Порядок интегрирования (исчисления) - Order of integration (calculus)

В исчислении изменение порядка интегрирования - это методология, которая преобразует повторяющиеся интегралы (или множественные интегралы с использованием теоремы Фубини ) функций в другие, надеюсь, более простые интегралы путем изменения порядка, в котором выполняются интегрирования. В некоторых случаях порядок интеграции можно корректно поменять местами; в других нет.

Постановка задачи

Задача для рассмотрения - вычисление интеграла формы

${\ Displaystyle \ iint _ {D} \ е (х, у) \ dx \, dy,}$

где D - некоторая двумерная область на плоскости xy . Для некоторых функций f возможно прямое интегрирование, но там, где это не так, интеграл иногда можно привести к более простой форме, изменив порядок интегрирования. Трудность этого обмена заключается в определении изменения в описании домена D .

Метод применим и к другим кратным интегралам .

Иногда, даже если полная оценка затруднительна или, возможно, требует численного интегрирования, двойной интеграл может быть сведен к единственному интегрированию, как показано ниже. Сведение к единственному интегрированию делает численную оценку намного проще и эффективнее.

Отношение к интеграции по частям

Рисунок 1: Интегрирование по треугольной области может быть выполнено с использованием вертикальных или горизонтальных полос в качестве первого шага. Это вид сверху вниз по оси z на плоскость xy . Наклонная линия - это кривая y = x .

Рассмотрим повторный интеграл

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy \, dx,}$

который мы напишем, используя обычно используемую в физике префиксную нотацию:

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {z} dx \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy.}$

В этом выражении второй интеграл вычисляется первым по y, а x остается постоянным - полоса шириной dx интегрируется первой по направлению y (полоса шириной dx в направлении x интегрируется по оси y переменная в направлении y ), складывая бесконечное количество прямоугольников шириной dy по оси y . Это образует трехмерный срез ой ширину вдоль х оси х, от у = к у = х вдоль у оси х, а в г направления г = ф ( х , у ). Обратите внимание, что если толщина dx бесконечно мала, x изменяется только бесконечно мало на срезе. Можно считать, что x постоянный. Такое интегрирование показано на левой панели рисунка 1, но оно неудобно, особенно когда функцию h ( y ) интегрировать нелегко. Интеграл можно свести к единственному интегрированию, изменив порядок интегрирования, как показано на правой панели рисунка. Чтобы выполнить этот обмен переменными, полоса ширины dy сначала интегрируется от линии x = y до предела x = z , а затем результат интегрируется от y = a до y = z , в результате чего:

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} dx \ \ int _ {a} ^ {x} h (y) \ dy = \ int _ {a} ^ {z} h (y) \ dy \ \ int _ {y} ^ {z} dx = \ int _ {a} ^ {z} \ left (zy \ right) h (y) \, dy.}$

Этот результат можно рассматривать как пример формулы для интегрирования по частям , как указано ниже:

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} е (х) g '(x) \, dx = \ left [f (x) g (x) \ right] _ {a} ^ {z} - \ int _ {a} ^ {z} f '(x) g (x) \, dx}$

Заменять:

${\ displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {x} h (y) \, dy ~ {\ text {and}} ~ g '(x) = 1.}$

Что дает результат.

Интегралы главного значения

Для применения к интегралам с главным значением см. Уиттакер и Ватсон, Гахов, Лу или Цвиллинджер. См. Также обсуждение преобразования Пуанкаре-Бертрана в Оболашвили. Пример, когда порядок интеграции не может быть изменен, дал Канвал:

${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d {\ tau} _ {1}} {{\ tau } _ {1} -t}} \ \ int _ {L} ^ {*} \ g (\ tau) {\ frac {d \ tau} {\ tau - \ tau _ {1}}} = {\ frac {1} {4}} g (t) \,}$

в то время как:

${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} g (\ tau) \ d \ tau \ left (\ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ left (\ tau _ {1} -t \ right) \ left (\ tau - \ tau _ {1} \ right)}} \ right ) = 0 \.}$

Вторая форма вычисляется с использованием частичного разложения дроби и оценки с использованием формулы Сохоцкого – Племеля :

