Унитарное представительство - Unitary representation

В математике , А унитарное представление из группы G является линейным представлением π из G на комплексном гильбертовом пространстве V такое , что π ( г ) представляет собой унитарный оператор для каждого г ∈ G . Общая теория хорошо развита в случае, если G - локально компактная ( хаусдорфова ) топологическая группа и представления сильно непрерывны .

Теория широко применялась в квантовой механике с 1920-х годов, особенно под влиянием книги Германа Вейля 1928 года Gruppentheorie und Quantenmechanik . Одним из пионеров построения общей теории унитарных представлений для любой группы G, а не только для конкретных групп, полезных в приложениях, был Джордж Макки .

Контекст в гармоническом анализе

Теория унитарных представлений топологических групп тесно связана с гармоническим анализом . В случае абелевой группы G достаточно полную картину теории представлений группы G дает двойственность Понтрягина . Вообще говоря, классы унитарной эквивалентности (см. Ниже ) неприводимых унитарных представлений группы G составляют ее унитарно двойственные . Этот набор может быть идентифицирован с помощью спектра C * -алгебры , ассоциированной с G с помощью группы C * -алгебра строительства. Это топологическое пространство .

Общий вид Планшереля теорема пытается описать регулярное представление G на L ² ( G ) с помощью меры по унитарному двойному. Для G абелева это дается теория двойственности Понтрягина. Для компактных G это делается по теореме Питера – Вейля ; в этом случае унитарное двойственное пространство является дискретным пространством , и мера присоединяет атом к каждой точке массы, равной ее степени.

Формальные определения

Пусть G - топологическая группа. Сильно непрерывное унитарное представление из G в гильбертовом пространстве Н представляет собой группу гомоморфизм из G в унитарные группы Н ,

${\ displaystyle \ pi: G \ rightarrow \ operatorname {U} (H)}$

таким образом, что г → π ( г ) ξ является норма непрерывной функцией для каждого £ Е Н .

Заметим, что если G группа Ли , гильбертово пространство также допускает лежащие в основе гладкие и аналитические структуры. Вектор ξ в H называется гладким или аналитическим, если отображение g → π ( g ) ξ гладкое или аналитическое (по норме или в слабых топологиях на H ). Гладкие векторы плотны в H согласно классическому аргументу Ларса Гординга , поскольку свертка с помощью гладких функций с компактным носителем дает гладкие векторы. Аналитические векторы плотны согласно классическому аргументу Эдварда Нельсона , усиленному Роу Гудманом, поскольку векторы в образе оператора теплопроводности e ^–tD , соответствующего эллиптическому дифференциальному оператору D в универсальной обертывающей алгебре группы G , являются аналитическими. Не только гладкие или аналитические векторы образуют плотные подпространства; они также образуют общие ядра для неограниченных кососопряженных операторов, соответствующих элементам алгебры Ли в смысле спектральной теории .

Два унитарных представления π ₁ : G → U ( H ₁ ), π ₂ : G → U ( H ₂ ) называются унитарно эквивалентными, если существует унитарное преобразование A : H ₁ → H ₂ такое, что π ₁ ( g ) = ^* ∘ л ₂ ( г ) ∘ для всех г в G . Когда это верно, A называется сплетающим оператором для представлений (π ₁ , H ₁ ), (π ₂ , H ₂ ).

Если - представление связной группы Ли на конечномерном гильбертовом пространстве , то унитарно тогда и только тогда, когда ассоциированное представление алгебры Ли отображается в пространство кососамосопряженных операторов на . ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle d \ pi: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow \ mathrm {End} (H)}$${\ displaystyle H}$

Полная сводимость

Унитарное представление вполне приводимое , в том смысле , что для любого замкнутого инвариантного подпространства , то ортогональное дополнение снова замкнутое инвариантное подпространство. Это на уровне наблюдения, но это фундаментальное свойство. Например, это означает, что конечномерные унитарные представления всегда являются прямой суммой неприводимых представлений в алгебраическом смысле.

Поскольку с унитарными представлениями работать намного проще, чем с общим случаем, естественно рассматривать унитаризуемые представления , которые становятся унитарными при введении подходящей комплексной структуры гильбертова пространства. Это очень хорошо работает для конечных групп , и в более общем смысле для компактных групп , с помощью аргумента усреднения, применяемого к произвольной эрмитовой структуре. Например, естественное доказательство теоремы Машке проводится этим путем.

Унитаризуемость и унитарный двойственный вопрос

В общем, для некомпактных групп более серьезный вопрос - какие представления унитаризуемы. Одной из важных нерешенных проблем математики является описание унитарного дуального , эффективная классификация неприводимых унитарных представлений всех вещественных редуктивных групп Ли . Все неприводимые унитарные представления допустимы (или, скорее, их модули Хариш-Чандры ), а допустимые представления задаются классификацией Ленглендса , и легко сказать, какие из них имеют нетривиальную инвариантную полуторалинейную форму . Проблема в том, что вообще трудно сказать, когда квадратичная форма положительно определена . Для многих редуктивных групп Ли это было решено; см. примеры в теории представлений группы SL2 (R) и теории представлений группы Лоренца .

Заметки

Рекомендации

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики, т. 2: Анализ Фурье, Самосопряженность , Academic Press, ISBN 0-12-585002-6
• Уорнер, Гарт (1972), Гармонический анализ на полупростых группах Ли I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-05468-5

Смотрите также

• Индуцированные представления
• Изотипическое представление
• Теория представлений SL2 (R)
• Представления группы Лоренца.
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Унитарное представление звездной супералгебры Ли
• Зональная сферическая функция