Второе квантование - Second quantization

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера
Стандартная модель Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса
Неполные теории Топологическая квантовая теория поля Струнная теория Суперсимметрия Разноцветный Теория всего Квантовая гравитация
Ученые КД Андерсон П. У. Андерсон Быть Bjorken Боголюбов Brout Каллан Коулман ДеВитт Дирак Дайсон Энглерт Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Глэшоу Гелл-Манн Валовой Гуральник Гейзенберг Хиггс Haag Hagen 'т Хофт Иордания Кендалл Kibble ягненок Ландо Ли Майорана Миллс Намбу Нисидзима Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Сударшан Томонага Вельтман сторожить Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Ян Юкава
v т е

Второе квантование , также называемое представлением числа заполнения , представляет собой формализм, используемый для описания и анализа квантовых систем многих тел . В квантовой теории поля это известно как каноническое квантование , при котором поля (обычно как волновые функции материи) рассматриваются как полевые операторы , подобно тому, как физические величины (положение, импульс и т. Д.) рассматриваются как операторы при первом квантовании . Ключевые идеи этого метода были введены в 1927 году Полем Дираком и позже развиты, в первую очередь, Владимиром Фоком и Паскуалем Джорданом .

В этом подходе квантовые многочастичные состояния представлены в базисе состояний Фока , которые строятся путем заполнения каждого одночастичного состояния определенным числом идентичных частиц. Формализм второго квантования вводит операторы создания и уничтожения для построения и обработки состояний Фока, предоставляя полезные инструменты для изучения квантовой теории многих тел.

Квантовые многочастичные состояния

Отправной точкой формализма вторичного квантования является понятие неразличимости частиц в квантовой механике. В отличие от классической механики, где каждая частица меченных отдельного вектора положения и различных конфигураций множества S соответствуют различным состояниям многих тел, в квантовой механике, частицы являются идентичными, таким образом, что обмен двух частиц, то есть , не делает привести к другому квантовому состоянию многих тел . Это означает, что квантовая многочастичная волновая функция должна быть инвариантной (с точностью до фазового множителя) при обмене двумя частицами. Согласно статистике частиц, многочастичная волновая функция может быть как симметричной, так и антисимметричной по отношению к обмену частицами: ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \ leftrightarrow \ mathbf {r} _ {j}}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots) = + \ Psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots)}$если частицы являются бозонами ,

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots) = - \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots)}$если частицы являются фермионами .

Это свойство обменной симметрии накладывает ограничение на многочастичную волновую функцию. Каждый раз, когда частица добавляется или удаляется из системы многих тел, волновая функция должна быть правильно симметризована или антисимметризована, чтобы удовлетворить ограничению симметрии. В первом формализме квантования это ограничение гарантируется представлением волновой функции в виде линейной комбинации перманентов (для бозонов) или детерминантов (для фермионов) одночастичных состояний. В формализме второго квантования проблема симметризации автоматически решается операторами создания и уничтожения, так что ее обозначение может быть намного проще.

Первоначально квантованная многочастичная волновая функция

Рассмотрим полный набор одночастичных волновых функций, помеченных (который может быть объединенным индексом ряда квантовых чисел). Следующая волновая функция ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ Psi [\ mathbf {r} _ {i}] = \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {i}} (\ mathbf {r} _ {i} ) \ Equiv \ psi _ {\ alpha _ {1}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {N}}}$

представляет собой N -частичное состояние, где i- я частица занимает одночастичное состояние . В сокращенных обозначениях аргумент положения волновой функции может быть опущен, и предполагается, что i- я одночастичная волновая функция описывает состояние i- й частицы. Волновая функция не была симметризована или антисимметризована, поэтому в целом не квалифицируется как многочастичная волновая функция для идентичных частиц. Тем не менее, он может быть доведен до симметризованной (анти-симметризованной) формы операторов для симметризатора, и для antisymmetrizer . ${\ displaystyle | {\ alpha _ {i}} \ rangle}$${\ displaystyle \ Psi}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Для бозонов необходимо симметризовать многочастичную волновую функцию:

