В математике , арифметико-геометрическая прогрессия является результатом термина-по-перспектива умножения геометрической прогрессии с соответствующими терминами арифметической прогрессии . Проще говоря, n- й член арифметико-геометрической последовательности является произведением n- го члена арифметической последовательности. и n- й член геометрического. Арифметико-геометрические последовательности возникают в различных приложениях, таких как вычисление ожидаемых значений в теории вероятностей . Например, последовательность
представляет собой арифметико-геометрическую последовательность. Арифметическая составляющая отображается в числителе (синим цветом), а геометрическая - в знаменателе (зеленым цветом).
Суммирование этой бесконечной последовательности известно как арифметико-геометрический ряд , а его основная форма получила название лестницы Габриэля :
Номинал также может применяться к различным объектам, представляющим характеристики как арифметических, так и геометрических последовательностей; например, французское понятие арифметико-геометрической последовательности относится к последовательностям формы , которые обобщают как арифметические, так и геометрические последовательности. Такие последовательности являются частным случаем линейных разностных уравнений .
Первые несколько членов арифметико-геометрической последовательности, состоящей из арифметической прогрессии (
выделено синим цветом) с разницей и начальным значением и геометрической прогрессии ( выделено зеленым цветом) с начальным значением и общим соотношением , выражаются следующим образом:
Пример
Например, последовательность
определяется , и .
Сумма условий
Сумма первых n членов арифметико-геометрической последовательности имеет вид
где и - i- е члены арифметической и геометрической последовательности соответственно.
где последнее равенство является результатом выражения суммы геометрического ряда . Наконец, деление на 1 - r дает результат.
Бесконечная серия
Если −1 < r <1, то сумма S арифметико-геометрического ряда , то есть сумма всех бесконечно многих членов прогрессии, равна
Если r выходит за пределы указанного диапазона, серия либо
расходится (когда r > 1, или когда r = 1, где ряд арифметический, а a и d не равны нулю; если и a, и d равны нулю в последнем случае, все члены ряда равны нулю, а ряд постоянен )
являющаяся сумма из серии arithmetico-геометрическая , определенной , и , сходится к .
Эта последовательность соответствует ожидаемому количеству подбрасываний монеты до получения «решки». Вероятность получения решки впервые при k- м броске следующая: