Фурье . Фактически, есть