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {S}} \ Psi [\ mathbf {r} _ {i }] = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (i)}} (\ mathbf {r} _ {i}) = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (1)}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (2)}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (N)}};}$

в то время как для фермионов многочастичная волновая функция должна быть антисимметризована,

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {A}} \ Psi [\ mathbf {r} _ {i }] = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} (- 1) ^ {\ pi} \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (i)}} (\ mathbf {r} _ {i}) = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} (- 1) ^ {\ pi} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (1)}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (2)}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (N )}}.}$

Вот элемент в группе перестановок N- тел (или симметричной группе ) , который выполняет перестановку среди меток состояний и обозначает соответствующий знак перестановки . - оператор нормализации, который нормализует волновую функцию. (Это оператор, который применяет подходящий числовой нормировочный коэффициент к симметризованным тензорам степени n ; его значение см. В следующем разделе.) ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle S_ {N}}$${\ displaystyle \ alpha _ {я}}$${\ displaystyle (-1) ^ {\ pi}}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$

Если расположить одночастичные волновые функции в матрице , так что матричный элемент строка i, столбец j равен , то бозонная многочастичная волновая функция может быть просто записана как постоянная , а многочастичная волновая функция фермиона как определитель (также известный как определитель Слейтера ). ${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle U_ {ij} = \ psi _ {\ alpha _ {j}} (\ mathbf {r} _ {i}) \ Equiv \ langle \ mathbf {r} _ {i} | \ alpha _ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {perm} U}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {det} U}$

Вторично квантованные фоковские состояния

Первоначально квантованные волновые функции включают сложные процедуры симметризации для описания физически реализуемых состояний многих тел, потому что язык первого квантования избыточен для неразличимых частиц. На первом языке квантования состояние многих тел описывается ответами на серию вопросов вроде «Какая частица в каком состоянии находится?» . Однако это не физические вопросы, потому что частицы идентичны, и в первую очередь невозможно сказать, какая частица какая. На первый взгляд разные состояния и на самом деле являются избыточными названиями одного и того же квантового состояния многих тел. Таким образом, симметризация (или антисимметризация) должна быть введена, чтобы устранить эту избыточность в первом описании квантования. ${\ displaystyle \ psi _ {1} \ otimes \ psi _ {2}}$${\ displaystyle \ psi _ {2} \ otimes \ psi _ {1}}$

На языке второго квантования вместо того, чтобы спрашивать «каждая частица в каком состоянии», спрашивают: «Сколько частиц находится в каждом состоянии?» . Поскольку это описание не относится к маркировке частиц, оно не содержит избыточной информации и, следовательно, приводит к точному и более простому описанию квантового состояния многих тел. В этом подходе состояние многих тел представлено в базисе чисел занятости, а базовое состояние помечено набором чисел занятости, обозначенных

${\ displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle \ Equiv | n_ {1}, n_ {2}, \ cdots, n _ {\ alpha}, \ cdots \ rangle,}$

означает, что есть частицы в одночастичном состоянии (или как ). Числа заполнения суммируются с общим числом частиц, т . Е. Для фермионов число заполнения может быть только 0 или 1 из-за принципа исключения Паули ; а для бозонов это может быть любое неотрицательное целое число ${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {\ альфа} п _ {\ альфа} = N}$${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle n _ {\ alpha} = {\ begin {case} 0,1 & {\ text {fermions,}} \\ 0,1,2,3, ... & {\ text {бозоны.}} \ end {случаи}}}$

Состояния числа заполнения также известны как состояния Фока. Все фоковские состояния образуют полный базис многочастичного гильбертова пространства или фоковского пространства . Любое типичное квантовое состояние многих тел можно выразить как линейную комбинацию состояний Фока. ${\ Displaystyle | [п _ {\ альфа}] \ rangle}$

Обратите внимание, что помимо обеспечения более эффективного языка, пространство Фока допускает переменное количество частиц. Как гильбертово пространство , оно изоморфно сумме n -частичных бозонных или фермионных тензорных пространств, описанных в предыдущем разделе, включая одномерное нулевое пространство ℂ.

