Теорема Грина - Green's theorem

В векторном исчислении, теорема Грина связывает интеграл линии вокруг простого замкнутых кривой C к двойному интегралу над плоскостью области D , ограниченной С . Это двумерный частный случай теоремы Стокса .

Теорема

Пусть С будет положительно ориентированным , кусочно - гладким , простой замкнутой кривой в плоскости , и пусть D будет областью , ограниченная С . Если L и M - функции от ( x , y ), определенные на открытой области, содержащей D и имеющей там непрерывные частные производные , то

${\ displaystyle {\ scriptstyle C}}$ ${\ Displaystyle (L \, dx + M \, dy) = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) dx \, dy}$

где путь интегрирования вдоль С является против часовой стрелки .

В физике теорема Грина находит множество приложений. Один из них решает двумерные интегралы потока, утверждая, что сумма жидкости, истекающей из объема, равна полному истечению, суммированному для окружающей области. В плоской геометрии и, в частности, при топографической съемке , теорема Грина может использоваться для определения площади и центроида плоских фигур исключительно путем интегрирования по периметру.

Доказательство, когда D - простая область

Если D представляет собой область простого типа, граница которой состоит из кривых C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , можно продемонстрировать половину теоремы Грина.

Ниже приводится доказательство половины теоремы для упрощенной области D , области типа I, где C ₁ и C ₃ - кривые, соединенные вертикальными линиями (возможно, нулевой длины). Аналогичное доказательство существует для другой половины теоремы, когда D - область типа II, где C ₂ и C ₄ - кривые, соединенные горизонтальными линиями (опять же, возможно, нулевой длины). Объединив эти две части, теорема, таким образом, доказана для областей типа III (определенных как области, которые относятся как к типу I, так и типу II). Общий случай можно вывести из этого частного случая, разложив D на множество областей типа III.

Если можно показать, что если

${\ displaystyle \ oint _ {C} L \, dx = \ iint _ {D} \ left (- {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) dA}$

( 1 )

а также

${\ Displaystyle \ oint _ {C} \ M \, dy = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} \ right) dA}$

( 2 )

истинны, то теорема Грина немедленно следует для области D. Мы легко можем доказать ( 1 ) для областей типа I и ( 2 ) для областей типа II. Из этого следует теорема Грина для областей типа III.

Предположим, что область D является областью типа I и, таким образом, может быть охарактеризована, как показано на рисунке справа, следующим образом:

${\ displaystyle D = \ {(x, y) \ mid a \ leq x \ leq b, g_ {1} (x) \ leq y \ leq g_ {2} (x) \}}$

где g ₁ и g ₂ - непрерывные функции на [ a , b ]. Вычислите двойной интеграл в ( 1 ):

${\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {D} {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \, dA & = \ int _ {a} ^ {b} \, \ int _ {g_ {1} (x)} ^ {g_ {2} (x)} {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} (x, y) \, dy \, dx \\ & = \ int _ { a} ^ {b} \ left [L (x, g_ {2} (x)) - L (x, g_ {1} (x)) \ right] \, dx. \ end {выровнено}}}$

( 3 )

Теперь вычислите линейный интеграл в ( 1 ). C можно переписать как объединение четырех кривых: C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ .

Для C ₁ используйте параметрические уравнения : x = x , y = g ₁ ( x ), a ≤ x ≤ b . потом

${\ displaystyle \ int _ {C_ {1}} L (x, y) \, dx = \ int _ {a} ^ {b} L (x, g_ {1} (x)) \, dx.}$

Для C ₃ используйте параметрические уравнения: x = x , y = g ₂ ( x ), a ≤ x ≤ b . потом

${\ Displaystyle \ int _ {C_ {3}} L (x, y) \, dx = - \ int _ {- C_ {3}} L (x, y) \, dx = - \ int _ {a} ^ {b} L (x, g_ {2} (x)) \, dx.}$

Интеграл по C ₃ отрицается, потому что он идет в отрицательном направлении от b к a , поскольку C ориентирован положительно (против часовой стрелки). На С ₂ и С ₄ , х остается постоянной, значение

