Гиперболический угол - Hyperbolic angle

Гиперболический угол - это фигура, окруженная двумя лучами и гиперболической дугой. Заштрихованный сектор находится в стандартном положении, если

a = 1

В математике , гиперболический угол является геометрической фигурой , которая определяет гиперболический сектор . Отношение гиперболического угла к гиперболе аналогично отношению «обычного» угла к окружности .

Величина гиперболического угла - это площадь соответствующего сектора гиперболы xy = 1. Эта гипербола является прямоугольной с большой полуосью , аналогичной величине кругового угла, соответствующего площади кругового сектора в круг с радиусом . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Гиперболический угол используется в качестве независимой переменной для гиперболических функций sinh, cosh и tanh, потому что эти функции могут основываться на гиперболических аналогиях с соответствующими круговыми тригонометрическими функциями, рассматривая гиперболический угол как определяющий гиперболический треугольник . Таким образом, параметр становится одним из самых полезных в исчислении от реальных переменных.

Определение

Рассмотрим прямоугольную гиперболу и (по соглашению) обратите особое внимание на ветвь . ${\ displaystyle \ textstyle \ {(x, {\ frac {1} {x}}): x> 0 \}}$ ${\ displaystyle x> 1}$

Сначала определите:

Гиперболический угол в стандартном положении представляет собой угол в между лучом до и луча к , где . ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle (1,1)}$ ${\ displaystyle \ textstyle (х, {\ гидроразрыва {1} {x}})}$ ${\ displaystyle x> 1}$
Величина этого угла - это площадь соответствующего гиперболического сектора , который оказывается равным . ${\ displaystyle \ operatorname {ln} x}$

Обратите внимание, что из-за роли натурального логарифма :

В отличие от кругового угла, гиперболический угол не ограничен (потому что он неограничен); это связано с тем, что гармонический ряд неограничен. ${\ displaystyle \ operatorname {ln} x}$
Формула для величины угла предполагает, что для гиперболический угол должен быть отрицательным. Это отражает тот факт, что, как определено, угол направлен . ${\ Displaystyle 0 <х <1}$

Наконец, расширите определение гиперболического угла до угла, который образует любой интервал на гиперболе. Предположим , что положительные действительные числа такие, что и , так что и являются точками на гиперболе, и определяют интервал на ней. Затем отображение сжатия отображает угол в стандартный позиционный угол . По результату Грегуара де Сент-Винсент , гиперболические сектора, определяемые этими углами, имеют одинаковую площадь, которая принимается за величину угла. Эта величина есть . ${\ displaystyle a, b, c, d}$ ${\ displaystyle ab = cd = 1}$ ${\ displaystyle c> a> 1}$ ${\ Displaystyle (а, б)}$ ${\ displaystyle (c, d)}$ ${\ displaystyle xy = 1}$ ${\ displaystyle \ textstyle f: (x, y) \ to (bx, ay)}$ ${\ Displaystyle \ угол \! \ влево ((a, b), (0,0), (c, d) \ right)}$ ${\ Displaystyle \ угол \! \ влево ((1,1), (0,0), (bc, ad) \ right)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ln} {(bc)} = \ operatorname {ln} (c / a) = \ operatorname {ln} c- \ operatorname {ln} a}$

Сравнение с круговым углом

Единичная гипербола имеет сектор с площадью, равной половине гиперболического угла

Круговой угол против гиперболического

Единичная окружность имеет круговой сектор с площадью половины окружности угла в радианах. Аналогично, единичная гипербола имеет гиперболический сектор с площадью, равной половине гиперболического угла. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$

Существует также проективное разрешение между круговым и гиперболическим случаями: обе кривые являются коническими сечениями и, следовательно, рассматриваются как проективные области в проективной геометрии . Если задана исходная точка на одном из этих диапазонов, другие точки соответствуют углам. Базовая для науки идея сложения углов соответствует сложению точек на одном из этих диапазонов следующим образом:

Круговые углы могут быть геометрически охарактеризованы тем свойством, что если две хорды P ₀P ₁ и P ₀P ₂ соединяют углы L ₁ и L ₂ в центре окружности, их сумма L ₁ + L ₂ представляет собой угол, образованный хордой. PQ , где PQ должен быть параллелен P ₁P ₂ .

Ту же конструкцию можно применить и к гиперболе. Если в качестве P ₀ взять точку (1, 1) , P ₁ - точку ( x ₁ , 1 / x ₁ ) , а P ₂ - точку ( x ₂ , 1 / x ₂ ) , то условие параллельности требует, чтобы Q - точка ( x ₁x ₂ , 1 / x ₁ 1 / x ₂ ) . Таким образом, имеет смысл определить гиперболический угол от P ₀ до произвольной точки на кривой как логарифмическую функцию значения x точки .

В то время как в евклидовой геометрии устойчивое движение в ортогональном направлении к лучу из начала координат очерчивает круг, в псевдоевклидовой плоскости, устойчиво движущейся перпендикулярно лучу из начала координат, прослеживается гипербола. В евклидовом пространстве множитель данного угла указывает равные расстояния по окружности, в то время как он отображает экспоненциальные расстояния на гиперболической линии.

И круговой, и гиперболический угол представляют собой примеры инвариантной меры . Дуги с угловой величиной на окружности генерируют меру на определенных измеримых наборах на окружности, величина которой не меняется при повороте или вращении окружности . Для гиперболы поворот осуществляется с помощью отображения сжатия , а значения гиперболических углов остаются неизменными, когда плоскость сжимается отображением

( x , y ) ↦ ( rx , y / r ), где r > 0.

