Теория лжи - Lie theory

В математике , как математик Софус Ли ( / л я / LEE ) , инициированные линии исследования с участием интеграции дифференциальных уравнений , групп преобразований и контактом из сфер , которые получили название теории Ли . Например, последний предмет - геометрия сферы Ли . В этой статье рассматривается его подход к группам преобразований, который является одной из областей математики и был разработан Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном .

Основой теории Ли является экспоненциальное отображение, связывающее алгебры Ли с группами Ли, которое называется соответствием группы Ли и алгебры Ли . Предмет является частью дифференциальной геометрии, поскольку группы Ли являются дифференцируемыми многообразиями . Группы Ли развиваются из тождества (1), а касательные векторы к однопараметрическим подгруппам порождают алгебру Ли. Структура группы Ли неявна в ее алгебре, а структура алгебры Ли выражается корневыми системами и корневыми данными .

Теория Ли была особенно полезна в математической физике , так как он описывает стандартные группы преобразований: в группу Галилея , в группу Лоренца , в группу Пуанкаре и конформной группы пространства - времени .

Элементарная теория Ли

В однопараметрические группы являются первым примером теории Ли. Компактный случай возникает через формулу Эйлера в комплексной плоскости . Другие однопараметрические группы встречаются на плоскости расщепленных комплексных чисел как единичная гипербола.

и в плоскости двойственных чисел как прямая. В этих случаях параметры алгебры Ли имеют имена: угол , гиперболический угол и наклон . Эти углы полезны для обеспечения полярных разложений, которые описывают подалгебры вещественных матриц 2 x 2.

Существует классическая 3-параметрическая пара группы Ли и алгебры: кватернионы единичной длины, которые можно отождествить с 3-сферой . Его алгебра Ли - это подпространство кватернионных векторов. Поскольку коммутатор ij - ji = 2k, скобка Ли в этой алгебре является удвоенным кросс-произведением обычного векторного анализа .

Другой элементарный трехпараметрический пример дается группой Гейзенберга и ее алгеброй Ли. Стандартные трактовки теории Ли часто начинаются с классических групп .

История и сфера применения

Ранние выражения теории Ли можно найти в книгах, составленных Софусом Ли с Фридрихом Энгелем и Георгом Шефферсом с 1888 по 1896 год.

В ранней работе Ли идея состояла в том, чтобы построить теорию непрерывных групп , чтобы дополнить теорию дискретных групп, которая была разработана в теории модулярных форм в руках Феликса Клейна и Анри Пуанкаре . Первоначальное приложение, которое имел в виду Ли, было к теории дифференциальных уравнений . На модели теории Галуа и полиномиальных уравнений движущей концепцией была теория, способная объединить посредством изучения симметрии всю область обыкновенных дифференциальных уравнений .

По словам историка Томаса У. Хокинса, именно Эли Картан сделал теорию Ли такой, какая она есть:

Хотя у Ли было много плодотворных идей, Картан в первую очередь отвечал за расширение и приложения своей теории, которые сделали ее основным компонентом современной математики. Именно он с некоторой помощью Вейля развил основополагающие, по существу алгебраические идеи Киллинга в теории структуры и представления полупростых алгебр Ли , играющих столь фундаментальную роль в современной теории Ли. И хотя Ли предполагал применение своей теории к геометрии, именно Картан фактически создал их, например, с помощью своих теорий симметричных и обобщенных пространств, включая все сопутствующие аппараты ( движущиеся системы отсчета , внешние дифференциальные формы и т. Д.).

Три теоремы Ли

В своей работе над группами преобразований Софус Ли доказал три теоремы, связывающие группы и алгебры, носящие его имя. Первая теорема показала основу алгебры через бесконечно малые преобразования . Вторая теорема показала структурные константы алгебры как результат коммутаторных произведений в алгебре. Третья теорема показала эти константы являются анти-симметричны и удовлетворяют тождество Якоби . Как писал Роберт Гилмор:

Три теоремы Ли обеспечивают механизм построения алгебры Ли, связанной с любой группой Ли. Они также характеризуют свойства алгебры Ли. ¶ Обратное к трем теоремам Ли делает противоположное: они обеспечивают механизм для связывания группы Ли с любой конечномерной алгеброй Ли ... Теорема Тейлора позволяет построить каноническую аналитическую структурную функцию φ (β, α) из теории Ли. алгебра. ¶ Эти семь теорем - три теоремы Ли и их обратные, а также теорема Тейлора - обеспечивают существенную эквивалентность между группами Ли и алгебрами.

Аспекты теории Ли

Теория Ли часто строится на изучении классических линейных алгебраических групп . Специальные ветви включают группы Вейля , кокстеровские группы , и здания . Классический предмет был распространен на группы лиева типа .

В 1900 году Давид Гильберт бросил вызов теоретикам лжи своей Пятой проблемой, представленной на Международном конгрессе математиков в Париже.

Смотрите также

Примечания и ссылки

  • Джон А. Коулман (1989) "Величайшая математическая статья всех времен", The Mathematical Intelligencer 11 (3): 29–38.

дальнейшее чтение

Внешние ссылки