Государство Фока с все числа заполнения равны нулю, называется вакуумное состояние , обозначаемое . Обозначенное состояние Фока только с одним ненулевым числом заполнения является одномодовым состоянием Фока . В терминах первой квантованной волновой функции вакуумное состояние является единичным тензорным произведением и может быть обозначено . Одночастичное состояние сводится к его волновой функции . Другие одномодовые многочастичные (бозонные) состояния - это просто тензорное произведение волновой функции этой моды, например и . Для многомодовых состояний Фока (то есть задействовано более одного одночастичного состояния ) соответствующая квантованная сначала волновая функция потребует надлежащей симметризации в соответствии со статистикой частицы, например, для бозонного состояния и для фермионного состояния (символ между и опущено для простоты). В общем, нормализация оказывается , где N - общее количество частиц. Для фермиона это выражение сводится к тому, что as может быть либо нулем, либо единицей. Таким образом, квантованная сначала волновая функция, соответствующая состоянию Фока, имеет вид ${\ Displaystyle | 0 \ rangle \ эквив | \ cdots, 0 _ {\ alpha}, \ cdots \ rangle}$${\ displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle \ Equiv | \ cdots, 0, n _ {\ alpha}, 0, \ cdots \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle = 1}$${\ displaystyle | 1 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle | 2 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ otimes \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} + \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2} }}$${\ displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} - \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2} }}$${\ displaystyle \ otimes}$${\ displaystyle \ psi _ {1}}$${\ displaystyle \ psi _ {2}}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {\ prod _ {\ alpha} n _ {\ alpha}!} {N!}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {N!}}}}$${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle _ {\ rm {B}} = \ left ({\ frac {\ prod _ {\ alpha} n _ {\ alpha}!} {N!}} \ right ) ^ {1/2} {\ mathcal {S}} \ bigotimes \ limits _ {\ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}}$

для бозонов и

${\ displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle _ {\ rm {F}} = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} {\ mathcal {A}} \ bigotimes \ limits _ { \ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}}$

для фермионов. Обратите внимание, что только для фермионов, поэтому приведенное выше тензорное произведение фактически является просто произведением всех занятых одночастичных состояний. ${\ Displaystyle п _ {\ альфа} = 0,1}$

Операторы создания и уничтожения

Операторы создания и уничтожения вводятся для добавления или удаления частицы из системы многих тел. Эти операторы лежат в основе формализма второго квантования, преодолевая разрыв между состояниями первого и второго квантования. Применение оператора создания (уничтожения) к квантованной вначале многочастичной волновой функции будет вставлять (удалять) одночастичное состояние из волновой функции симметризованным образом в зависимости от статистики частицы. С другой стороны, все вторично квантованные фоковские состояния могут быть построены путем многократного применения операторов создания к вакуумному состоянию.

Операторы рождения и уничтожения (для бозонов) изначально строятся в контексте квантового гармонического осциллятора как повышающие и понижающие операторы, которые затем обобщаются на операторы поля в квантовой теории поля. Они являются фундаментальными для квантовой теории многих тел в том смысле, что любой оператор многих тел (включая гамильтониан системы многих тел и все физические наблюдаемые) может быть выражен через них.

