Принцип исключения Паули - Pauli exclusion principle

Вольфганг Паули сформулировал закон, гласящий, что никакие два электрона не могут иметь одинаковый набор квантовых чисел.

Принцип исключения Паули - это квантово-механический принцип, который гласит, что два или более идентичных фермиона (частицы с полуцелым спином ) не могут одновременно занимать одно и то же квантовое состояние в квантовой системе . Этот принцип был сформулирован австрийским физиком Вольфгангом Паули в 1925 году для электронов , а затем распространился на все фермионы в его спин-статистической теореме 1940 года.

В случае электронов в атомах это можно сформулировать следующим образом: невозможно, чтобы два электрона многоэлектронного атома имели одинаковые значения четырех квантовых чисел : n , главного квантового числа ; - азимутальное квантовое число ; m - магнитное квантовое число ; и m s - спиновое квантовое число . Например, если два электрона находятся на одной орбитали , то их значения n , и m одинаковы; поэтому их m s должны быть разными, и, следовательно, электроны должны иметь противоположные полуцелые проекции спина 1/2 и -1/2.

На частицы с целочисленным спином или бозоны не распространяется принцип исключения Паули: любое количество идентичных бозонов может занимать одно и то же квантовое состояние, как, например, с фотонами, произведенными лазером, или атомами в конденсате Бозе – Эйнштейна .

Более строгое утверждение , что, в отношении обмена двух одинаковых частиц, общее (много-частиц) волновая функция является антисимметричной для фермионов, и симметрична для бозонов. Это означает, что если поменять местами пространственные и спиновые координаты двух одинаковых частиц, то полная волновая функция меняет знак для фермионов и не меняется для бозонов.

Если бы два фермиона находились в одном и том же состоянии (например, на одной орбитали с одинаковым спином в одном атоме), их перестановка ничего не изменила бы, и полная волновая функция не изменилась бы. Единственный способ, которым полная волновая функция может как изменить знак, как требуется для фермионов, так и остаться неизменным, - это то, что эта функция должна быть везде равна нулю, что означает, что состояние не может существовать. Это рассуждение неприменимо к бозонам, потому что знак не меняется.

Обзор

Принцип исключения Паули описывает поведение всех фермионов (частиц с «полуцелым спином »), в то время как бозоны (частицы с «целым спином») подчиняются другим принципам. Фермионы включают элементарные частицы, такие как кварки , электроны и нейтрино . Кроме того, барионы, такие как протоны и нейтроны ( субатомные частицы, состоящие из трех кварков) и некоторые атомы (например, гелий-3 ), являются фермионами и, следовательно, также описываются принципом исключения Паули. Атомы могут иметь различный общий «спин», который определяет, являются ли они фермионами или бозонами - например, гелий-3 имеет спин 1/2 и, следовательно, является фермионом, в отличие от гелия-4, который имеет спин 0 и является бозоном. Таким образом, принцип исключения Паули лежит в основе многих свойств повседневной материи, от ее крупномасштабной стабильности до химического поведения атомов .

«Полуцелое вращение» означает, что значение собственного углового момента фермионов умножено (уменьшенная постоянная Планка ) на полуцелое число (1/2, 3/2, 5/2 и т. Д.). В теории квантовой механики фермионы описываются антисимметричными состояниями . Напротив, частицы с целочисленным спином (называемые бозонами) имеют симметричные волновые функции; в отличие от фермионов они могут иметь одни и те же квантовые состояния. Бозоны включают фотон , то пары Купера , которые ответственны за сверхпроводимость , а W и Z бозоны . (Фермионы получили свое название от статистического распределения Ферми – Дирака, которому они подчиняются, а бозоны - от их распределения Бозе – Эйнштейна .)

История

В начале 20 века стало очевидно, что атомы и молекулы с четным числом электронов более химически стабильны, чем молекулы с нечетным числом электронов. В статье Гилберта Н. Льюиса 1916 года «Атом и молекула» , например, третий из его шести постулатов химического поведения утверждает, что атом имеет тенденцию удерживать четное число электронов в любой данной оболочке и особенно удерживать восемь электронов, которые, как считается, обычно расположены симметрично в восьми углах куба . В 1919 году химик Ирвинг Ленгмюр предположил, что периодическая таблица может быть объяснена, если электроны в атоме каким-либо образом связаны или сгруппированы. Считалось, что группы электронов занимают набор электронных оболочек вокруг ядра. В 1922 году Нильс Бор обновил свою модель атома , предположив, что определенное количество электронов (например, 2, 8 и 18) соответствует стабильным «замкнутым оболочкам».