Связь с элементом линии Минковского

Есть также любопытная связь с гиперболическим углом и метрикой, определенной на пространстве Минковского. Так же, как двухмерная евклидова геометрия определяет свой линейный элемент как

{\ displaystyle ds_ {e} ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2},}

линейный элемент в пространстве Минковского равен

{\ displaystyle ds_ {m} ^ {2} = dx ^ {2} -dy ^ {2}.}

Рассмотрим кривую, вложенную в двумерное евклидово пространство,

{\ Displaystyle х = е (т), у = г (т).}

Где параметр - это действительное число, которое находится между и ( ). Длина дуги этой кривой в евклидовом пространстве вычисляется как: ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ Displaystyle а \ leqslant т <Ь}$

{\ displaystyle S = \ int _ {a} ^ {b} ds_ {e} = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2}}} dt.}

Если определяет единичный круг, единственным параметризованным решением, установленным для этого уравнения, является и . Позволить , вычисление длины дуги дает . Теперь проделываем ту же процедуру, за исключением замены евклидова элемента линейным элементом Минковского, ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ ${\ Displaystyle х = \ соз т}$ ${\ Displaystyle у = \ грех т}$ ${\ Displaystyle 0 \ leqslant т <\ тета}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S = \ theta}$

{\ displaystyle S = \ int _ {a} ^ {b} ds_ {m} = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2}}} dt,}

и определили «единичную» гиперболу как с соответствующим ей параметризованным набором решений и , и, позволив (гиперболический угол), мы приходим к результату . Другими словами, это означает, что точно так же, как круговой угол может быть определен как длина дуги на единичной окружности, образуемой тем же углом с использованием определенной евклидовой метрики, гиперболический угол - это длина дуги на «единице». гипербола, ограниченная гиперболическим углом с использованием метрики, определенной Минковским. ${\ displaystyle y ^ {2} -x ^ {2} = 1}$ ${\ Displaystyle у = \ тк}$ ${\ Displaystyle х = \ зп т}$ ${\ Displaystyle 0 \ leqslant т <\ eta}$ ${\ Displaystyle S = \ eta}$

История

Квадратурная из гиперболы является оценкой площади гиперболического сектора . Можно показать, что она равна соответствующей площади против асимптоты . Квадратура была впервые осуществлена Грегуаром де Сент-Винсентом в 1647 году в Opus geometryum quadrature Ciri et sectionum coni . Как выразился историк,

[Он сделал] квадратуру гиперболы до ее асимптот , и показал , что , как площадь увеличилась в арифметических рядах в абсциссах увеличились в геометрической прогрессии .

А. А. де Сараса интерпретировал квадратуру как логарифм, и, таким образом, геометрически определенный натуральный логарифм (или «гиперболический логарифм») понимается как площадь под y = 1 / x справа от x = 1 . В качестве примера трансцендентной функции логарифм более известен, чем его мотиватор - гиперболический угол. Тем не менее, гиперболический угол играет роль, когда теорема Сен-Винсента продвигается с отображением сжатия .

Круговая тригонометрия была расширена до гиперболы Августом Де Морганом в его учебнике « Тригонометрия и двойная алгебра» . В 1878 году WK Клиффорда используется гиперболический угол , чтобы параметризовать в блок гиперболу , описывая его как «квази- гармонического движения ».

В 1894 году Александр Макфарлейн распространил свое эссе «Воображаемое алгебры», в котором для создания гиперболических версоров использовались гиперболические углы , в своей книге « Статьи по анализу пространства» . В следующем году Бюллетень Американского математического общества опубликовал схему гиперболических функций Меллена У. Хаскелла .

Когда Людвик Зильберштейн писал свой популярный в 1914 году учебник по новой теории относительности , он использовал концепцию скорости, основанную на гиперболическом угле a , где tanh a = v / c , отношение скорости v к скорости света . Он написал:

Стоит упомянуть, что единице скорости соответствует огромная скорость, составляющая 3/4 скорости света; более точно мы имеем v = (0,7616) c для a = 1 .

[...] скорость a = 1 , [...] следовательно, будет представлять скорость 0,76 c, которая немного превышает скорость света в воде.

Зильберштейн также использует концепцию угла параллельности of ( a ) Лобачевского, чтобы получить cos Π ( a ) = v / c .

Воображаемый круговой угол

Гиперболический угол часто представляется как воображаемое число . Таким образом, если x - действительное число и i ² = −1 , то

{\ displaystyle \ cos (ix) = \ cosh (x) \ quad {\ text {and}} \ quad \ sin (ix) = i \ sinh (x)}

так что гиперболические функции ch и sh могут быть представлены через круговые функции. Но эти тождества не возникают из круга или вращения, скорее, их можно понять в терминах бесконечных рядов . В частности, выражение, выражающее экспоненциальную функцию ( ), состоит из четных и нечетных членов, первые составляют функцию ch ( ), а вторые - функцию sh ( ). Бесконечный ряд для косинуса получается из cosh путем преобразования его в чередующийся ряд , а ряд для синуса получается из преобразования sin в чередующийся ряд. Вышеупомянутые тождества используют число i, чтобы удалить переменный множитель (-1) ⁿ из членов ряда, чтобы восстановить полные половины экспоненциального ряда. Тем не менее, в теории голоморфных функций функции гиперболического синуса и косинуса включены в комплексные функции синуса и косинуса. ${\ Displaystyle е ^ {х} = \ сш х + \ зп х \!}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ cosh x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sinh x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$