Полилогарифм - Polylogarithm

В математике , то полилогарифм (также известный как функции Jonquiere в , для Альфреда Jonquiere) является специальной функцией Li _сек ( г ) порядка s и аргумента г . Только для особых значений s полилогарифм сводится к элементарной функции, такой как натуральный логарифм или рациональная функция . В квантовой статистике функция полилогарифма появляется как замкнутая форма интегралов от распределения Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна , а также известна как интеграл Ферми – Дирака или интеграл Бозе – Эйнштейна . В квантовой электродинамике полилогарифмы положительного целого порядка возникают при вычислении процессов, представленных диаграммами Фейнмана более высокого порядка .

Функция полилогарифма эквивалентна дзета-функции Гурвица - любая функция может быть выражена через другую - и обе функции являются частными случаями трансцендента Лерха . Полилогарифмы не следует путать с полилогарифмическими функциями или с логарифмическим интегралом смещения, который имеет такое же обозначение, но с одной переменной.

• Различные функции полилогарифма на комплексной плоскости
• 

  Li ₋₃ ( z )

• 

  Li ₋₂ ( z )

• 

  Li ₋₁ ( z )

• 

  Li ₀ ( z )

• 

  Li ₁ ( z )

• 

  Li ₂ ( z )

• 

  Li ₃ ( z )

Функция полилогарифма определяется степенным рядом по z , который также является рядом Дирихле по s :

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {z ^ {k} \ over k ^ {s}} = z + {z ^ {2 } \ более 2 ^ {s}} + {z ^ {3} \ более 3 ^ {s}} + \ cdots}$

Это определение действительно для произвольного комплексного порядка s и для всех комплексных аргументов z с | z | <1; его можно расширить до | z | ≥ 1 в процессе аналитического продолжения . (Здесь знаменатель n ^s понимается как exp (s ln (n).) В частном случае s = 1 используется обыкновенный натуральный логарифм Li ₁ ( z ) = −ln (1 - z ), а в частных случаях s = 2 и s = 3 называются дилогарифмом (также называемым функцией Спенса) и трилогарифмом соответственно. Название функции происходит от того факта, что ее также можно определить как повторяющийся интеграл самой себя:

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s + 1} (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {\ operatorname {Li} _ {s} (t)} {t}} dt }$

таким образом, дилогарифм является интегралом функции, включающей логарифм и т. д. Для неположительных целых порядков s полилогарифм является рациональной функцией .

Характеристики

В случае, когда порядок полилогарифма является целым числом, он будет представлен (или если он отрицательный). Часто бывает удобно определить , где есть главная ветвь от комплекса логарифма , так что же, все экспоненцирование будет считать однозначными:${\ displaystyle s}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle -n}$${\ Displaystyle \ му = \ пер (г)}$${\ Displaystyle \ ln (г)}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Ln} (г)}$${\ displaystyle - \ pi <\ operatorname {Im} (\ mu) \ leq \ pi.}$${\ displaystyle z ^ {s} = \ exp (s \ ln (z)).}$

В зависимости от порядка полилогарифм может быть многозначным. Главная ветвь из берутся быть приведена для приведенного выше определения серии и взята быть непрерывными , кроме как на положительную вещественную оси, где разрез сделан из , чтобы таким образом, что ось размещена на нижней половине плоскости . С точки зрения , это составляет . Прерывистость полилогарифма в зависимости от иногда может сбивать с толку. ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z)}$${\ Displaystyle | г | <1}$${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle - \ pi <\ operatorname {arg} (- \ mu) \ leq \ pi}$${\ displaystyle \ mu}$

Для действительного аргумента полилогарифм действительного порядка является действительным, если , а его мнимая часть для равна ( Wood 1992 , § 3): ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle г <1}$${\ Displaystyle г \ geq 1}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {Li} _ {s} (z) \ right) = - {{\ pi \ mu ^ {s-1}} \ over {\ Gamma (s)} }.}$

Если пересечь разрез, если ε бесконечно малое положительное действительное число, то:

${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {Li} _ {s} (z + i \ epsilon) \ right) = {{\ pi \ mu ^ {s-1}} \ over {\ Gamma ( s)}}.}$

Оба могут быть заключены из разложения ( см. Ниже ) в ряд Li _s ( e ^µ ) относительно µ = 0.

Производные полилогарифма следуют из определяющего степенного ряда:

${\ displaystyle z {\ frac {\ partial \ operatorname {Li} _ {s} (z)} {\ partial z}} = \ operatorname {Li} _ {s-1} (z)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ mu})} {\ partial \ mu}} = \ operatorname {Li} _ {s-1} (e ^ { \ mu}).}$

Отношение квадратов видно из определения ряда и связано с формулой удвоения (см. Также Clunie (1954) , Schrödinger (1952) ):

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (- z) + \ operatorname {Li} _ {s} (z) = 2 ^ {1-s} \ operatorname {Li} _ {s} (z ^ { 2}).}$

Функция Куммера подчиняется очень похожей формуле дублирования. Это частный случай формулы умножения для любого положительного целого числа p :

${\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {p-1} \ operatorname {Li} _ {s} (ze ^ {2 \ pi im / p}) = p ^ {1-s} \ operatorname {Li } _ {s} (z ^ {p}),}$

что может быть доказано, используя определение полилогарифма рядами и ортогональность экспоненциальных членов (см., например, дискретное преобразование Фурье ).

Другое важное свойство, формула обращения, включает дзета-функцию Гурвица или полиномы Бернулли и находится в связи с другими функциями ниже.

Особые ценности

В частных случаях полилогарифм может быть выражен через другие функции ( см. Ниже ). Таким образом, конкретные значения полилогарифма также могут быть найдены как конкретные значения этих других функций.

