Чередующиеся серии - Alternating series

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередующиеся серии Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

В математике , знакопеременный ряд является AN бесконечной серии вида

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$ или ${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {п + 1} а_ {п}}$

с в _п > 0 для всех  п . Знаки общих терминов чередуются между положительными и отрицательными. Как и любой серия, знакопеременной ряд сходится тогда и только тогда , когда ассоциированная последовательность частичных сумм сходятся .

Примеры

Геометрический ряд 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ суммируется до 1/3.

Переменный гармонический ряд имеет конечную сумму , но гармонический ряд не делает.

Серии Меркатора обеспечивает аналитическое выражение натурального логарифма :

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n} \; = \; \ ln (1+ Икс).}$

Функции синуса и косинуса, используемые в тригонометрии, могут быть определены как чередующиеся ряды в исчислении, даже если они вводятся в элементарной алгебре как отношение сторон прямоугольного треугольника. По факту,

${\ displaystyle \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$, а также

${\ displaystyle \ cos x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}.$

Когда переменный множитель (–1) ⁿ удаляется из этих рядов, можно получить гиперболические функции sinh и ch, используемые в исчислении.

Для целого или положительного индекса α функция Бесселя первого рода может быть определена знакопеременным рядом

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m}} {m! \, \ Gamma (m + \ alpha + 1)}} {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)} ^ {2m + \ alpha}}$   где Γ ( z ) - гамма-функция .

Если s - комплексное число , эта функция Дирихле формируется как чередующийся ряд

${\ displaystyle \ eta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n-1} \ over n ^ {s}} = {\ frac {1} {1 ^ {s}}} - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} - {\ frac {1} {4 ^ {s}} } + \ cdots}$

что используется в аналитической теории чисел .

Испытание чередующейся серии

Теорема, известная как «тест Лейбница» или тест чередующихся серий, говорит нам, что чередующиеся серии сходятся, если члены a _n монотонно сходятся к 0 .

Доказательство. Предположим, что последовательность сходится к нулю и монотонно убывает. Если нечетно и , мы получаем оценку с помощью следующего вычисления: ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle м <п}$${\ Displaystyle S_ {n} -S_ {m} \ leq a_ {m}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} S_ {n} -S_ {m} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} \, a_ {k} \, - \ , \ sum _ {k = 0} ^ {m} \, (- 1) ^ {k} \, a_ {k} \ = \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} \, (- 1 ) ^ {k} \, a_ {k} \\ & = a_ {m + 1} -a_ {m + 2} + a_ {m + 3} -a_ {m + 4} + \ cdots + a_ {n} \\ & = \ displaystyle a_ {m + 1} - (a_ {m + 2} -a_ {m + 3}) - (a_ {m + 4} -a_ {m + 5}) - \ cdots -a_ { n} \ leq a_ {m + 1} \ leq a_ {m}. \ end {выравнивается}}}$

Поскольку монотонно убывает, члены отрицательные. Таким образом, мы имеем окончательное неравенство: . Точно так же можно показать, что . Поскольку сходится к , наши частичные суммы образуют последовательность Коши (т. Е. Ряд удовлетворяет критерию Коши ) и, следовательно, сходятся. Аргумент в пользу даже аналогичен. ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle - (а_ {м} -а_ {м + 1})}$${\ Displaystyle S_ {n} -S_ {m} \ leq a_ {m}}$${\ displaystyle -a_ {m} \ leq S_ {n} -S_ {m}}$${\ displaystyle a_ {m}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle S_ {m}}$${\ displaystyle m}$

Примерные суммы

Приведенная выше оценка не зависит от . Итак, если приближается к 0 монотонно, оценка дает оценку погрешности для приближения бесконечных сумм частичными суммами: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} \, a_ {k} \, - \, \ sum _ {k = 0} ^ {m} \, (- 1) ^ {k} \, a_ {k} \ right | \ leq | a_ {m + 1} |.}$

Абсолютная конвергенция

Ряд сходится абсолютно, если он сходится. ${\ Displaystyle \ сумма а_ {п}}$ ${\ displaystyle \ sum | a_ {n} |}$

Теорема: абсолютно сходящиеся ряды сходятся.

Доказательство: предположим, что он абсолютно сходится. Тогда сходится и, следовательно, сходится. Поскольку ряд сходится при проверке сравнения . Следовательно, ряд сходится как разность двух сходящихся рядов . ${\ Displaystyle \ сумма а_ {п}}$${\ displaystyle \ sum | a_ {n} |}$${\ Displaystyle \ сумма 2 | а_ {п} |}$${\ displaystyle 0 \ leq a_ {n} + | a_ {n} | \ leq 2 | a_ {n} |}$${\ Displaystyle \ сумма (а_ {п} + | а_ {п} |)}$${\ Displaystyle \ сумма а_ {п}}$${\ displaystyle \ sum a_ {n} = \ sum (a_ {n} + | a_ {n} |) - \ sum | a_ {n} |}$

Условная сходимость

Ряд условно сходится, если сходится, но не сходится абсолютно.

Например, гармонический ряд

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}}, \!}$

расходится, а альтернативная версия

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}}, \!}$

сходится по критерию знакопеременной серии .

Перестановки

Для любого ряда мы можем создать новый ряд, изменив порядок суммирования. Ряд безусловно сходится, если любая перестановка создает ряд с той же сходимостью, что и исходный ряд. Абсолютно сходящиеся ряды сходятся безусловно . Но теорема о рядах Римана утверждает, что условно сходящиеся ряды можно переставить, чтобы создать произвольную сходимость. Общий принцип состоит в том, что сложение бесконечных сумм коммутативно только для абсолютно сходящихся рядов.

Например, одно ложное доказательство того, что 1 = 0, использует несостоятельность ассоциативности для бесконечных сумм.

Другой пример - серия Mercator.

${\ displaystyle \ ln (2) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + \ cdots.}$

Но, поскольку ряды не сходятся абсолютно, мы можем переставить члены, чтобы получить ряд для : ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln (2)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & {} \ quad \ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ right) - {\ frac {1} {4}} + \ left ({\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {6}} \ right) - {\ frac {1} {8}} + \ left ({\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {10}} \ right) - {\ frac {1} {12}} + \ cdots \\ [8pt] & = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4 }} + {\ frac {1} {6}} - {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {10}} - {\ frac {1} {12}} + \ cdots \ \ [8pt] & = {\ frac {1} {2}} \ left (1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} { 4}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {6}} + \ cdots \ right) = {\ frac {1} {2}} \ ln (2). \ End {выровнено}}}$

Серийное ускорение

На практике численное суммирование переменного ряда может быть ускорено с использованием любого из множества методов последовательного ускорения . Один из старейших методов - это суммирование Эйлера , и существует множество современных методов, которые могут предложить еще более быструю сходимость.

Смотрите также

• Серия Гранди
• Интеграл Норлунда – Райса

Примечания

использованная литература

• Эрл Д. Рейнвилл (1967) Бесконечная серия , стр. 73–6, Macmillan Publishers .
• Вайсштейн, Эрик В. «Чередующиеся серии» . MathWorld .