${\ Displaystyle \ int _ {C_ {4}} L (x, y) \, dx = \ int _ {C_ {2}} L (x, y) \, dx = 0.}$

Следовательно,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {C} L \, dx & = \ int _ {C_ {1}} L (x, y) \, dx + \ int _ {C_ {2}} L (x , y) \, dx + \ int _ {C_ {3}} L (x, y) \, dx + \ int _ {C_ {4}} L (x, y) \, dx \\ & = \ int _ { a} ^ {b} L (x, g_ {1} (x)) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} L (x, g_ {2} (x)) \, dx. \ конец {выровнено}}}$

( 4 )

Комбинируя ( 3 ) с ( 4 ), мы получаем ( 1 ) для областей типа I. Аналогичная обработка дает ( 2 ) для областей типа II. Сложив их вместе, мы получим результат для регионов III типа.

Доказательство спрямляемой жордановой кривой.

Мы собираемся доказать следующее

Теорема. Позвольте быть спрямляемой, положительно ориентированной жордановой кривой в и обозначать ее внутреннюю область. Предположим, что это непрерывные функции со свойством, которое имеет вторую частную производную в каждой точке , имеет первую частную производную в каждой точке и что функции интегрируемы по Риману по . потом ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A, B: {\ overline {R}} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle D_ {1} B, D_ {2} A: R \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle R}$

$${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} A \, dx + B \, dy = \ int _ {R} \ left (D_ {1} B (x, y) -D_ {2} A (x, y) \ right) \, d (x, y).}$$

Нам потребуются следующие леммы, доказательства которых можно найти в:

Лемма 1 (лемма о разложении). Предположим, что это спрямляемая положительно ориентированная жорданова кривая на плоскости, и пусть это будет ее внутренняя область. Для каждого положительного действительного пусть обозначает набор квадратов в плоскости, ограниченной линиями , где пробегает набор целых чисел. Тогда для этого существует разложение на конечное число неперекрывающихся подобластей таким образом, что ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (\ дельта)}$${\ Displaystyle х = м \ дельта, у = м \ дельта}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle {\ overline {R}}}$

1. Каждая подобласть, содержащаяся , например , в квадрате от .${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R_ {1}, R_ {2}, \ ldots, R_ {k}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (\ дельта)}$
2. Каждая из оставшихся подобластей, скажем , имеет в качестве границы спрямляемую жорданову кривую, образованную конечным числом дуг и частями сторон некоторого квадрата из .${\ Displaystyle R_ {к + 1}, \ ldots, R_ {s}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (\ дельта)}$
3. Каждую из пограничных областей можно заключить в квадрат с длиной ребра .${\ Displaystyle R_ {к + 1}, \ ldots, R_ {s}}$${\ displaystyle 2 \ delta}$
4. Если - положительно ориентированная граничная кривая , то${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$${\ displaystyle R_ {i}}$${\ displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {1} + \ Gamma _ {2} + \ cdots + \ Gamma _ {s}.}$
5. Количество приграничных областей не больше , где - длина .${\ displaystyle sk}$${\ displaystyle 4 \! \ left ({\ frac {\ Lambda} {\ delta}} + 1 \ right)}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Лемма 2. Позвольте быть спрямляемой кривой на плоскости и позвольте быть набором точек на плоскости, расстояние от (диапазон) не больше . Внешнее жордановое содержание этого множества удовлетворяет . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ Delta _ {\ Gamma} (ч)}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ overline {c}} \, \, \ Delta _ {\ Gamma} (h) \ leq 2h \ Lambda + \ pi h ^ {2}}$

Лемма 3. Пусть - спрямляемая кривая в и пусть - непрерывная функция. потом ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle f: {\ text {диапазон}} \ Gamma \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {\ Gamma} f (x, y) \, dy \ right \ vert}$ а также

${\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {\ Gamma} f (x, y) \, dx \ right \ vert}$в котором есть колебание от диапазона .${\ displaystyle \ leq {\ frac {1} {2}} \ Lambda \ Omega _ {f},}$${\ displaystyle \ Omega _ {f}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Теперь мы готовы доказать теорему:

