Тест Авеля - Abel's test

В математике , тест Абеля (также известный как критерий Абеля ) является методом тестирования для сходимости в качестве бесконечного ряда . Тест назван в честь математика Нильса Хенрика Абеля . Есть две немного разные версии теста Абеля: одна используется для серий действительных чисел, а другая - для степенных рядов в комплексном анализе . Равномерная сходимость тест Абеля является критерием равномерной сходимости в виде ряда из функций в зависимости от параметров .

Тест Абеля в реальном анализе

Предположим, что верны следующие утверждения:

1. ${\ Displaystyle \ сумма а_ {п}}$ сходящийся ряд,
2. { b _n } - монотонная последовательность, и
3. { b _n } ограничен.

Тогда тоже сходится. ${\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}}$

Важно понимать, что этот тест в основном уместен и полезен в контексте не совсем сходящихся рядов . Для абсолютно сходящихся рядов эта теорема, хотя и верна, почти самоочевидна. ${\ Displaystyle \ сумма а_ {п}}$

Эту теорему можно доказать напрямую, используя суммирование по частям .

Тест Абеля в комплексном анализе

Тесно связанный тест сходимости, также известный как тест Абеля , часто может использоваться для установления сходимости степенного ряда на границе его круга сходимости . В частности, тест Абеля утверждает, что если последовательность положительных действительных чисел монотонно убывает (или, по крайней мере, для всех n, больших, чем некоторое натуральное число m , мы имеем ) с ${\ Displaystyle (а_ {п})}$${\ Displaystyle а_ {п} \ geq а_ {п + 1}}$

${\ displaystyle \ lim _ {п \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}$

затем степенной ряд

${\ Displaystyle е (г) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} а_ {п} г ^ {п}}$

сходится всюду на замкнутой единичной окружности , за исключением случая , когда z = 1. Тест Абеля не может применяться при z = 1, поэтому сходимость в этой единственной точке необходимо исследовать отдельно. Обратите внимание , что тест Абеля предполагает , в частности , что радиус сходимости по крайней мере 1. Он также может быть применен к степенной ряд с радиусом сходимости R ≠ 1 , путем простой замены переменных ζ = г / R . Обратите внимание, что тест Абеля является обобщением критерия Лейбница , взяв z = −1.

Доказательство теста Абеля: предположим, что z - точка на единичной окружности, z 1. Для каждого мы определяем ${\ Displaystyle п \ geq 1}$

${\ displaystyle f_ {n} (z): = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} z ^ {k}.}$

Умножая эту функцию на (1 - z ), получаем

${\ Displaystyle {\ begin {align} (1-z) f_ {n} (z) & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (1-z) z ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} z ^ {k} - \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} z ^ {k + 1} = a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} z ^ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {n + 1} a_ {k-1} z ^ {k} \\ & = a_ {0} -a_ {n} z ^ {n + 1} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k-1}) z ^ {k}. \ конец {выровнено}}}$

Первое слагаемое постоянно, второе равномерно сходится к нулю (так как по предположению последовательность сходится к нулю). Осталось только показать, что ряд сходится. Мы покажем это, показав, что она даже абсолютно сходится: где последняя сумма - это сходящаяся телескопическая сумма. Абсолютное значение исчезло, потому что последовательность убывает по предположению. ${\ Displaystyle (а_ {п})}$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left | (a_ {k} -a_ {k-1}) z ^ {k} \ right | = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | a_ {k} -a_ {k-1} | \ cdot | z | ^ {k} \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (a_ {k-1} -a_ {k})}$${\ Displaystyle (а_ {п})}$

Следовательно, последовательность сходится (даже равномерно) на замкнутом единичном круге. Если , мы можем разделить на (1 - z ) и получить результат. ${\ Displaystyle (1-я) е_ {п} (г)}$${\ Displaystyle г \ not = 1}$

Тест равномерной сходимости Абеля

Тест равномерной сходимости Абеля - это критерий равномерной сходимости ряда функций или неправильного интегрирования функций, зависящих от параметров . Это связано с тестом Абеля на сходимость обычного ряда действительных чисел, и доказательство опирается на ту же технику суммирования по частям .

Тест выглядит следующим образом. Пусть { g _n } - равномерно ограниченная последовательность вещественнозначных непрерывных функций на множестве E такая, что g _{n +1} ( x ) ≤  g _n ( x ) для всех x  ∈  E и натуральных чисел n , и пусть { f _n } последовательность вещественных функций , таких , что ряд Σ е _п ( х ) сходится равномерно на Е . Тогда Σ е _п ( х ) г _п ( х ) сходится равномерно на Е .

Ноты

Рекомендации

• Джино Моретти, Функции комплексной переменной , Prentice-Hall, Inc., 1964
• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Addison-Wesley , ISBN   978-0-201-00288-1
• Вайсштейн, Эрик В. "Тест равномерной сходимости Абеля" . MathWorld .

внешние ссылки

• Доказательство (для реальных серий) на PlanetMath.org