1. Для целых значений порядка полилогарифма следующие явные выражения получаются повторным применением z · ∂ / ∂ z к Li ₁ ( z ):

   ${\ Displaystyle \ OperatorName {Li} _ {1} (z) = - \ ln (1-z)}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {0} (z) = {z \ over 1-z}}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- 1} (z) = {z \ over (1-z) ^ {2}}}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- 2} (z) = {z (1 + z) \ over (1-z) ^ {3}}}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- 3} (z) = {z (1 + 4z + z ^ {2}) \ over (1-z) ^ {4}}}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- 4} (z) = {z (1 + z) (1 + 10z + z ^ {2}) \ over (1-z) ^ {5}}.}$

   Соответственно, полилогарифм сводится к соотношению многочленов от z и, следовательно, является рациональной функцией от z для всех неположительных целых порядков. Общий случай можно представить в виде конечной суммы:

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- n} (z) = \ left (z {\ partial \ over \ partial z} \ right) ^ {n} {z \ over {1-z}} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} k! S (n + 1, k + 1) \ left ({z \ over {1-z}} \ right) ^ {k + 1} \ qquad (n = 0 , 1,2, \ ldots),}$

   где S ( n , k ) - числа Стирлинга второго рода . Эквивалентные формулы, применимые к отрицательным целым порядкам, следующие ( Wood 1992 , § 6):

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- n} (z) = (- 1) ^ {n + 1} \ sum _ {k = 0} ^ {n} k! S (n + 1, k + 1 ) \ left ({{- 1} \ over {1-z}} \ right) ^ {k + 1} \ qquad (n = 1,2,3, \ ldots),}$

   а также:

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- n} (z) = {1 \ over (1-z) ^ {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left \ langle {n \ atop k} \ right \ rangle z ^ {nk} \ qquad (n = 1,2,3, \ ldots),}$

   где - числа Эйлера . Все корни Li _{- n} ( z ) различны и действительны; они включают z = 0, в то время как остаток отрицателен и сосредоточен вокруг z = −1 в логарифмической шкале. По мере того как n становится большим, численная оценка этих рациональных выражений все больше страдает от отмены ( Wood 1992 , § 6); Однако полная точность может быть получена путем вычисления Li _{- n} ( z ) через общее соотношение с дзета-функцией Гурвица ( см. ниже ). ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ left \ langle {п \ на вершине k} \ right \ rangle}$
2. Некоторые конкретные выражения для полуцелых значений аргумента z :

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {1} ({\ tfrac {1} {2}}) = \ ln 2}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} ({\ tfrac {1} {2}}) = {\ tfrac {1} {12}} \ pi ^ {2} - {\ tfrac {1} {2 }} (\ ln 2) ^ {2}}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {3} ({\ tfrac {1} {2}}) = {\ tfrac {1} {6}} (\ ln 2) ^ {3} - {\ tfrac {1 } {12}} \ pi ^ {2} \ ln 2 + {\ tfrac {7} {8}} \ zeta (3),}$

   где ζ - дзета-функция Римана . Формулы этого типа для высших целочисленных порядков неизвестны ( Lewin 1991 , p. 2), но есть, например, ( Borwein, Borwein & Girgensohn 1995 ):

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {4} ({\ tfrac {1} {2}}) = {\ tfrac {1} {360}} \ pi ^ {4} - {\ tfrac {1} {24 }} (\ ln 2) ^ {4} + {\ tfrac {1} {24}} \ pi ^ {2} (\ ln 2) ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} \ zeta ({\ bar {3}}, {\ bar {1}}),}$

   который включает в себя чередующуюся двойную сумму

   ${\ displaystyle \ zeta ({\ bar {3}}, {\ bar {1}}) = \ sum _ {m> n> 0} (- 1) ^ {m + n} m ^ {- 3} n ^ {- 1}.}$

   В общем случае для целых порядков n ≥ 2 ( Broadhurst 1996 , p. 9):

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {n} ({\ tfrac {1} {2}}) = - \ zeta ({\ bar {1}}, {\ bar {1}}, \ left \ {1 \ right \} ^ {n-2}),}$

   где ζ ( s ₁ ,…, s _k ) - кратная дзета-функция ; Например:

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {5} ({\ tfrac {1} {2}}) = - \ zeta ({\ bar {1}}, {\ bar {1}}, 1,1,1 ).}$

3. Как прямое следствие определения ряда, значения полилогарифма в p- м комплексных корнях из единицы задаются суммой Фурье :

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {2 \ pi im / p}) = p ^ {- s} \ sum _ {k = 1} ^ {p} e ^ {2 \ pi imk / p} \ zeta (s, {\ tfrac {k} {p}}) \ qquad (m = 1,2, \ dots, p-1),}$

   где ζ - дзета-функция Гурвица . При Re ( s )> 1, где Li _s (1) конечно, соотношение также выполняется при m = 0 или m = p . Хотя эта формула не так проста, как это подразумевается более общей связью с дзета-функцией Гурвица, перечисленной ниже в связи с другими функциями , ее преимущество также заключается в применении к неотрицательным целым значениям s . Как обычно, отношение можно инвертировать, чтобы выразить ζ ( s , ^m ⁄ _p ) для любого m = 1,…, p как сумму Фурье Li _s (exp (2 πi ^k ⁄ _p )) по k = 1,… , стр .

Связь с другими функциями

• При z = 1 полилогарифм сводится к дзета-функции Римана

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (1) = \ zeta (s) \ qquad (\ operatorname {Re} (s)> 1).}$

• Полилогарифм связан с функцией эты Дирихля и Дирихлем беты - функцией :

  ${\ Displaystyle \ OperatorName {Li} _ {s} (- 1) = - \ eta (s),}$

  где η ( s ) - эта-функция Дирихле. Для чисто мнимых аргументов мы имеем:

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (\ pm i) = - 2 ^ {- s} \ eta (s) \ pm i \ beta (s),}$

  где β ( s ) - бета-функция Дирихле.

• Полилогарифм связан с полным интегралом Ферми – Дирака следующим образом:

  ${\ displaystyle F_ {s} (\ mu) = - \ operatorname {Li} _ {s + 1} (- e ^ {\ mu}).}$

• Полилогарифм является частным случаем неполной функции полилогарифма

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = \ operatorname {Li} _ {s} (0, z).}$

• Полилогарифм является частным случаем трансцендента Лерха ( Erdélyi et al. 1981 , § 1.11-14)

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = z \ Phi (z, s, 1).}$

• Полилогарифм связан с дзета-функцией Гурвица следующим образом:

  ${\ Displaystyle \ OperatorName {Li} _ {s} (z) = {\ Gamma (1-s) \ over (2 \ pi) ^ {1-s}} \ left [i ^ {1-s} \ zeta \ left (1-s, {\ frac {1} {2}} + {\ ln (-z) \ over {2 \ pi i}} \ right) + i ^ {s-1} ~ \ zeta \ left (1-s, {\ frac {1} {2}} - {\ ln (-z) \ over {2 \ pi i}} \ right) \ right],}$

