Предел сравнительного теста - Limit comparison test

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции Всего Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Товар Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередующиеся серии Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разнообразный Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

В математике , то тест предела сравнения (LCT) (в отличие от связанного с испытанием прямого сравнения ) представляет собой метод тестирования для сходимости бесконечного ряда .

Заявление

Предположим, что у нас есть две серии и с для всех . ${\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n} \ geq 0, b_ {n}> 0}$${\ displaystyle n}$

Тогда, если с , то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся. ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\ Displaystyle 0 <с <\ infty}$

Доказательство

Потому что мы знаем, что для каждого есть положительное целое число, такое, что для всех, что у нас есть , или, что то же самое, ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle n_ {0}}$${\ displaystyle n \ geq n_ {0}}$${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - c \ right | <\ varepsilon}$

${\ displaystyle - \ varepsilon <{\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - c <\ varepsilon}$

${\ displaystyle c- \ varepsilon <{\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} <c + \ varepsilon}$

${\ displaystyle (c- \ varepsilon) b_ {n} <a_ {n} <(c + \ varepsilon) b_ {n}}$

Поскольку мы можем выбрать достаточно маленький, чтобы быть положительным. Итак, и при прямом сравнительном тесте , если сходится, то так и происходит . ${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle c- \ varepsilon}$${\ displaystyle b_ {n} <{\ frac {1} {c- \ varepsilon}} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {п} а_ {п}}$${\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}}$

Точно так же , если расходится, опять же при прямом сравнительном тесте, то же самое . ${\ displaystyle a_ {n} <(c + \ varepsilon) b_ {n}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {п} а_ {п}}$${\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}}$

То есть оба ряда сходятся или оба ряда расходятся.

Пример

Мы хотим определить, сходится ли ряд . Для этого сравним со сходящимся рядом . ${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {1} {п ^ {2} + 2n}}}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

Поскольку у нас есть, что исходный ряд также сходится. ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + 2n}} {\ frac {n ^ {2}} {1}} = 1> 0}$

Односторонняя версия

Можно сформулировать односторонний сравнительный тест, используя верхний предел . Пусть для всех . Тогда если с и сходится, обязательно сходится. ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\ Displaystyle 0 \ Leq с <\ infty}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$

Пример

Пусть и для всех натуральных чисел . Сейчас не существует, поэтому мы не можем применить стандартный сравнительный тест. Однако, поскольку сходится, односторонний сравнительный тест подразумевает, что сходится. ${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ lim _ {n \ to \ infty} (1 - (- 1) ^ {n })}$${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} (1 - (- 1) ^ {n }) = 2 \ in [0, \ infty)}$${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {1} {п ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$

Конверс одностороннего сравнительного теста

Пусть для всех . Если расходится и сходится, то обязательно , то есть . Существенное содержание здесь состоит в том, что в некотором смысле числа больше, чем числа . ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ infty}$${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}}} = 0}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n}}$

Пример

Пусть аналитична в единичном круге и имеет образ конечной площади. По формуле Парсеваля площадь изображения составляет . Более того, расходится. Следовательно, в противоположность сравнительному тесту, мы имеем , то есть . ${\ Displaystyle е (г) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} а_ {п} г ^ {п}}$${\ Displaystyle D = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | <1 \}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} п | а_ {п} | ^ {2}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} 1 / п}$${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {n | a_ {n} | ^ {2}} {1 / n}} = \ liminf _ {n \ to \ infty} (n | a_ {n} |) ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle \ liminf _ {п \ к \ infty} п | а_ {п} | = 0}$

Смотрите также

• Тесты сходимости
• Тест прямого сравнения

использованная литература

дальнейшее чтение

• Ринальдо Б. Скинаци: от исчисления к анализу . Springer, 2011 г., ISBN  9780817682897 , стр. 50
• Микеле Лонго и Винченцо Валори: сравнительный тест: не только для неотрицательных серий . Математический журнал, Vol. 79, No. 3 (июнь 2006 г.), стр. 205–210 ( JSTOR )
• Дж. Маршалл Эш: тест на сравнение пределов требует положительности . Математический журнал, Vol. 85, № 5 (декабрь 2012 г.), стр. 374–375 ( JSTOR )

внешние ссылки

• Онлайн-заметки Полса о сравнительном тесте