Определенная квадратичная форма - Definite quadratic form

В математике , определенная квадратичная форма является квадратичной формой над некоторым реальными векторным пространством V , который имеет тот же знак (всегда положительный или отрицательный всегда) для любого ненулевого вектора V . По этому признаку квадратичная форма называется положительно-определенной или отрицательно-определенной .

Полуопределенная (или полуопределенная) квадратичная форма определяются во многом таким же образом, за исключением того, что «всегда положительно» и «всегда отрицательны» заменяются на «всегда неотрицательны» и «всегда неположительны», соответственно. Другими словами, он может принимать нулевые значения.

Неопределенная квадратичная форма имеет как положительные , так и отрицательные значения и называется изотропной квадратичной формой .

В более общем плане эти определения применимы к любому векторному пространству над упорядоченным полем .

Ассоциированная симметричная билинейная форма

Квадратичные формы взаимно однозначно соответствуют симметричным билинейным формам над тем же пространством. Симметричная билинейная форма также описывается как определенная , полуопределенная и т. Д. Согласно связанной с ней квадратичной форме. Квадратичная форма Q и соответствующая ей симметричная билинейная форма B связаны следующими уравнениями:

${\ Displaystyle {\ begin {align} Q (x) & = B (x, x) \\ B (x, y) & = B (y, x) = {\ frac {1} {2}} (Q (x + y) -Q (x) -Q (y)) \ конец {выровнено}}}$

Последняя формула возникает в результате расширения . ${\ Displaystyle Q (x + y) = B (x + y, x + y)}$

Примеры

В качестве примера рассмотрим квадратичную форму ${\ Displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2}}$

где x = ( x ₁ , x ₂ ), а c ₁ и c ₂ - константы. Если c ₁ > 0 и c ₂ > 0 , квадратичная форма Q положительно определена, поэтому Q вычисляется как положительное число всякий раз, когда одна из констант положительна, а другая равна 0, то Q положительно полуопределено и всегда дает либо 0, либо положительное число. Если c ₁ > 0 и c ₂ <0 , или наоборот, то Q не определено и иногда дает положительное число, а иногда отрицательное. Если c ₁ <0 и c ₂ <0 , квадратичная форма является отрицательно определенной и всегда оценивается как отрицательное число всякий раз, когда And, если одна из констант отрицательна, а другая равна 0, то Q является отрицательным полуопределенным и всегда оценивается как 0 или отрицательное число. ${\ displaystyle \ in V}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0).}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0).}$

В общем, квадратичная форма от двух переменных также будет включать член перекрестного произведения в x ₁ x ₂ :

${\ displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2} + 2c_ {3} x_ {1} x_ {2} .}$

Эта квадратичная форма является положительно определенной, если и отрицательно определенной, если и, и неопределенной, если она является положительной или отрицательной полуопределенной, если знак полуопределенности совпадает со знаком${\ displaystyle c_ {1}> 0}$${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}> 0,}$${\ displaystyle c_ {1} <0}$${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}> 0,}$${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} <0.}$${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0,}$${\ displaystyle c_ {1}.}$

Эта двумерная квадратичная форма появляется в контексте конических сечений с центром в начале координат. Если общая квадратичная форма, приведенная выше, приравнивается к 0, результирующее уравнение будет уравнением эллипса, если квадратичная форма положительно или отрицательно определена, гиперболы, если она неопределенная, и параболы, если${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0.}$

Квадрат евклидовой нормы в n -мерном пространстве, наиболее часто используемая мера расстояния, равен

${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}.}$

В двух измерениях это означает, что расстояние между двумя точками - это квадратный корень из суммы квадратов расстояний по оси и оси. ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Матричная форма

Квадратичная форма может быть записана в терминах матриц как

${\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Ax}$

где x - любой декартов вектор размером n × 1, в котором не все элементы равны 0, верхний индекс ^T обозначает транспонирование , а A - симметричная матрица размера n × n . Если является диагональным это эквивалентно формой без матрицы , содержащей исключительно членов с квадратами переменных; но если у A есть ненулевые недиагональные элементы, нематричная форма также будет содержать некоторые термины, включающие произведения двух разных переменных. ${\ displaystyle (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) ^ {\ text {T}}}$

Положительная или отрицательная определенность или полу-определённость или неопределённость, этой квадратичной формы эквивалентна тем же свойством А , который может быть проверен с учетом всех собственных значений от А или путем проверки признаков всех ее главных миноров .

Оптимизация

Определенные квадратичные формы легко поддаются задачам оптимизации . Предположим, что матричная квадратичная форма дополнена линейными членами, как

${\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Ax + 2b ^ {\ text {T}} x,}$

где b - вектор констант размера n × 1. Условия первого порядка для максимума или минимума находятся путем установки производной матрицы на нулевой вектор:

${\ displaystyle 2Ax + 2b = 0,}$

давая

${\ displaystyle x = -A ^ {- 1} b}$

при условии , А это неособо . Если квадратичная форма, а значит, и A , положительно определена, то в этой точке выполняются условия минимума второго порядка . Если квадратичная форма отрицательно определена, условия максимума второго порядка выполняются.

Важным примером такой оптимизации является множественная регрессия , в которой ищется вектор оцененных параметров, который минимизирует сумму квадратов отклонений от идеального соответствия в наборе данных.

Смотрите также

• Изотропная квадратичная форма
• Положительно определенная функция
• Положительно определенная матрица
• Поляризационная идентичность

Заметки

Ссылки

• Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Кембриджские трактаты по математике. 106 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40475-4. Zbl  0785.11021 .
• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Милнор, Дж . ; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer. ISBN 3-540-06009-Х. Zbl  0292.10016 .