  отношении которых, однако, признана недействительной в положительное целое число с помощью полюсов в гамма - функции Г (1- з ), а при х = 0 полюса обоих дзета - функций; вывод этой формулы приведен ниже в виде серий . С небольшой помощью функционального уравнения для дзета-функции Гурвица полилогарифм, следовательно, также связан с этой функцией через ( Jonquière 1889 ):

  ${\ displaystyle i ^ {- s} \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {2 \ pi ix}) + i ^ {s} \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {- 2 \ pi ix}) = {(2 \ pi) ^ {s} \ over \ Gamma (s)} \ zeta (1-s, x),}$

  причем соотношение выполняется для 0 ≤ Re ( x ) <1, если Im ( x ) ≥ 0, и для 0 <Re ( x ) ≤ 1, если Im ( x ) <0. Эквивалентно, для всех комплексных s и для комплексных z ∉] 0; 1] формула обращения имеет вид

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) + (- 1) ^ {s} \ operatorname {Li} _ {s} (1 / z) = {(2 \ pi i) ^ {s} \ over \ Gamma (s)} ~ \ zeta \ left (1-s, ~ {\ frac {1} {2}} + {\ ln (-z) \ over {2 \ pi i}} \ right), }$

  и для всех комплексных s и комплексных z ∉] 1; ∞ [

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) + (- 1) ^ {s} \ operatorname {Li} _ {s} (1 / z) = {(2 \ pi i) ^ {s} \ over \ Gamma (s)} ~ \ zeta \ left (1-s, ~ {\ frac {1} {2}} - {\ ln (-1 / z) \ over {2 \ pi i}} \ right ).}$

  Для z ∉] 0; ∞ [ln (- z ) = −ln (- ¹ ⁄ _z ), и оба выражения согласуются. Эти соотношения дают аналитическое продолжение полилогарифма за пределы круга сходимости | z | = 1 определяющего степенного ряда. (Соответствующее уравнение Жонкьера (1889 , уравнение 5) и Эрдейи и др. (1981 , § 1.11-16) неверно, если предположить, что главные ветви полилогарифма и логарифма используются одновременно.) См. Следующий item для упрощенной формулы, когда s - целое число.

• Для положительных целых порядков полилогарифма s дзета-функция Гурвица ζ (1− s , x ) сводится к многочленам Бернулли , ζ (1− n , x ) = −B _n ( x ) / n , и формуле обращения Жонкьера для n = 1 , 2, 3,… становится:

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {n} (e ^ {2 \ pi ix}) + (- 1) ^ {n} \ operatorname {Li} _ {n} (e ^ {- 2 \ pi ix} ) = - {(2 \ pi i) ^ {n} \ over n!} B_ {n} (x),}$

  где снова 0 ≤ Re ( x ) <1, если Im ( x ) ≥ 0, и 0 <Re ( x ) ≤ 1, если Im ( x ) <0. При ограничении аргумента полилогарифма единичной окружностью Im ( x ) = 0, левая часть этой формулы упрощается до 2 Re (Li _n ( e ^{2 πix} )), если n четно, и до 2 i Im (Li _n ( e ^{2 πix} )), если n нечетно. С другой стороны, для отрицательных целых порядков дивергенция Γ ( s ) влечет для всех z следующее ( Erdélyi et al. 1981 , § 1.11-17):

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- n} (z) + (- 1) ^ {n} \ operatorname {Li} _ {- n} (1 / z) = 0 \ qquad (n = 1,2 , 3, \ ldots).}$

  В более общем случае для n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…:

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {n} (z) + (- 1) ^ {n} \ operatorname {Li} _ {n} (1 / z) = - {\ frac {(2 \ pi i) ^ {n}} {n!}} B_ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ ln (-z) \ over {2 \ pi i}} \ right) \ qquad ( z \ not \ in] 0; 1]),}$

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {n} (z) + (- 1) ^ {n} \ operatorname {Li} _ {n} (1 / z) = - {\ frac {(2 \ pi i) ^ {n}} {n!}} B_ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} - {\ ln (-1 / z) \ over {2 \ pi i}} \ right) \ qquad (z \ not \ in ~] 1; \ infty [),}$

  где оба выражения согласуются при z ∉] 0; ∞ [. (Соответствующее уравнение Жонкьера (1889 , уравнение 1) и Эрдейи и др. (1981 , § 1.11-18) снова неверно.)

• Полилогарифм с чисто мнимым μ может быть выражен через функции Клаузена Ci _s (θ) и Si _s (θ), и наоборот ( Lewin 1958 , Ch. VII § 1.4; Abramowitz & Stegun 1972 , § 27.8):

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ pm i \ theta}) = Ci_ {s} (\ theta) \ pm iSi_ {s} (\ theta).}$

• Арктангенс интеграл Ti _сек ( г ) ( Левин 1958 . Ч. VII , § 1.2) может быть выражено в терминах полилогарифмов:

  ${\ displaystyle \ operatorname {Ti} _ {s} (z) = {1 \ over 2i} \ left [\ operatorname {Li} _ {s} (iz) - \ operatorname {Li} _ {s} (- iz )\Правильно].}$

  Отношение, в частности, подразумевает:

  ${\ displaystyle \ operatorname {Ti} _ {0} (z) = {z \ over 1 + z ^ {2}}, \ quad \ operatorname {Ti} _ {1} (z) = \ arctan z, \ quad \ operatorname {Ti} _ {2} (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ arctan t \ over t} dt, \ quad \ ldots ~ \ quad \ operatorname {Ti} _ {n + 1 } (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {\ operatorname {Ti} _ {n} (t)} {t}} dt,}$

  что объясняет название функции.

• Функция хи Лежандра χ _s ( z ) ( Lewin 1958 , Ch. VII § 1.1; Boersma & Dempsey 1992 ) может быть выражена в терминах полилогарифмов:

  ${\ displaystyle \ chi _ {s} (z) = {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ operatorname {Li} _ {s} (z) - \ operatorname {Li} _ {s} (- z) \ right].}$

• Полилогарифм целого порядка можно выразить как обобщенную гипергеометрическую функцию :

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {n} (z) = z_ {n + 1} F_ {n} (1,1, \ dots, 1; 2,2, \ dots, 2; z) \ qquad ( п = 0,1,2, \ ldots),}$

  ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- n} (z) = z_ {n} F_ {n-1} (2,2, \ dots, 2; 1,1, \ dots, 1; z) \ qquad (n = 1,2,3, \ ldots) ~.}$

В терминах неполных дзета-функций или « функций Дебая » ( Abramowitz & Stegun 1972 , § 27.1):