Доказательство теоремы. Позвольте быть произвольным положительным действительным числом. В силу непрерывности , и компактности , учитывая , существует такое , что всякий раз , когда две точки меньше , чем друг от друга, их образы при менее чем друг от друга. Для этого рассмотрим разложение, данное предыдущей леммой. У нас есть ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {R}}}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle 0 <\ дельта <1}$${\ displaystyle {\ overline {R}}}$${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {2}} \, \ delta}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} A \, dx + B \, dy = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \ , dy \ quad + \ sum _ {i = k + 1} ^ {s} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \, dy.}$

Положите . ${\ displaystyle \ varphi: = D_ {1} B-D_ {2} A}$

Для каждого кривая представляет собой положительно ориентированный квадрат, для которого справедлива формула Грина. Следовательно ${\ Displaystyle я \ в \ {1, \ ldots, к \}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {k} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \, dy = \ sum _ {я = 1} ^ {k} \ int _ {R_ {i}} \ varphi = \ int _ {\ bigcup _ {i = 1} ^ {k} R_ {i}} \, \ varphi.}$

Каждая точка приграничной области находится на расстоянии не более чем от . Таким образом, если - объединение всех приграничных регионов, то ; следовательно , по лемме 2. Заметим, что ${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {2}} \, \ delta}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K \ subset \ Delta _ {\ Gamma} (2 {\ sqrt {2}} \, \ delta)}$${\ displaystyle c (K) \ leq {\ overline {c}} \, \ Delta _ {\ Gamma} (2 {\ sqrt {2}} \, \ delta) \ leq 4 {\ sqrt {2}} \ , \ delta +8 \ pi \ delta ^ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {R} \ varphi \, \, - \ int _ {\ bigcup _ {i = 1} ^ {k} R_ {i}} \ varphi = \ int _ {K} \ varphi.}$

Это дает

${\ Displaystyle \ left \ vert \ sum _ {я = 1} ^ {k} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \, dy \ quad - \ int _ {R} \ varphi \ right \ vert \ leq M \ delta (1+ \ pi {\ sqrt {2}} \, \ delta) {\ text {для некоторых}} M> 0.}$

Мы также можем выбрать так, чтобы правая часть последнего неравенства была${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle <\ varepsilon.}$

Замечание в начале этого доказательства подразумевает, что колебания и на каждой граничной области не больше . У нас есть ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle \ left \ vert \ sum _ {i = k + 1} ^ {s} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \, dy \ right \ vert \ leq {\ frac {1} {2}} \ varepsilon \ sum _ {i = k + 1} ^ {s} \ Lambda _ {i}.}$

По лемме 1 (iii)

${\ displaystyle \ sum _ {i = k + 1} ^ {s} \ Lambda _ {i} \ leq \ Lambda + (4 \ delta) \, 4 \! \ left ({\ frac {\ Lambda} {\ delta}} + 1 \ right) \ leq 17 \ Lambda +16.}$

Комбинируя их, мы наконец получаем

${\ Displaystyle \ left \ vert \ int _ {\ Gamma} A \, dx + B \, dy \ quad - \ int _ {R} \ varphi \ right \ vert <C \ varepsilon,}$

для некоторых . Так как это верно для всех , мы закончили. ${\ displaystyle C> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

Действительность при разных гипотезах

Гипотеза последней теоремы - не единственная, при которой формула Грина верна. Еще один распространенный набор условий:

Предполагается, что функции по-прежнему непрерывны. Однако теперь мы требуем, чтобы они были дифференцируемыми по Фреше в каждой точке . Отсюда следует существование всех производных по направлениям, в частности , где, как обычно, - канонический упорядоченный базис . Кроме того, мы требуем, чтобы функция была интегрируемой по Риману . ${\ displaystyle A, B: {\ overline {R}} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle D_ {e_ {i}} A =: D_ {i} A, D_ {e_ {i}} B =: D_ {i} B, \, i = 1,2}$${\ Displaystyle (е_ {1}, е_ {2})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle D_ {1} B-D_ {2} A}$${\ displaystyle R}$

Как следствие этого, мы получаем интегральную теорему Коши для спрямляемых жордановых кривых:

Теорема (Коши). Если - спрямляемая жорданова кривая в и если - непрерывное отображение, голоморфное во всей внутренней области , то ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f: {\ text {закрытие внутренней области}} \ Gamma \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} f = 0,}$

интеграл является комплексным контурным интегралом.