Паули искал объяснение этим числам, которые поначалу были чисто эмпирическими . В то же время он пытался объяснить экспериментальные результаты эффекта Зеемана в атомной спектроскопии и в ферромагнетизме . Он нашел важную подсказку в статье Эдмунда Стонера 1924 года , в которой указывалось, что для данного значения главного квантового числа ( n ) количество энергетических уровней одного электрона в спектрах щелочного металла во внешнем магнитное поле, где все вырожденные уровни энергии разделены, равно количеству электронов в замкнутой оболочке благородных газов для того же значения n . Это привело Паули к пониманию того, что сложное количество электронов в закрытых оболочках может быть сведено к простому правилу одного электрона на состояние, если электронные состояния определены с использованием четырех квантовых чисел. С этой целью он ввел новое двузначное квантовое число, идентифицированное Сэмюэлем Гаудсмитом и Джорджем Уленбеком как спин электрона .

Связь с симметрией квантового состояния

В своей Нобелевской лекции Паули разъяснил важность симметрии квантового состояния по отношению к принципу исключения:

Среди различных классов симметрии наиболее важными (которые, кроме того, являются единственными для двух частиц) является симметричный класс , в котором волновая функция не меняет своего значения при перестановке пространственных и спиновых координат двух частиц, и антисимметричен класс , в котором для такой перестановки волновая функция меняет знак ... [антисимметричный класс] правильная и общая волна механическая формулировка принципа исключения.

Принцип исключения Паули с однозначной многочастичной волновой функцией эквивалентен требованию, чтобы волновая функция была антисимметричной по отношению к обмену . Если и пробегают базисные векторы гильбертова пространства, описывающие одночастичную систему, то тензорное произведение дает базисные векторы гильбертова пространства, описывающие систему из двух таких частиц. Любое двухчастичное состояние может быть представлено как суперпозиция (то есть сумма) этих базисных векторов:

где каждый A ( x , y ) - (комплексный) скалярный коэффициент. Антисимметрия при обмене означает, что A ( x , y ) = - A ( y , x ) . Отсюда следует, что A ( x , y ) = 0 при x = y , что является исключением Паули. Это верно в любом базисе, так как локальные изменения базиса сохраняют антисимметричные матрицы антисимметричными.

И наоборот, если диагональные величины A ( x , x ) равны нулю в каждом базисе , то составляющая волновой функции

обязательно антисимметричен. Чтобы доказать это, рассмотрим матричный элемент

Это ноль, потому что две частицы имеют нулевую вероятность оказаться в состоянии суперпозиции . Но это равно

Первый и последний члены являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновых функций подчиняются:

или

Для системы с n > 2 частицами многочастичные базисные состояния становятся n- кратными тензорными произведениями одночастичных базисных состояний, а коэффициенты волновой функции идентифицируются n одночастичными состояниями. Условие антисимметрии гласит, что коэффициенты должны менять знак всякий раз, когда меняются два любых состояния: на любое . Принцип исключения является следствием того, что если для любого, то Это показывает, что ни одна из n частиц не может находиться в одном и том же состоянии.

Продвинутая квантовая теория

Согласно теореме спин-статистики , частицы с целым спином занимают симметричные квантовые состояния, а частицы с полуцелым спином занимают антисимметричные состояния; кроме того, принципы квантовой механики допускают только целые или полуцелые значения спина. В релятивистской квантовой теории поля принцип Паули следует из применения оператора вращения в мнимом времени к частицам с полуцелым спином.

В одном измерении бозоны, как и фермионы, могут подчиняться принципу исключения. Одномерный бозе-газ с дельта-функциями отталкивающих взаимодействий бесконечной силы эквивалентен газу свободных фермионов. Причина этого в том, что в одном измерении обмен частицами требует, чтобы они проходили друг через друга; при бесконечно сильном отталкивании этого не может быть. Эта модель описывается квантовым нелинейным уравнением Шредингера . В импульсном пространстве принцип исключения действует также для конечного отталкивания в бозе-газе с дельта-функциональными взаимодействиями, а также для взаимодействующих спинов и модели Хаббарда в одном измерении, а также для других моделей, решаемых с помощью анзаца Бете . Основным состоянием в моделях, решаемых анзацем Бете, является сфера Ферми .

Приложения

Атомы

Принцип исключения Паули помогает объяснить широкий спектр физических явлений. Одним из особенно важных следствий этого принципа является сложная структура электронной оболочки атомов и способ обмена электронами между атомами, что объясняет разнообразие химических элементов и их химических комбинаций. В электрически нейтральном атоме количество связанных электронов равно количеству протонов в ядре . Электроны, будучи фермионами, не могут находиться в том же квантовом состоянии, что и другие электроны, поэтому электроны должны «складываться» внутри атома, то есть иметь разные спины, находясь на одной электронной орбитали, как описано ниже.