${\ displaystyle \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ tau _ {1} -t}} = \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ tau _ {1} -t}} = \ pi \ i \.}$

Обозначение указывает на главное значение Коши . См. Канвал. ${\ displaystyle \ int _ {L} ^ {*}}$

Основные теоремы

Обсуждение основы изменения порядка интегрирования можно найти в книге Т.В. Кёрнера « Анализ Фурье ». Он вводит свое обсуждение примером, в котором перестановка интегрирования приводит к двум различным ответам, поскольку условия теоремы II ниже не выполняются. Вот пример:

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ { 2}}} \ dy = \ left [{\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right] _ {1} ^ {\ infty} = - {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \ \ left [x \ geq 1 \ right] \.}$

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dy \ right) \ dx = - {\ frac {\ pi} {4}} \.}$

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dx \ right) \ dy = {\ frac {\ pi} {4}} \.}$

Две основные теоремы, регулирующие допустимость обмена, цитируются ниже Чаудри и Зубайра:

Теорема I  -  Пусть F ( х ,  у ) является непрерывной функцией постоянного знака определяется для через ≤ х <∞, с ≤ у <∞, и пусть интегралов

${\ Displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dx}$           а также           ${\ Displaystyle J ^ {*} (х) = \ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dy}$

рассматриваемые как функции соответствующего параметра, будут, соответственно, непрерывными при c ≤ y <∞, a ≤ x <∞. Тогда, если хотя бы один из повторных интегралов

${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx \ right) dy}$           а также           ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy \ right) dx}$

сходится, другой интеграл также сходится и их значения совпадают.

Теорема II  -  Пусть F ( х ,  у ) непрерывна при через ≤ х <∞, с ≤ у <∞, и пусть интегралов

${\ Displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dx}$           а также           ${\ Displaystyle J ^ {*} (х) = \ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dy}$

быть соответственно равномерно сходящимися на каждом конечном интервале c ≤ y < C и на каждом конечном интервале a ≤ x < A . Тогда, если хотя бы один из повторных интегралов

${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} | f (x, \ y) | dx \ right) dy}$           а также           ${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} | f (x, \ y) | dy \ right) dx}$

сходится, повторные интегралы

${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) dx \ right) dy}$           а также           ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) dy \ right) dx}$

также сходятся и их значения равны.

Наиболее важная теорема для приложений цитируется Проттером и Морри:

Теорема  -  Пусть F представляет собой область , определяется ,   где р и д непрерывен и р ( х ) ≤ д ( х ) для с ≤ х ≤ б . Предположим , что F ( х ,  у ) непрерывна на F . потом ${\ Displaystyle F = \ влево \ {(х, \ y): а \ leq x \ leq b, p (x) \ leq y \ leq q (x) \ right \} \,}$

${\ displaystyle \ iint _ {F} f (x, y) \, dA = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {p (x)} ^ {q (x)} f (x, \ y) \, dy \ dx.}$

Соответствующий результат верен, если замкнутая область F имеет представление   где r ( y ) ≤  s ( y ) при c ≤ y ≤ d . В таком случае, ${\ Displaystyle F = \ влево \ {(х, \ y): с \ leq y \ leq d, \ r (y) \ leq x \ leq s (y) \ right \}}$

${\ Displaystyle \ iint _ {F} е (х, \ y) dA = \ int _ {c} ^ {d} \ int _ {r (y)} ^ {s (y)} f (x, \ y ) \, dx \ dy \.}$

Другими словами, оба повторных интеграла, если их можно вычислить, равны двойному интегралу и, следовательно, равны друг другу.

Смотрите также

• Теорема Фубини

Ссылки и примечания

внешние ссылки

• Онлайн-математические заметки Павла: Исчисление III
• Хорошие трехмерные изображения, показывающие вычисление «двойных интегралов» с использованием повторных интегралов , Департамент математики в Университете штата Орегон.
• Задачи исчисления UCLA Рона Миха Более сложные примеры изменения порядка интегрирования (см. Задачи 33, 35, 37, 39, 41 и 43)
• Веб-сайт Университета Миннесоты Дуэйна Никампа