Операция вставки и удаления

Создание и уничтожение частицы осуществляется путем вставки и удаления одночастичного состояния из первой квантованной волновой функции симметричным или антисимметричным образом. Пусть будет одночастичным состоянием, пусть 1 будет тензорным тождеством (оно является генератором пространства нулевых частиц и удовлетворяет в тензорной алгебре над фундаментальным гильбертовым пространством), и пусть будет общее состояние тензорного произведения. Операторы вставки и удаления являются линейными операторами, определяемыми следующими рекурсивными уравнениями ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ Equiv 1 \ otimes \ psi _ {\ alpha} \ Equiv \ psi _ {\ alpha} \ otimes 1}$${\ Displaystyle \ Psi = \ psi _ {\ alpha _ {1}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {2}} \ otimes \ cdots}$${\ displaystyle \ otimes _ {\ pm}}$${\ displaystyle \ oslash _ {\ pm}}$

${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} 1 = \ psi _ {\ alpha}, \ quad \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta } \ otimes \ Psi) = \ psi _ {\ alpha} \ otimes \ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi \ pm \ psi _ {\ beta} \ otimes (\ psi _ {\ alpha} \ otimes _ { \ pm} \ Psi);}$

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} 1 = 0, \ quad \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi) = \ delta _ {\ alpha \ beta} \ Psi \ pm \ psi _ {\ beta} \ otimes (\ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} \ Psi).}$

Вот это Кронекера символ, который дает 1 , если , и 0 в противном случае. Нижний индекс операторов вставки или удаления указывает, реализуется ли симметризация (для бозонов) или антисимметризация (для фермионов). ${\ displaystyle \ delta _ {\ alpha \ beta}}$${\ Displaystyle \ альфа = \ бета}$${\ displaystyle \ pm}$

Операторы рождения и уничтожения бозонов

Оператор создания (уничтожения) бозонов обычно обозначается (соответственно ). Оператор создания добавляет бозон в одночастичное состояние , а оператор аннигиляции удаляет бозон из одночастичного состояния . Операторы создания и уничтожения эрмитово сопряжены друг другу, но ни один из них не является эрмитовым оператором ( ). ${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle b _ {\ alpha}}$${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle b _ {\ alpha}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle b _ {\ alpha} \ neq b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

Определение

Оператор рождения (уничтожения) бозона - это линейный оператор, действие которого на N -частичную квантованную вначале волновую функцию определяется как ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N + 1}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} \ Psi,}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+} \ Psi,}$

где симметрично вставляет одночастичное состояние в возможные позиции вставки и симметрично удаляет одночастичное состояние из возможных позиций удаления. ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle N + 1}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle N}$

Действия по состояниям Фока

Начиная с одномодового вакуумного состояния , многократно применяя оператор создания , можно найти ${\ displaystyle | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 1}$${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} 1 = \ psi _ {\ alpha} = | 1 _ {\ alpha } \ rangle,}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | n _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}} = {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes (n_ { \ alpha} +1)} = {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}} | n _ {\ alpha} +1 \ rangle.}$

Оператор создания увеличивает число заполнения бозона на 1. Следовательно, все состояния с числом заполнения могут быть построены оператором создания бозона из состояния вакуума

${\ displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n _ {\ alpha}!}}} (b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) ^ {n _ {\ alpha} } | 0 _ {\ alpha} \ rangle.}$

С другой стороны, оператор аннигиляции снижает число заполнения бозонов на 1 ${\ displaystyle b _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n _ {\ alpha}}}} \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}} = {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes (n _ {\ alpha} -1)} = { \ sqrt {n _ {\ alpha}}} | n _ {\ alpha} -1 \ rangle.}$

Это также погасит вакуумное состояние, поскольку в вакуумном состоянии не осталось бозонов, которые можно было бы аннигилировать. Используя приведенные выше формулы, можно показать, что ${\ displaystyle b _ {\ alpha} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 0}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} b _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle = n _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle,}$

это означает, что определяет оператор числа бозонов. ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alpha} = b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} b _ {\ alpha}}$

Приведенный выше результат можно обобщить на любое фоковское состояние бозонов.