${\ displaystyle Z_ {n} (z) = {1 \ over (n-1)!} \ int _ {z} ^ {\ infty} {t ^ {n-1} \ over e ^ {t} -1 } dt \ qquad (n = 1,2,3, \ ldots),}$

полилогарифм Li _n ( z ) для положительного целого n может быть выражен в виде конечной суммы ( Wood 1992 , § 16):

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {n} (e ^ {\ mu}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} Z_ {nk} (- \ mu) {\ mu ^ {k } \ over k!} \ qquad (n = 1,2,3, \ ldots).}$

Замечательно похожее выражение связывает «функции Дебая» Z _n ( z ) с полилогарифмом:

${\ displaystyle Z_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ operatorname {Li} _ {nk} (e ^ {- z}) {z ^ {k} \ over k!} \ qquad (n = 1,2,3, \ ldots).}$

• Используя ряд Ламберта , если - функция Джордана , то${\ Displaystyle J_ {s} (п)}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n} J _ {- s} (n)} {1-z ^ {n}}} = \ operatorname {Li} _ {s} (z).}$

Интегральные представления

Любое из следующих интегральных представлений дает аналитическое продолжение полилогарифма за круг сходимости | z | = 1 определяющего степенного ряда.

1. Полилогарифм можно выразить через интеграл от распределения Бозе – Эйнштейна :

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = {1 \ over \ Gamma (s)} \ int _ {0} ^ {\ infty} {t ^ {s-1} \ over e ^ { t} / z-1} dt.}$

   Это сходится для Re ( s )> 0 и всех z, кроме вещественных z и ≥ 1. Полилогарифм в этом контексте иногда называют интегралом Бозе, но чаще интегралом Бозе – Эйнштейна . Точно так же полилогарифм можно выразить через интеграл от распределения Ферми – Дирака :

   ${\ displaystyle - \ operatorname {Li} _ {s} (- z) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {t ^ {s-1 } \ над e ^ {t} / z + 1} dt.}$

   Это сходится для Re ( s )> 0 и всех z, кроме вещественных z и ≤ −1. Полилогарифм в этом контексте иногда называют интегралом Ферми или интегралом Ферми – Дирака ( GSL 2010 ). Эти представления легко проверяются разложением Тейлора подынтегрального выражения по z и почленным интегрированием. Работы Дингла содержат подробные исследования обоих типов интегралов. Полилогарифм также связан с интегралом от распределения Максвелла – Больцмана :

   ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to 0} {\ frac {\ operatorname {Li} _ {s} (z)} {z}} = {1 \ over \ Gamma (s)} \ int _ {0} ^ {\ infty} {t ^ {s-1} e ^ {- t}} dt = 1.}$

   Это также дает асимптотику полилогарифма в окрестности начала координат.
2. Дополнительное интегральное представление применяется к Re ( s ) <0 и ко всем z, кроме z real и ≥ 0:

   ${\ Displaystyle \ OperatorName {Li} _ {s} (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {t ^ {- s} \ sin [s \ pi / 2-t \ ln (-z) ] \ over \ sh (\ pi t)} dt.}$

   Этот интеграл следует из общей связи полилогарифма с дзета-функцией Гурвица ( см. Выше ) и знакомого интегрального представления последней.
3. Полилогарифм в самом общем виде может быть представлен контурным интегралом Ганкеля ( Whittaker & Watson 1927 , § 12.22, § 13.13), который расширяет представление Бозе – Эйнштейна до отрицательных порядков s . Пока полюс t = μ подынтегрального выражения не лежит на неотрицательной действительной оси и s 1, 2, 3,…, мы имеем:

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ mu}) = - {{\ Gamma (1-s)} \ over {2 \ pi i}} \ oint _ {H} {{( -t) ^ {s-1}} \ over {e ^ {t- \ mu} -1}} dt}$

   где H представляет собой контур Ганкеля. Подынтегральное выражение имеет разрез вдоль действительной оси от нуля до бесконечности, причем ось принадлежит нижней полуплоскости t . Интегрирование начинается в + ∞ в верхней полуплоскости (Im ( t )> 0), обходит начало координат, не охватывая ни один из полюсов t = µ + 2 kπi , и заканчивается в + ∞ в нижней полуплоскости (Im ( t ) <0). Для случая, когда µ вещественно и неотрицательно, мы можем просто вычесть вклад заключенного в него полюса t = µ :

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ mu}) = - {{\ Gamma (1-s)} \ over {2 \ pi i}} \ oint _ {H} {{( -t) ^ {s-1}} \ over {e ^ {t- \ mu}} - 1} dt-2 \ pi iR}$

   где R - вычет полюса:

   ${\ Displaystyle R = {я \ более 2 \ pi} \ Gamma (1-s) (- \ mu) ^ {s-1}.}$

4. Когда формула Абеля – Плана применяется к определяющему ряду полилогарифма, получается интегральное представление типа Эрмита , которое справедливо для всех комплексных z и для всех комплексных s :

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = {\ tfrac {1} {2}} z + {\ Gamma (1-s, - \ ln z) \ over (- \ ln z) ^ { 1-s}} + 2z \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (s \ arctan tt \ ln z)} {(1 + t ^ {2}) ^ {s / 2} (е ^ {2 \ pi t} -1)}} dt}$

   где Γ - верхняя неполная гамма-функция . Все (но не часть) ln ( z ) в этом выражении можно заменить на −ln ( ¹ ⁄ _z ). Связанное представление, которое также верно для всех комплексных s ,

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = {\ tfrac {1} {2}} z + z \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin [s \ arctan tt \ ln (-z)]} {(1 + t ^ {2}) ^ {s / 2} \ sinh (\ pi t)}} dt,}$

   избегает использования неполной гамма-функции, но этот интеграл не выполняется для z на положительной вещественной оси, если Re ( s ) ≤ 0. Это выражение находится путем записи 2 ^s Li _s (- z ) / (- z ) = Φ ( z ² , s , ¹ ⁄ ₂ ) - z Φ ( z ² , s , 1), где Φ - трансцендент Лерха , и применение формулы Абеля – Планы к первому ряду Φ и дополнительной формулы, включающей 1 / ( e ^{2 πt} + 1) вместо 1 / ( e ^{2 πt} - 1) во второй ряд Φ.
5. Как указано в, мы можем выразить интеграл для полилогарифма, интегрируя обычный геометрический ряд почленно для при как ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {N}}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s + 1} (z) = {\ frac {z \ cdot (-1) ^ {s}} {s!}} \ int _ {0} ^ {1} { \ frac {\ log ^ {s} (t)} {1-tz}} dt.}$