Примером может служить нейтральный атом гелия , у которого есть два связанных электрона, каждый из которых может занимать состояния с наименьшей энергией ( 1s ), приобретая противоположный спин; поскольку спин является частью квантового состояния электрона, два электрона находятся в разных квантовых состояниях и не нарушают принцип Паули. Однако спин может принимать только два разных значения ( собственные значения ). В атоме лития с тремя связанными электронами третий электрон не может находиться в 1s- состоянии и вместо этого должен занимать одно из более высокоэнергетических 2s- состояний. Точно так же последовательно более крупные элементы должны иметь оболочки с последовательно более высокой энергией. Химические свойства элемента во многом зависят от количества электронов во внешней оболочке; Атомы с разным числом занятых электронных оболочек, но с одинаковым числом электронов во внешней оболочке обладают схожими свойствами, что дает начало периодической таблице элементов .

Чтобы проверить принцип исключения Паули для атома He, Гордон Дрейк провел очень точные вычисления для гипотетических состояний атома He, которые его нарушают, которые называются паронными состояниями . Позже К. Дейламиан и соавт. использовал атомно-лучевой спектрометр для поиска паронного состояния 1s2s 1 S 0, рассчитанного Дрейком. Поиск оказался безуспешным и показал, что статистический вес этого паронического состояния имеет верхний предел5 × 10 −6 . (Принцип исключения подразумевает нулевой вес.)

Свойства твердого тела

В проводниках и полупроводниках , существует очень большое количество молекулярных орбиталей , которые эффективно образуют непрерывную ленточную структуру из энергетических уровней . В прочных проводниках ( металлах ) электроны настолько вырождены , что даже не могут вносить большой вклад в теплоемкость металла. Многие механические, электрические, магнитные, оптические и химические свойства твердых тел являются прямым следствием исключения Паули.

Устойчивость материи

Стабильность каждого электронного состояния в атоме описывается квантовой теорией атома, которая показывает, что близкое приближение электрона к ядру обязательно увеличивает кинетическую энергию электрона, что является применением принципа неопределенности Гейзенберга. Однако устойчивость больших систем с большим количеством электронов и многих нуклонов - это другой вопрос, требующий принципа исключения Паули.

Было показано, что принцип исключения Паули отвечает за то, что обычное объемное вещество стабильно и занимает объем. Это предположение было впервые сделано в 1931 году Полем Эренфестом , который указал, что электроны каждого атома не могут все упасть на орбиталь с наименьшей энергией и должны занимать все более крупные оболочки. Следовательно, атомы занимают объем и не могут быть сжаты слишком близко друг к другу.

Более строгое доказательство было предоставлено в 1967 году Фрименом Дайсоном и Эндрю Ленардом ( де ), которые рассмотрели баланс сил притяжения (электронно-ядерное) и отталкивающего (электрон-электронное и ядерно-ядерное) и показали, что обычное вещество коллапсирует и занимает гораздо меньший объем без принципа Паули.

Следствием принципа Паули здесь является то, что электроны с одним и тем же спином разделяются отталкивающим обменным взаимодействием , которое является короткодействующим эффектом, действующим одновременно с дальнодействующей электростатической или кулоновской силой . Этот эффект частично ответственен за повседневное наблюдение в макроскопическом мире, что два твердых объекта не могут находиться в одном и том же месте в одно и то же время.

Астрофизика

Дайсон и Ленард не учитывали экстремальные магнитные или гравитационные силы, возникающие в некоторых астрономических объектах. В 1995 году Эллиот Либ и его коллеги показали, что принцип Паули по-прежнему ведет к стабильности в интенсивных магнитных полях, таких как нейтронные звезды , хотя и при гораздо более высокой плотности, чем в обычном веществе. Следствием общей теории относительности является то, что в достаточно интенсивных гравитационных полях вещество коллапсирует, образуя черную дыру .

Астрономия наглядно демонстрирует эффект принципа Паули в виде белых карликов и нейтронных звезд . В обоих телах атомная структура нарушена экстремальным давлением, но звезды удерживаются в гидростатическом равновесии за счет давления вырождения , также известного как давление Ферми. Эта экзотическая форма материи известна как вырожденная материя . Огромная гравитационная сила массы звезды обычно удерживается в равновесии за счет теплового давления, вызванного теплом, выделяемым при термоядерном синтезе в ядре звезды. В белых карликах, которые не подвергаются ядерному синтезу, сила, противодействующая гравитации, обеспечивается давлением вырождения электронов . В нейтронных звездах , подверженных еще более сильным гравитационным силам, электроны слились с протонами, образуя нейтроны. Нейтроны способны создавать еще более высокое давление вырождения, давление вырождения нейтронов , хотя и в более коротком диапазоне. Это может стабилизировать нейтронные звезды от дальнейшего коллапса, но при меньшем размере и большей плотности, чем белый карлик. Нейтронные звезды - самые «жесткие» известные объекты; их модуль Юнга (точнее, объемный модуль ) на 20 порядков больше, чем у алмаза . Однако даже эту огромную жесткость можно преодолеть гравитационным полем нейтронной звезды, масса которого превышает предел Толмана – Оппенгеймера – Волкова , что приводит к образованию черной дыры .

Смотрите также

использованная литература

Общий

внешние ссылки