${\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ alpha} + 1}} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha} + 1, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

${\ displaystyle b _ {\ alpha} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha} -1, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

Эти два уравнения можно рассматривать как определяющие свойства операторов рождения и уничтожения бозонов в формализме вторичного квантования. О сложной симметризации базовой квантованной волновой функции автоматически позаботятся операторы рождения и уничтожения (при воздействии на квантованную первым волновую функцию), так что сложность не проявляется на уровне вторичного квантования, и Формулы вторичного квантования просты и понятны.

Идентификационные данные оператора

Следующие операторные тождества следуют из действия операторов рождения и уничтожения бозонов на фоковское состояние:

${\ displaystyle [b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}, b _ {\ beta} ^ {\ dagger}] = [b _ {\ alpha}, b _ {\ beta}] = 0, \ quad [b _ {\ alpha }, b _ {\ beta} ^ {\ dagger}] = \ delta _ {\ alpha \ beta}.}$

Эти коммутационные соотношения можно рассматривать как алгебраическое определение операторов рождения и уничтожения бозонов. Симметричность бозонной многочастичной волновой функции относительно обмена частицами также проявляется в коммутации бозонных операторов.

Повышающие и понижающие операторы квантового гармонического осциллятора также удовлетворяют одному и тому же набору коммутационных соотношений, из чего следует, что бозоны можно интерпретировать как кванты энергии (фононы) осциллятора. Операторы положения и импульса гармонического осциллятора (или набора гармонических колебательных мод) задаются эрмитовыми комбинациями операторов рождения и уничтожения фононов,

${\ displaystyle x _ {\ alpha} = (b _ {\ alpha} + b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / {\ sqrt {2}}, \ quad p _ {\ alpha} = (b _ {\ alpha} -b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / ({\ sqrt {2}} \ mathrm {i}),}$

которые воспроизводят каноническое коммутационное соотношение между операторами положения и импульса (при $ \ hbar = 1 $)

${\ displaystyle [x _ {\ alpha}, p _ {\ beta}] = \ mathrm {i} \ delta _ {\ alpha \ beta}, \ quad [x _ {\ alpha}, x _ {\ beta}] = [p_ {\ alpha}, p _ {\ beta}] = 0.}$

Эта идея обобщена в квантовой теории поля , которая рассматривает каждую моду поля материи как осциллятор, подверженный квантовым флуктуациям, а бозоны рассматриваются как возбуждения (или кванты энергии) поля.

Операторы рождения и уничтожения фермионов

Оператор рождения (уничтожения) фермионов обычно обозначается как ( ). Оператор создания добавляет фермион в одночастичное состояние , а оператор аннигиляции удаляет фермион из одночастичного состояния . ${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$

Определение

Оператор рождения (уничтожения) фермионов - это линейный оператор, действие которого на N -частичную квантованную вначале волновую функцию определяется как ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N + 1}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-} \ Psi,}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {-} \ Psi,}$

где вставляет одночастичное состояние в возможные позиции вставки антисимметрично и удаляет одночастичное состояние из возможных позиций удаления антисимметрично. ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle N + 1}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {-}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle N}$

Действия по состояниям Фока

Начиная с одномодового вакуумного состояния , применяя оператор рождения фермионов , ${\ displaystyle | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 1}$${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-} 1 = \ psi _ {\ alpha} = | 1 _ {\ alpha } \ rangle,}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | 1 _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-} \ psi _ {\ alpha} = 0.}$

Если одночастичное состояние пусто, оператор создания заполнит состояние фермионом. Однако, если состояние уже занято фермионом, дальнейшее применение оператора создания погасит состояние, демонстрируя принцип исключения Паули, что два идентичных фермиона не могут занимать одно и то же состояние одновременно. Тем не менее фермион может быть выведен из занятого состояния оператором аннигиляции фермионов : ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} | 1 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {-} \ psi _ {\ alpha} = 1 = | 0 _ {\ alpha} \ rangle,}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 0.}$

Вакуумное состояние гасится действием оператора аннигиляции.