Представления серий

1. Как отмечалось выше под интегральными представлениями , интегральное представление полилогарифма Бозе – Эйнштейна может быть расширено до отрицательных порядков s с помощью контурного интегрирования Ганкеля :

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ mu}) = - {\ Gamma (1-s) \ over 2 \ pi i} \ oint _ {H} {(- t) ^ { s-1} \ over e ^ {t- \ mu} -1} dt,}$

   где H - контур Ганкеля, s 1, 2, 3,…, а полюс t = μ подынтегральной функции не лежит на неотрицательной действительной оси. Контур может быть изменен так , что он окружает полюса подынтегральной при т - μ = 2 kπi , а интеграл может быть оценена как сумма остатков ( Wood 1992 , § 12, 13; Gradshteyn & Рыжик 1980 , § 9.553 ): ошибка harvnb: нет цели: CITEREFGradshteynRyzhik1980 ( помощь )

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ mu}) = \ Gamma (1-s) \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (2k \ pi i- \ му) ^ {s-1}.}$

   Это будет справедливо для Re ( s ) <0 и всех μ, кроме случаев, когда e ^μ = 1. Для 0 <Im ( µ ) ≤ 2 π сумма может быть разделена на:

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ mu}) = \ Gamma (1-s) \ left [(- 2 \ pi i) ^ {s-1} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (k + {\ mu \ over {2 \ pi i}} \ right) ^ {s-1} + (2 \ pi i) ^ {s-1} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (k + 1 - {\ mu \ over {2 \ pi i}} \ right) ^ {s-1} \ right],}$

   где две серии теперь можно отождествить с дзета-функцией Гурвица :

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ mu}) = {\ Gamma (1-s) \ over (2 \ pi) ^ {1-s}} \ left [i ^ {1 -s} ~ \ zeta \ left (1-s, ~ {\ mu \ over {2 \ pi i}} \ right) + i ^ {s-1} ~ \ zeta \ left (1-s, ~ 1- {\ mu \ over {2 \ pi i}} \ right) \ right] \ qquad (0 <\ operatorname {Im} (\ mu) \ leq 2 \ pi).}$

   Это соотношение, которое уже было дано в связи с другими функциями выше, справедливо для всех комплексных s 0, 1, 2, 3,… и впервые было получено в ( Jonquière 1889 , уравнение 6).
2. Чтобы представить полилогарифм в виде степенного ряда около µ = 0, запишем ряд, полученный из контурного интеграла Ганкеля, как:

   ${\ Displaystyle \ OperatorName {Li} _ {s} (е ^ {\ mu}) = \ Gamma (1-s) (- \ mu) ^ {s-1} + \ Gamma (1-s) \ sum _ {h = 1} ^ {\ infty} \ left [(- 2h \ pi i- \ mu) ^ {s-1} + (2h \ pi i- \ mu) ^ {s-1} \ right].}$

   Когда биномиальные степени в сумме разлагаются до µ = 0 и порядок суммирования меняется на противоположный, сумма по h может быть выражена в замкнутой форме:

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ mu}) = \ Gamma (1-s) (- \ mu) ^ {s-1} + \ sum _ {k = 0} ^ { \ infty} {\ zeta (sk) \ over k!} \ mu ^ {k}.}$

   Этот результат верен для | µ | <2 π и, благодаря аналитическому продолжению, обеспечиваемому дзета-функциями , для всех s ≠ 1, 2, 3,…. Если порядок является положительным целым числом, s = n , и член с k = n - 1, и гамма-функция становятся бесконечными, хотя их сумма - нет. Получается ( Wood 1992 , § 9; Gradshteyn & Ryzhik 1980 , § 9.554 ): ошибка harvnb: нет цели: CITEREFGradshteynRyzhik1980 ( помощь )

   ${\ displaystyle \ lim _ {s \ to k + 1} \ left [{\ zeta (sk) \ over k!} \ mu ^ {k} + \ Gamma (1-s) (- \ mu) ^ {s -1} \ right] = {\ mu ^ {k} \ over k!} \ Left [\ sum _ {h = 1} ^ {k} {1 \ over h} - \ ln (- \ mu) \ right ],}$

   где сумма по h обращается в нуль, если k = 0. Итак, для положительных целых порядков и для | μ | <2 π имеем ряд:

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {n} (e ^ {\ mu}) = {\ mu ^ {n-1} \ over (n-1)!} \ left [H_ {n-1} - \ ln (- \ mu) \ right] + \ sum _ {k = 0, k \ neq n-1} ^ {\ infty} {\ zeta (nk) \ over k!} \ mu ^ {k},}$

   где H _n обозначает номер n- й гармоники :

   ${\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {h = 1} ^ {n} {1 \ over h}, \ qquad H_ {0} = 0.}$

   Теперь члены задачи содержат −ln (- μ ), которое при умножении на μ ^{n −1} будет стремиться к нулю при μ → 0, за исключением n = 1. Это отражает тот факт, что Li _s ( z ) демонстрирует истинный логарифмический особенность при s = 1 и z = 1, поскольку:

   ${\ displaystyle \ lim _ {\ mu \ to 0} \ Gamma (1-s) (- \ mu) ^ {s-1} = 0 \ qquad (\ operatorname {Re} (s)> 1).}$

   Для s, близкого, но не равного положительному целому числу, можно ожидать , что расходящиеся члены в разложении около µ = 0 вызовут вычислительные трудности ( Wood 1992 , § 9). Соответствующее разложение Эрдейи ( Erdélyi et al.1981, § 1.11-15) по степеням ln ( z ) неверно, если предположить, что главные ветви полилогарифма и логарифма используются одновременно, поскольку ln ( ¹ ⁄ _z ) равно не равно равномерно −ln ( z ). Для неположительных целых значений s дзета-функция ζ ( s - k ) в разложении µ = 0 сводится к числам Бернулли : ζ (- n - k ) = −B _{1+ n + k} / (1 + n + k ). Численная оценка Li _{- n} ( z ) с помощью этого ряда не страдает от эффектов сокращения, которые конечные рациональные выражения, приведенные при определенных значениях выше, демонстрируют для больших n .
3. Используя личность

   ${\ displaystyle 1 = {1 \ over \ Gamma (s)} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} t ^ {s-1} dt \ qquad (\ operatorname {Re} (s )> 0),}$

