Интеграл обратных функций - Integral of inverse functions
Часть цикла статей о |
Исчисление |
---|
В математике , интегралы от обратных функций могут быть вычислены с помощью формулы, выражающей первообразных обратных о наличии непрерывной и обратимой функции , в терминах и первообразный . Эта формула была опубликована в 1905 году Шарлем-Анжем Лезаном .
Формулировка теоремы
Пусть и два интервалов из . Предположим, что это непрерывная и обратимая функция. Из теоремы о промежуточном значении следует, что она строго монотонна . Следовательно, отображает интервалы в интервалы, так что это открытое отображение и, следовательно, гомеоморфизм. Поскольку и обратная функция непрерывна, они имеют первообразные по основной теореме исчисления .
Лайзант доказал, что если является первообразной , то первообразными являются:
где - произвольное действительное число. Обратите внимание, что это не считается дифференцируемым.
В своей статье 1905 года Лайзан приводит три доказательства. Во- первых, при дополнительном условии , что является дифференцируемой , можно дифференцировать выше формулу, которая сразу же завершает доказательство. Его второе доказательство было геометрическим. Если и , теорему можно записать:
Рисунок справа - это доказательство этой формулы без слов . Лейсант не обсуждает гипотезы, необходимые для того, чтобы сделать это доказательство строгим, но это можно доказать, если только предположить, что оно строго монотонно (не обязательно непрерывно, не говоря уже о дифференцируемости). В этом случае, как и в Риману и тождество следует из взаимно однозначного соответствия между нижней / верхними суммами Дарба из и верхних / нижнего Дарбу суммы . Тогда первообразная версия теоремы следует из основной теоремы исчисления в случае, когда также предполагается непрерывность. Третье доказательство Лейсана использует дополнительную дифференцируемую гипотезу . Начиная с , один умножает и объединяет обе стороны. Правая часть вычисляется путем интегрирования по частям , и формула следует.
Тем не менее можно показать, что эта теорема верна, даже если она дифференцируема или недифференцируема: достаточно, например, использовать интеграл Стилтьеса в предыдущем рассуждении. С другой стороны, хотя общие монотонные функции дифференцируемы почти всюду, доказательство общей формулы не следует, если только она не является абсолютно непрерывной .
Кроме того , можно проверить , что для любого в , производная функции равна . Другими словами:
Для этого достаточно применить теорему о среднем значении к между и , учитывая, что это монотонно.
Примеры
- Предположим, что , следовательно . Приведенная выше формула сразу дает
- Аналогично с и ,
- С и ,
История
По-видимому, эту теорему интегрирования впервые открыл в 1905 году Шарль-Анж Лезан , который «с трудом мог поверить в то, что эта теорема является новой», и надеялся, что отныне ее использование будет распространяться среди студентов и учителей. Этот результат был независимо опубликован в 1912 году итальянским инженером Альберто Каприлли в опуске под названием «Nuove formole d'integrazione». Он был переоткрыт в 1955 году Паркером и рядом математиков, последовавших за ним. Тем не менее, все они предполагают , что е или е -1 является дифференцируемой . Общая версия теоремы , свободная от этого дополнительного предположения, была предложена Майклом Спиваком в 1965 году в качестве упражнения в исчислении , а довольно полное доказательство, следующее в тех же строках, было опубликовано Эриком Ки в 1994 году. само определение интеграла Дарбу и состоит в том, чтобы показать, что верхние суммы Дарбу функции f находятся в соответствии 1-1 с нижними суммами Дарбу функции f −1 . В 2013 году Майкл Бенсимхаун, оценив, что общая теорема еще недостаточно известна, дал два других доказательства: второе доказательство, основанное на интеграле Стилтьеса и его формулах интегрирования по частям и гомеоморфной замены переменных , наиболее подходит для устанавливать более сложные формулы.
Обобщение на голоморфные функции
Приведенная выше теорема очевидным образом обобщается на голоморфные функции: Пусть и - два открытых и односвязных множества , и предположим, что это биголоморфизм . Тогда и имеют первообразные, а если является первообразной , то общей первообразной является
Поскольку все голоморфные функции дифференцируемы, доказательство немедленно проводится комплексным дифференцированием.
Смотрите также
Рекомендации
- Staib, JH (сентябрь 1966 г.). «Интегрирование обратных функций». Математический журнал . 39 (4): 223–224. DOI : 10.2307 / 2688087 . JSTOR 2688087 .