Линейный интеграл - Line integral

В математике , А линейный интеграл является интегралом , где функция будет интегрирована оценивается вдоль кривой . Термины пути интегральные , кривая интегральные и криволинейный интеграл также используются; Также используется контурный интеграл , хотя он обычно используется для линейных интегралов в комплексной плоскости .

Интегрируемая функция может быть скалярным полем или векторным полем . Значение линейного интеграла представляет собой сумму значений поля во всех точках кривой, взвешенных некоторой скалярной функцией на кривой (обычно длиной дуги или, для векторного поля, скалярным произведением векторного поля с дифференциалом вектор на кривой). Это взвешивание отличает линейный интеграл от более простых интегралов, определенных на интервалах . Многие простые формулы в физике, такие как определение работы как , имеют естественные непрерывные аналоги в терминах линейных интегралов, в данном случае , которые вычисляют работу, совершаемую над объектом, движущимся через электрическое или гравитационное поле F вдоль пути .

Векторное исчисление

С качественной точки зрения линейный интеграл в векторном исчислении можно рассматривать как меру общего воздействия данного тензорного поля на заданную кривую. Например, линейный интеграл по скалярному полю (тензор ранга 0) можно интерпретировать как площадь под полем, вырезанную определенной кривой. Это можно визуализировать как поверхность, созданную z = f ( x , y ) и кривой C в плоскости xy . Интеграл по линии f будет площадью созданной «завесы» - когда точки поверхности, которые находятся непосредственно над C , вырезаны.

Линейный интеграл скалярного поля

Интеграл по скалярному полю f можно представить как площадь под кривой C вдоль поверхности z = f ( x , y ), описываемой полем.

Определение

Для некоторого скалярного поля, где линейный интеграл вдоль кусочно гладкой кривой определяется как

где - произвольная биективная параметризация кривой такая, что r ( a ) и r ( b ) задают концы кривой и a < b . Здесь и в остальной части статьи столбцы абсолютных значений обозначают стандартную (евклидову) норму вектора.

Функция f называется подынтегральной функцией, кривая - областью интегрирования, а символ ds можно интуитивно интерпретировать как длину элементарной дуги . Линейные интегралы скалярных полей по кривой не зависят от выбранной параметризации r of .

Геометрически, когда скалярное поле f определено на плоскости ( n = 2) , его график представляет собой поверхность z = f ( x , y ) в пространстве, а линейный интеграл дает (знаковую) площадь поперечного сечения, ограниченную кривая и график f . Смотрите анимацию справа.

Вывод

Для интеграла линии над скалярным полем, интеграл может быть построен из суммы Римана с использованием вышеуказанных определений F , C и параметризацией г о С . Это можно сделать, разбив интервал [ a , b ] на n подинтервалов [ t i −1 , t i ] длины Δ t = ( b - a ) / n , тогда r ( t i ) обозначает некоторую точку, называем это образец точки, на кривой с . Мы можем использовать множество точек выборки { г ( т I ): 1 ≤ яп } для аппроксимации кривой С помощью ломаной , вводя прямую часть между каждой из точек выборки г ( т I -1 ) и г ( т я ) . Затем мы обозначаем расстояние между каждой из точек выборки на кривой как Δ s i . Произведение f ( r ( t i )) и Δ s i может быть связано с подписанной областью прямоугольника с высотой и шириной f ( r ( t i )) и Δ s i , соответственно. Принимая лимит в сумме слагаемых , как длина перегородок приближается к нулю , дает нам

По теореме о среднем значении расстояние между последующими точками на кривой равно

Подставляя это в приведенную выше сумму Римана, получаем

которая является суммой Римана для интеграла

Линейный интеграл векторного поля

Определение

Для векторного поля F : UR nR n линейный интеграл вдоль кусочно гладкой кривой CU в направлении r определяется как

где · представляет собой скалярное произведение , а г : [ , Ь ] → C является биективен параметризация кривой C таким образом, что г ( ) и г ( б ) дают конечные точки С .

Линия интеграл от скалярного поля, таким образом, криволинейный интеграл от векторного поля, где векторы всегда находятся по касательным к линии.

Линейные интегралы векторных полей не зависят от параметризации r по модулю , но зависят от ее ориентации . В частности, изменение ориентации параметризации меняет знак линейного интеграла.

С точки зрения дифференциальной геометрии линейный интеграл векторного поля вдоль кривой является интегралом соответствующей 1-формы при музыкальном изоморфизме (который переводит векторное поле в соответствующее ковекторное поле) по кривой, рассматриваемой как погруженный 1-коллектор.

Вывод

Траектория частицы (выделена красным) по кривой внутри векторного поля. Начиная от , частица прослеживает путь C вдоль векторного поля F . Скалярное произведение (зеленая линия) его касательного вектора (красная стрелка) и вектора поля (синяя стрелка) определяет площадь под кривой, которая эквивалентна линейному интегралу пути. (Щелкните изображение, чтобы просмотреть подробное описание.)