   интегральное представление полилогарифма Бозе – Эйнштейна ( см. выше ) можно представить в виде:

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = {\ tfrac {1} {2}} z + {z \ over 2 \ Gamma (s)} \ int _ {0} ^ {\ infty} е ^ {- t} t ^ {s-1} \ coth {t- \ ln z \ over 2} dt \ qquad (\ operatorname {Re} (s)> 0).}$

   Замена гиперболического котангенса на двусторонний ряд,

   ${\ displaystyle \ coth {t- \ ln z \ over 2} = 2 \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over 2k \ pi i + t- \ ln z},}$

   затем меняя порядок интеграла и суммы и, наконец, отождествляя слагаемые с интегральным представлением верхней неполной гамма-функции , получаем:

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = {\ tfrac {1} {2}} z + \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ Gamma (1-s, 2k \ pi i- \ ln z) \ over (2k \ pi i- \ ln z) ^ {1-s}}.}$

   Как для двустороннего ряда этого результата, так и для гиперболического котангенса симметричные частичные суммы от - k _max до k _max безусловно сходятся при k _max → ∞. При условии, что суммирование выполняется симметрично, этот ряд для Li _s ( z ), таким образом, верен для всех комплексных s, а также для всех комплексных z .
4. Вводя явное выражение для чисел Стирлинга второго рода в конечную сумму для полилогарифма неположительного целого порядка ( см. Выше ), можно записать:

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left ({- z \ over 1-z} \ right) ^ {k + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j + 1} {k \ choose j} (j + 1) ^ {n} \ qquad (n = 0,1,2, \ ldots ).}$

   Бесконечный ряд, полученный простым продолжением внешнего суммирования до ∞ ( Guillera & Sondow, 2008 , теорема 2.1):

   ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left ({- z \ over 1-z} \ right) ^ {k + 1} ~ \ sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j + 1} {k \ choose j} (j + 1) ^ {- s},}$

   оказывается сходящимся к полилогарифму для всех комплексных s и комплексных z с Re ( z ) < ¹ ⁄ ₂ , что можно проверить для | ^{- z} ⁄ _{(1− z )} | < ¹ ⁄ ₂ , изменив порядок суммирования и используя:

   ${\ displaystyle \ sum _ {k = j} ^ {\ infty} {k \ select j} \ left ({- z \ over 1-z} \ right) ^ {k + 1} = \ left [\ left ( {-z \ over 1-z} \ right) ^ {- 1} -1 \ right] ^ {- j-1} = (- z) ^ {j + 1}.}$

   Внутренние коэффициенты этих рядов могут быть выражены формулами, относящимися к числу Стирлинга, с использованием обобщенных гармонических чисел . Например, см. Преобразования производящей функции, чтобы найти доказательства (ссылки на доказательства) следующих тождеств:

   ${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Li} _ {2} (z) & = \ sum _ {j \ geq 1} {\ frac {(-1) ^ {j-1}} {2} } \ left (H_ {j} ^ {2} + H_ {j} ^ {(2)} \ right) {\ frac {z ^ {j}} {(1-z) ^ {j + 1}}} \\\ operatorname {Li} _ {3} (z) & = \ sum _ {j \ geq 1} {\ frac {(-1) ^ {j-1}} {6}} \ left (H_ {j } ^ {3} + 3H_ {j} H_ {j} ^ {(2)} + 2H_ {j} ^ {(3)} \ right) {\ frac {z ^ {j}} {(1-z) ^ {j + 1}}}. \ end {выравнивается}}}$

   Для других аргументов с Re ( z ) < ¹ ⁄ ₂ результат следует аналитическим продолжением . Эта процедура эквивалентна применению преобразования Эйлера к ряду по z , определяющему полилогарифм.

Асимптотические разложения

Для | z | 1, полилогарифм можно разложить в асимптотический ряд по ln (- z ):

${\ Displaystyle \ OperatorName {Li} _ {s} (z) = {\ pm i \ pi \ over \ Gamma (s)} [\ ln (-z) \ pm i \ pi] ^ {s-1} - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} (2 \ pi) ^ {2k} {B_ {2k} \ over (2k)!} {[\ ln (-z) \ pm i \ pi] ^ {s-2k} \ over \ Gamma (s + 1-2k)},}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} (1-2 ^ {1-2k}) (2 \ pi) ^ {2k} {B_ {2k} \ over (2k)!} {[\ ln (-z)] ^ {s-2k} \ over \ Gamma (s + 1-2k)},}$

где B _{2 k} - числа Бернулли . Обе версии верны для всех s и для любого arg ( z ). Как обычно, суммирование должно быть прекращено, когда члены начинают расти по величине. Для отрицательного целого s разложения полностью исчезают; для целого неотрицательного s они обрываются после конечного числа членов. Вуд (1992 , § 11) описывает метод получения этих рядов из интегрального представления Бозе – Эйнштейна (его уравнение 11.2 для Li _s ( e ^µ ) требует −2 π <Im ( µ ) ≤ 0).

Ограничивающее поведение

Следующие ограничения являются результатом различных представлений полилогарифма ( Wood 1992 , § 22):

${\ displaystyle \ lim _ {| z | \ to 0} \ operatorname {Li} _ {s} (z) = z}$

${\ displaystyle \ lim _ {| \ mu | \ to 0} \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ mu}) = \ Gamma (1-s) (- \ mu) ^ {s-1 } \ qquad (\ operatorname {Re} (s) <1)}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ operatorname {Re} (\ mu) \ to \ infty} \ operatorname {Li} _ {s} (\ pm e ^ {\ mu}) = - {\ mu ^ {s} \ над \ Gamma (s + 1)} \ qquad (s \ neq -1, -2, -3, \ ldots)}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ operatorname {Re} (\ mu) \ to \ infty} \ operatorname {Li} _ {- n} (e ^ {\ mu}) = - (- 1) ^ {n} e ^ {- \ mu} \ qquad (n = 1,2,3, \ ldots)}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ operatorname {Re} (s) \ to \ infty} \ operatorname {Li} _ {s} (z) = z}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ operatorname {Re} (s) \ to - \ infty} \ operatorname {Li} _ {s} (e ^ {\ mu}) = \ Gamma (1-s) (- \ mu ) ^ {s-1} \ qquad (- \ pi <\ operatorname {Im} (\ mu) <\ pi)}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ operatorname {Re} (s) \ to - \ infty} \ operatorname {Li} _ {s} (- e ^ {\ mu}) = \ Gamma (1-s) \ left [ (- \ mu -i \ pi) ^ {s-1} + (- \ mu + i \ pi) ^ {s-1} \ right] \ qquad (\ operatorname {Im} (\ mu) = 0)}$

Первый предел Вуда для Re ( µ ) → ∞ был скорректирован в соответствии с его уравнением 11.3. Предел для Re ( s ) → −∞ следует из общей связи полилогарифма с дзета-функцией Гурвица ( см. Выше ).