Как и в случае с бозонами, фермионное фоковское состояние может быть построено из вакуумного состояния с помощью оператора рождения фермионов

${\ displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle = (c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) ^ {n _ {\ alpha}} | 0 _ {\ alpha} \ rangle.}$

Легко проверить (перечислением), что

${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} c _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle = n _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle,}$

это означает, что определяет оператор числа фермионов. ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alpha} = c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} c _ {\ alpha}}$

Приведенный выше результат можно обобщить на любое фоковское состояние фермионов.

${\ displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = (- 1) ^ {\ sum _ { \ beta <\ alpha} n _ {\ beta}} {\ sqrt {1-n _ {\ alpha}}} | \ cdots, n _ {\ beta}, 1-n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

${\ displaystyle c _ {\ alpha} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = (- 1) ^ {\ sum _ {\ beta <\ alpha } n _ {\ beta}} {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} | \ cdots, n _ {\ beta}, 1-n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

Напомним, что для фермионов число заполнения может принимать только 0 или 1. Эти два уравнения можно рассматривать как определяющие свойства операторов рождения и уничтожения фермионов в формализме вторичного квантования. Обратите внимание, что знаковая структура фермионов , также известная как струна Жордана-Вигнера , требует наличия заранее определенного упорядочения одночастичных состояний ( спиновой структуры ) и включает в себя подсчет чисел заполнения фермионов всех предыдущих состояний; поэтому операторы рождения и уничтожения фермионов в некотором смысле считаются нелокальными. Это наблюдение приводит к идее, что фермионы являются эмерджентными частицами в системе дальнодействующих запутанных локальных кубитов . ${\ displaystyle n _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle (-1) ^ {\ сумма _ {\ бета <\ альфа} п _ {\ бета}}}$

Идентификационные данные оператора

Следующие операторные тождества следуют из действия операторов рождения и уничтожения фермионов на фоковское состояние:

${\ displaystyle \ {c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}, c _ {\ beta} ^ {\ dagger} \} = \ {c _ {\ alpha}, c _ {\ beta} \} = 0, \ quad \ {c _ {\ alpha}, c _ {\ beta} ^ {\ dagger} \} = \ delta _ {\ alpha \ beta}.}$

Эти антикоммутационные соотношения можно рассматривать как алгебраическое определение операторов рождения и уничтожения фермионов. Тот факт, что многочастичная волновая функция фермионов является антисимметричной по отношению к обмену частицами, также проявляется в антикоммутации фермионных операторов.

Операторы создания и уничтожения эрмитово сопряжены друг другу, но ни один из них не является эрмитовым оператором ( ). Эрмитова комбинация операторов рождения и уничтожения фермионов ${\ displaystyle c _ {\ alpha} \ neq c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle \ chi _ {\ alpha, {\ text {Re}}} = (c _ {\ alpha} + c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / {\ sqrt {2}}, \ quad \ chi _ {\ alpha, {\ text {Im}}} = (c _ {\ alpha} -c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / ({\ sqrt {2}} \ mathrm {i}),}$

называются фермионными майорановскими операторами. Их можно рассматривать как фермионный аналог операторов положения и импульса «фермионного» гармонического осциллятора. Они удовлетворяют антикоммутационному соотношению

${\ displaystyle \ {\ chi _ {i}, \ chi _ {j} \} = \ delta _ {ij},}$

где все фермионные операторы Майораны маркируются одинаково (независимо от их происхождения из Re или Im комбинации комплексных фермионных операторов ). Отношение антикоммутации показывает, что фермионные операторы Майораны порождают алгебру Клиффорда , которую можно систематически представить как операторы Паули в гильбертовом пространстве многих тел. ${\ displaystyle i, j}$${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$