Доказательство. Мы рассматриваем комплексную плоскость как . Теперь определим , что эти функции явно непрерывны. Хорошо известно , что и являются Фреше-дифференцируема и что они удовлетворяют уравнениям Коши-Римана: . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle u, v: {\ overline {R}} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y).}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle D_ {1} v + D_ {2} u = D_ {1} u-D_ {2} v = {\ text {нулевая функция}}}$

Теперь, анализируя суммы, использованные для определения рассматриваемого комплексного контурного интеграла, легко понять, что

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} е = \ int _ {\ Gamma} и \, dx-v \, dy \ quad + i \ int _ {\ Gamma} v \, dx + u \, dy,}$

интегралы на правой стороне являются обычными линейными интегралами. Эти замечания позволяют нам применить теорему Грина к каждому из этих линейных интегралов, завершая доказательство.

Многосвязные регионы

Теорема. Пусть - положительно ориентированные спрямляемые жордановы кривые, удовлетворяющие ${\ Displaystyle \ Gamma _ {0}, \ Gamma _ {1}, \ ldots, \ Gamma _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma _ {i} \ subset R_ {0}, && {\ text {if}} 1 \ leq i \ leq n \\\ Gamma _ {i} \ subset \ mathbb { R} ^ {2} \ setminus {\ overline {R}} _ {j}, && {\ text {if}} 1 \ leq i, j \ leq n {\ text {and}} i \ neq j, \ конец {выровнен}}}$

где - внутренняя область . Позволять ${\ displaystyle R_ {i}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$

${\ displaystyle D = R_ {0} \ setminus ({\ overline {R}} _ {1} \ cup {\ overline {R}} _ {2} \ cup \ cdots \ cup {\ overline {R}} _ {n}).}$

Предположим, что и - непрерывные функции, ограничение которых на дифференцируемо по Фреше. Если функция ${\ displaystyle p: {\ overline {D}} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle q: {\ overline {D}} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle (x, y) \ longmapsto {\ frac {\ partial q} {\ partial e_ {1}}} (x, y) - {\ frac {\ partial p} {\ partial e_ {2}}} (х, у)}$

интегрируема по Риману , то ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ int _ {\ Gamma _ {0}} p (x, y) \, dx + q (x, y) \, dy- \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ int _ {\ Gamma _ {i}} p (x, y) \, dx + q (x, y) \, dy \\ [5pt] = {} & \ int _ {D} \ left \ {{\ frac {\ partial q} {\ partial e_ {1}}} (x, y) - {\ frac {\ partial p} {\ partial e_ {2}}} (x, y) \ right \ } \, d (x, y). \ end {выровнено}}}$

Связь с теоремой Стокса

Теорема Грина является частным случаем теоремы Кельвина – Стокса , когда она применяется к области на плоскости. ${\ displaystyle xy}$

Мы можем дополнить двумерное поле до трехмерного с компонентом z, который всегда равен 0. Напишите F для векторной функции . Начнем с левой части теоремы Грина: ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = (L, M, 0)}$

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (L \, dx + M \, dy) = \ oint _ {C} (L, M, 0) \ cdot (dx, dy, dz) = \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r}.}$

Теорема Кельвина – Стокса:

${\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r} = \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ , dS.}$

Поверхность - это просто область на плоскости , с единичной нормалью, определенной (по соглашению), чтобы иметь положительный компонент z, чтобы соответствовать определениям "положительной ориентации" для обеих теорем. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$