Дилогарифм

Дилогарифм - это полилогарифм порядка s = 2. Альтернативным интегральным выражением дилогарифма для произвольного комплексного аргумента z является ( Abramowitz & Stegun 1972 , § 27.7):

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) = - \ int _ {0} ^ {z} {\ ln (1-t) \ over t} dt = - \ int _ {0} ^ { 1} {\ ln (1-zt) \ over t} dt.}$

Источник путаницы состоит в том, что некоторые системы компьютерной алгебры определяют дилогарифм как dilog ( z ) = Li ₂ (1 - z ).

В случае действительного z ≥ 1 первое интегральное выражение для дилогарифма можно записать как

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - \ int _ {1} ^ {z} {\ ln (t-1) \ над t} dt-i \ pi \ ln z}$

откуда, разлагая ln ( t −1) и почленно интегрируя, получаем

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}} - {\ frac {1} {2}} (\ ln z) ^ {2 } - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {1 \ over k ^ {2} z ^ {k}} - i \ pi \ ln z \ qquad (z \ geq 1).}$

Абель идентичность для дилогарифма дается формулой ( Abel 1881 )

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {x} {1-y}} \ right) + \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {y} { 1-x}} \ right) - \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {xy} {(1-x) (1-y)}} \ right) = \ operatorname {Li} _ {2} (x) + \ operatorname {Li} _ {2} (y) + \ ln (1-x) \ ln (1-y)}$

${\ displaystyle (\ operatorname {Re} (x) \ leq {\ tfrac {1} {2}} \ wedge \ operatorname {Re} (y) \ leq {\ tfrac {1} {2}} \ vee \ operatorname {Im} (x)> 0 \ wedge \ operatorname {Im} (y)> 0 \ vee \ operatorname {Im} (x) <0 \ wedge \ operatorname {Im} (y) <0 \ vee \ ldots). }$

Сразу видно, что это справедливо либо для x = 0, либо для y = 0, и, исходя из общих соображений, это легко проверить дифференцированием ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y . Для у = 1- х тождество сводится к Эйлеру «с отражением формулы

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} \ left (x \ right) + \ operatorname {Li} _ {2} \ left (1-x \ right) = {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {2} - \ ln (x) \ ln (1-x),}$

где Li ₂ (1) = ζ (2) = ¹ ⁄ ₆ π ² , а x может принимать любое комплексное значение.

В терминах новых переменных u = x / (1 - y ), v = y / (1 - x ) тождество Абеля имеет вид

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (u) + \ operatorname {Li} _ {2} (v) - \ operatorname {Li} _ {2} (uv) = \ operatorname {Li} _ {2 } \ left ({\ frac {u-uv} {1-uv}} \ right) + \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {v-uv} {1-uv}} \ right ) + \ ln \ left ({\ frac {1-u} {1-uv}} \ right) \ ln \ left ({\ frac {1-v} {1-uv}} \ right),}$

что соответствует тождеству пятиугольника, приведенному в ( Rogers 1907 ).

Из тождества Абеля для x = y = 1 - z и квадратного соотношения мы получаем тождество Ландена

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (1-z) + \ operatorname {Li} _ {2} \ left (1 - {\ frac {1} {z}} \ right) = - {\ frac {1} {2}} (\ ln z) ^ {2} \ qquad (z \ not \ in ~] - \ infty; 0]),}$

и применяя формулу отражения к каждому дилогарифму, мы находим формулу обращения

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) + \ operatorname {Li} _ {2} (1 / z) = - {\ tfrac {1} {6}} \ pi ^ {2} - { \ tfrac {1} {2}} [\ ln (-z)] ^ {2} \ qquad (z \ not \ in [0; 1 [),}$

а для действительного z ≥ 1 также

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) + \ operatorname {Li} _ {2} (1 / z) = {\ tfrac {1} {3}} \ pi ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} (\ ln z) ^ {2} -i \ pi \ ln z.}$

Известные оценки дилогарифма в закрытой форме при особых аргументах собраны в таблице ниже. Аргументы в первом столбце связаны отражением x ↔ 1− x или инверсией x ↔ ¹ ⁄ _x либо с x = 0, либо с x = −1; все аргументы в третьем столбце связаны этими операциями.

Максимон (2003) обсуждает ссылки 17-19 веков. Формула отражения была уже опубликована Ланденом в 1760 году до того, как она появилась в книге Эйлера 1768 года ( Maximon 2003 , § 10); эквивалент личности Абеля был уже опубликован Спенсом в 1809 году, до того, как Абель написал свою рукопись в 1826 году ( Zagier 1989 , § 2). Обозначение « билогарифмическая функция» было введено Карлом Йоханом Даниэльссоном Хиллом (профессором из Лунда, Швеция) в 1828 году ( Maximon 2003 , § 10). Дон Загир  ( 1989 ) заметил, что дилогарифм - единственная математическая функция, обладающая чувством юмора.

Особые значения дилогарифма

${\ displaystyle x}$	${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (x)}$	${\ displaystyle x}$	${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (x)}$
${\ displaystyle -1}$	${\ displaystyle - {\ tfrac {1} {12}} \ pi ^ {2}}$	${\ displaystyle - \ phi}$	${\ displaystyle - {\ tfrac {1} {10}} \ pi ^ {2} - \ ln ^ {2} \ phi}$
${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle -1 / \ phi}$	${\ displaystyle - {\ tfrac {1} {15}} \ pi ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} \ ln ^ {2} \ phi}$
${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {12}} \ pi ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} \ ln ^ {2} 2}$	${\ displaystyle 1 / \ phi ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {15}} \ pi ^ {2} - \ ln ^ {2} \ phi}$
${\ displaystyle 1}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {6}} \ pi ^ {2}}$	${\ displaystyle 1 / \ phi}$	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {10}} \ pi ^ {2} - \ ln ^ {2} \ phi}$
${\ displaystyle 2}$	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} \ pi ^ {2} - \ pi i \ ln 2}$	${\ displaystyle \ phi}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {11} {15}} \ pi ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} \ ln ^ {2} (- 1 / \ phi)}$
		${\ displaystyle \ phi ^ {2}}$	${\ displaystyle - {\ tfrac {11} {15}} \ pi ^ {2} - \ ln ^ {2} (- \ phi)}$