Квантовые полевые операторы

Определение в качестве общего уничтожения (создание) оператора для одночастичного состояния , которые могут быть либо фермионными или бозонными , то реальное пространство представление операторов определяет квантовое поле операторов и с помощью ${\ displaystyle a _ {\ nu} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle (с _ {\ ню} ^ {\ кинжал})}$${\ Displaystyle (б _ {\ ню} ^ {\ кинжал})}$ ${\ Displaystyle \ Пси (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ Пси ^ {\ кинжал} (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ nu} \ psi _ {\ nu} \ left (\ mathbf {r} \ right) a _ {\ nu}}$

${\ Displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ nu} \ psi _ {\ nu} ^ {*} \ left (\ mathbf {r} \ right) a _ {\ ню} ^ {\ кинжал}}$

Это операторы второго квантования с коэффициентами и, которые являются обычными волновыми функциями первого квантования . Таким образом, например, любые ожидаемые значения будут обычными волновыми функциями первого квантования. Грубо говоря, это сумма всех возможных способов добавить частицу в систему в позиции r через любое из базовых состояний , не обязательно плоские волны, как показано ниже. ${\ Displaystyle \ psi _ {\ nu} \ влево (\ mathbf {r} \ right)}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ nu} ^ {*} \ left (\ mathbf {r} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ Пси ^ {\ кинжал} (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ nu} \ влево (\ mathbf {r} \ right)}$

Поскольку и являются операторами вторичного квантования, определенными в каждой точке пространства, они называются операторами квантового поля . Они подчиняются следующим фундаментальным коммутаторным и антикоммутаторным соотношениям: ${\ Displaystyle \ Пси (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ Пси ^ {\ кинжал} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ left [\ Psi (\ mathbf {r} _ {1}), \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r} _ {2}) \ right] = \ delta (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2})}$ бозонные поля,

${\ displaystyle \ {\ Psi (\ mathbf {r} _ {1}), \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r} _ {2}) \} = \ delta (\ mathbf {r} _ { 1} - \ mathbf {r} _ {2})}$ фермионные поля.

Для однородных систем часто желательно преобразование между реальным пространством и импульсным представлением, следовательно, квантовые операторы поля в базисе Фурье дают:

${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = {1 \ over {\ sqrt {V}}} \ sum _ {\ mathbf {k}} e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} a_ { \ mathbf {k}}}$

${\ displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r}) = {1 \ over {\ sqrt {V}}} \ sum _ {\ mathbf {k}} e ^ {- i \ mathbf {k \ cdot r}} a _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger}}$

Комментарий к номенклатуре

Термин «вторичное квантование», введенный Джорданом, является неправильным термином, сохранившимся по историческим причинам. У истоков квантовой теории поля ошибочно считалось, что уравнение Дирака описывает релятивистскую волновую функцию (отсюда и устаревшую интерпретацию «моря Дирака»), а не классическое спинорное поле, которое при квантовании (как скалярное поле) дает фермионное квантовое поле (против бозонного квантового поля).

Один не квантует «снова», как можно было бы предположить из термина «второй»; квантованное поле не является волновой функцией Шредингера, которая возникла в результате квантования частицы, а представляет собой классическое поле (такое как электромагнитное поле или спинорное поле Дирака ), по сути, совокупность связанных осцилляторов, которая не была предварительно квантованные. Можно просто квантовать каждый осциллятор в этой сборке, переходя от полуклассической трактовки системы к полностью квантово-механической.

Смотрите также

• Каноническое квантование
• Первое квантование
• Геометрическое квантование
• Квантование (физика)
• Функционал Шредингера

использованная литература

дальнейшее чтение

• Второе квантование Карло Мария Бекки, Scholarpedia , 5 (6): 7902. DOI: 10.4249 / scholarpedia.7902

внешние ссылки

• Многие электронные состояния в Е. Pavarini, Э. Коха и У. Schollwöck: Эмерджентный явления в коррелированных Материи, Jülich 2013, ISBN  978-3-89336-884-6