Выражение внутри интеграла принимает вид

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} = \ left [\ left ({\ frac {\ partial 0} {\ partial y}} - {\ frac {\ частичный M} {\ partial z}} \ right) \ mathbf {i} + \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial 0} {\ partial x}} \ right) \ mathbf {j} + \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) \ mathbf {k} \ right] \ cdot \ mathbf {k} = \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right).}$

Таким образом, мы получаем правую часть теоремы Грина

${\ displaystyle \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \, dS = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) \, dA.}$

Теорема Грина также является прямым результатом общей теоремы Стокса с использованием дифференциальных форм и внешних производных :

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ oint _ {C} L \, dx + M \, dy = \ oint _ {\ partial D} \ omega = \ int _ {D} \, d \ omega \\ [5pt] = {} & \ int _ {D} {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \, dy \ wedge \, dx + {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} \ , dx \ wedge \, dy = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) \ , dx \, dy. \ end {align}}}$

Связь с теоремой о расходимости

Рассматривая только двумерные векторные поля, теорема Грина эквивалентна двумерной версии теоремы о расходимости :

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \ right) \, dV =}$ ${\ displaystyle \ partial \ scriptstyle V}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}) \, dS.}$

где - расходимость на двумерном векторном поле , а - направленный наружу единичный вектор нормали на границе. ${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {F}}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим единичную нормаль в правой части уравнения. Поскольку в теореме Грина это вектор, касательный вдоль кривой, а кривая C - это положительно ориентированная (т. Е. Против часовой стрелки) кривая вдоль границы, внешняя нормаль будет вектором, который указывает на 90 ° вправо от нее; один выбор был бы . Длина этого вектора равна So${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$${\ displaystyle d \ mathbf {r} = (dx, dy)}$${\ displaystyle (dy, -dx)}$${\ textstyle {\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}} = ds.}$${\ displaystyle (dy, -dx) = \ mathbf {\ hat {n}} \, ds.}$

Начнем с левой части теоремы Грина:

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (L \, dx + M \, dy) = \ oint _ {C} (M, -L) \ cdot (dy, -dx) = \ oint _ {C} (M , -L) \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \, ds.}$

Применяя теорему о двумерной расходимости при , получаем правую часть теоремы Грина: ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = (M, -L)}$

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (M, -L) \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \, ds = \ iint _ {D} \ left (\ nabla \ cdot (M, -L) \ right) \, dA = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) \, dA .}$

Расчет площади

Теорема Грина может быть использована для вычисления площади с помощью линейного интеграла. Площадь плоской области определяется выражением ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle A = \ iint _ {D} dA.}$

Выберите и так , чтобы площадь была равна ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} = 1}$

${\ Displaystyle A = \ oint _ {C} (L \, dx + M \, dy).}$

Возможные формулы для площади включения ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle A = \ oint _ {C} x \, dy = - \ oint _ {C} y \, dx = {\ tfrac {1} {2}} \ oint _ {C} (- y \, dx + x \, dy).}$

История

Он назван в честь Джорджа Грина , который сформулировал аналогичный результат в статье 1828 года под названием «Эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» . В 1846 году Огюстен-Луи Коши опубликовал статью, в которой теорема Грина была указана в качестве предпоследнего предложения. Фактически, это первая печатная версия теоремы Грина в том виде, в каком она встречается в современных учебниках. Бернхард Риман дал первое доказательство теоремы Грина в своей докторской диссертации по теории функций комплексного переменного.

Смотрите также

• Планиметр  - Инструмент для измерения площади.
• Метод зарядов изображения - метод, используемый в электростатике, который использует преимущество теоремы единственности (полученной из теоремы Грина)
• Формула Шнурка - частный случай теоремы Грина для простых многоугольников

использованная литература

дальнейшее чтение

• Marsden, Jerrold E .; Тромба, Энтони Дж. (2003). «Интегральные теоремы векторного анализа» . Векторное исчисление (Пятое изд.). Нью-Йорк: Фриман. С. 518–608. ISBN 0-7167-4992-0.

внешние ссылки

• Теорема Грина о MathWorld