Линейный интеграл векторного поля может быть получен способом, очень похожим на случай скалярного поля, но на этот раз с включением скалярного произведения. Снова используя приведенные выше определения F , C и его параметризацию r ( t ) , мы строим интеграл из суммы Римана . Разобьем интервал [ a , b ] (который является диапазоном значений параметра t ) на n интервалов длиной t = ( b - a ) / n . Пусть t i будет i- й точкой на [ a , b ] , тогда r ( t i ) дает нам положение i- й точки на кривой. Однако вместо вычисления расстояний между последующими точками нам нужно вычислить их векторы смещения , Δ r i . Как и прежде, оценки F во всех точках на кривой и принимая скалярное произведение с каждым вектором смещения дает нам бесконечно малый вклад каждого раздела F на C . Если уменьшить размер разделов до нуля, мы получим сумму

По теореме о среднем значении мы видим, что вектор смещения между соседними точками на кривой равен

Подставляя это в приведенную выше сумму Римана, получаем

которая является суммой Римана для определенного выше интеграла.

Независимость от пути

Если векторное поле F является градиентом из скалярного поля G (то есть , если Р является консервативным ), то есть,

затем с помощью многофакторной цепи исключает производную от композиции из G и г ( т ) является

которое оказывается подынтегральным выражением для линейного интеграла от F на r ( t ). Отсюда для пути C следует , что

Другими словами, интеграл от F по C зависит исключительно от значений G в точках r ( b ) и r ( a ) и, таким образом, не зависит от пути между ними. По этой причине линейный интеграл консервативного векторного поля называется независимым от пути .

Приложения

Линейный интеграл имеет множество применений в физике. Например, работа выполняется на бегущей частицу на кривой С внутри силового поля представлена как векторное поле F является линия интегралом F на C .

Поток по кривой

Для векторного поля , Р ( х , у ) = ( Р ( х , у ), Q ( х , у )) , то линейный интеграл по кривой СU , также называемый интегральный поток , определяется в терминах кусочно-гладкая параметризация r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) , как:

Здесь • - скалярное произведение, перпендикулярный вектору скорости по часовой стрелке .

Поток вычисляется в ориентированном смысле: кривая C имеет заданное прямое направление от r ( a ) до r ( b ) , и поток считается положительным, когда F ( r ( t )) находится на стороне по часовой стрелке. вектор прямой скорости r ' ( t ) .

Комплексный линейный интеграл

В комплексном анализе линейный интеграл определяется как умножение и сложение комплексных чисел. Предположим , что U представляет собой открытое подмножество в комплексной плоскости C , F  : UC является функцией, и является кривой конечной длины, параметризованных гамма : [ а , Ь ] → L , где γ ( т ) = х ( т ) + iy ( t ) . Интеграл по прямой

можно определить, разделив интервал [ a , b ] на a = t 0 < t 1 <... < t n = b и учитывая выражение

Тогда интеграл является пределом этой суммы Римана, когда длины интервалов деления приближаются к нулю.

Если параметризация γ является непрерывно дифференцируемой , линейный интеграл можно вычислить как интеграл от функции действительной переменной:

Когда L - замкнутая кривая (начальная и конечная точки совпадают), линейный интеграл часто называют циклическим интегралом .

Интеграл по прямой относительно сопряженного комплексного дифференциала определяется как

Линейные интегралы сложных функций можно вычислить с помощью ряда методов. Самый простой - разделить на действительную и мнимую части, сведя задачу к вычислению двух линейных интегралов с действительными значениями. Интегральная теорема Коши может быть использована , чтобы приравнять интеграл строки в аналитической функции к тому же интеграл по кривой более удобной. Это также означает, что над замкнутой кривой, охватывающей область, где f ( z ) является аналитической без особенностей , значение интеграла просто равно нулю, или в случае, если область включает особенности, теорема о вычетах вычисляет интеграл в терминах сингулярностей.

Пример

Рассмотрим функцию f ( z ) = 1 / z , и пусть контур L будет единичной окружностью против часовой стрелки около 0, параметризованной z ( t ) = e it с t в [0, 2π] с использованием комплексной экспоненты . Подставляя, находим:

Это типичный результат интегральной формулы Коши и теоремы о вычетах .

Связь комплексного линейного интеграла и линейного интеграла векторного поля

Если рассматривать комплексные числа как двумерные векторы , линейный интеграл комплекснозначной функции имеет действительные и комплексные части, равные линейному интегралу и интегралу потока векторного поля, соответствующего сопряженной функции В частности, если параметризует L и соответствует векторное поле тогда:

По теореме Коши , левая рука интеграл равен нулю , когда аналитическая (удовлетворяющих уравнениям Коши-Римана ) для любой гладкой замкнутой кривой L. Соответственно, по теореме Грина , правые интегралы равны нулю , когда это безвихревым ( завиток -бесплатно) и несжимаемый (без расхождений ). В самом деле, уравнения Коши-Римана для тождественны в нуль ротору и дивергенции для F .

По теореме Грина площадь области, заключенной в гладкую замкнутую положительно ориентированную кривую , задается интегралом. Этот факт используется, например, в доказательстве теоремы о площади .

Квантовая механика

Путь в формулировке интеграла по квантовой механике на самом деле относится не к пути интегралам в этом смысле , но до функциональных интегралов , то есть интегралы по пространству путей, функций от возможного пути. Однако интегралы по путям в смысле этой статьи важны в квантовой механике; например, сложное контурное интегрирование часто используется при оценке амплитуд вероятности в квантовой теории рассеяния .

Смотрите также

Рекомендации

Внешние ссылки