Здесь обозначает золотое сечение .${\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {5}} + 1)}$

Лестницы из полилогарифма

Леонард Левин открыл замечательное и широкое обобщение ряда классических соотношений полилогарифма для особых значений. Теперь они называются лестницами полилогарифма . Определите как величину, обратную золотому сечению . Тогда два простых примера лестниц дилогарифма: ${\ displaystyle \ rho = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {5}} - 1)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (\ rho ^ {6}) = 4 \ operatorname {Li} _ {2} (\ rho ^ {3}) + 3 \ operatorname {Li} _ {2} (\ rho ^ {2}) - 6 \ operatorname {Li} _ {2} (\ rho) + {\ tfrac {7} {30}} \ pi ^ {2}}$

данные Coxeter  ( 1935 ) и

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (\ rho) = {\ tfrac {1} {10}} \ pi ^ {2} - \ ln ^ {2} \ rho}$

дано Ланденом . Полилогарифмовые лестницы естественным образом и глубоко используются в K-теории и алгебраической геометрии . Полилогарифмовые лестницы служат основой для быстрых вычислений различных математических констант с помощью алгоритма BBP ( Bailey, Borwein & Plouffe 1997 ).

Монодромия

Полилогарифм имеет две точки ветвления ; одна при z = 1 и другая при z = 0. Вторая точка ветвления при z = 0 не видна на основном листе полилогарифма; он становится видимым только тогда, когда функция аналитически продолжается на другие ее листы. Группа монодромии полилогарифма состоит из гомотопических классов петель, которые наматываются вокруг двух точек ветвления. Обозначив эти два числа m ₀ и m ₁ , группа монодромии имеет групповое представление

${\ displaystyle \ langle m_ {0}, m_ {1} \ vert w = m_ {0} m_ {1} m_ {0} ^ {- 1} m_ {1} ^ {- 1}, wm_ {1} = m_ {1} w \ rangle.}$

В частном случае дилогарифма wm ₀ = m ₀ w , и группа монодромии становится группой Гейзенберга (отождествляя m ₀ , m ₁ и w с x , y , z ) ( Vepstas, 2008 ).

использованная литература

• Абель, Н.Х. (1881) [1826]. "Note sur la fonction " ${\ displaystyle \ scriptstyle \ psi x = x + {\ frac {x ^ {2}} {2 ^ {2}}} + {\ frac {x ^ {3}} {3 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {n}} {n ^ {2}}} + \ cdots}$ (PDF) . In Sylow, L .; Ли, С. (ред.). Uvres complete de Niels Henrik Abel - Nouvelle édition, Tome II (на французском языке). Христиания [Осло]: Grøndahl & Søn. С. 189–193. (Эта рукопись 1826 года была опубликована только посмертно.)
• Abramowitz, M .; Стегун И.А. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Апостол, TM (2010), «Полилогарифм» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Бейли, DH ; Borwein, PB ; Plouffe, S. (апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 903–913. Bibcode : 1997MaCom..66..903B . DOI : 10.1090 / S0025-5718-97-00856-9 .
• Бейли, DH; Бродхерст, ди-джей (20 июня 1999 г.). "Лестница полилогарифма семнадцатого порядка". arXiv : math.CA/9906134 .
• Берндт, Британская Колумбия (1994). Записные книжки Рамануджана, часть IV . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 323–326. ISBN 978-0-387-94109-7.
• Boersma, J .; Демпси, JP (1992). «Об оценке хи-функции Лежандра» . Математика вычислений . 59 (199): 157–163. DOI : 10.2307 / 2152987 . JSTOR  2152987 .
• Борвейн, Д .; Borwein, JM ; Гиргенсон, Р. (1995). «Явное вычисление сумм Эйлера» (PDF) . Труды Эдинбургского математического общества . Серия 2. 38 (2): 277–294. DOI : 10.1017 / S0013091500019088 .
• Borwein, JM; Брэдли, DM; Бродхерст, диджей; Лисонек, П. (2001). «Особые значения кратных полилогарифмов». Труды Американского математического общества . 353 (3): 907–941. arXiv : math / 9910045 . DOI : 10.1090 / S0002-9947-00-02616-7 . S2CID  11373360 .
• Бродхерст, ди-джей (21 апреля 1996 г.). «О перечислении неприводимых k-кратных сумм Эйлера и их роли в теории узлов и теории поля». arXiv : hep-th / 9604128 .
• Клуни, Дж. (1954). «О функциях Бозе-Эйнштейна». Труды физического общества . Серия А. 67 (7): 632–636. Bibcode : 1954PPSA ... 67..632C . DOI : 10.1088 / 0370-1298 / 67/7/308 .
• Cohen, H .; Lewin, L .; Загир, Д. (1992). "Полилогарифмовая лестница шестнадцатого порядка" (PS) . Экспериментальная математика . 1 (1): 25–34.
• Кокстер, HSM (1935). «Функции Шлефли и Лобачефского». Ежеквартальный математический журнал . 6 (1): 13–29. Bibcode : 1935QJMat ... 6 ... 13C . DOI : 10.1093 / qmath / os-6.1.13 . JFM  61.0395.02 .
• Cvijovic, D .; Клиновский, Дж. (1997). «Разложения в непрерывную дробь для дзета-функции Римана и полилогарифмы» (PDF) . Труды Американского математического общества . 125 (9): 2543–2550. DOI : 10.1090 / S0002-9939-97-04102-6 .
• Цвийович, Д. (2007). «Новые интегральные представления функции полилогарифма». Труды Королевского общества А . 463 (2080): 897–905. arXiv : 0911.4452 . Bibcode : 2007RSPSA.463..897C . DOI : 10.1098 / rspa.2006.1794 . S2CID  115156743 .
• Erdélyi, A .; Magnus, W .; Оберхеттингер, Ф .; Трикоми, Ф.Г. (1981). Высшие трансцендентные функции, Vol. 1 (PDF) . Малабар, Флорида: RE Krieger Publishing. ISBN 978-0-89874-206-0. (это перепечатка оригинала МакГроу – Хилла 1953 года.)
• Fornberg, B .; Кёльбиг, KS (1975). «Комплексные нули функции Жонкьера или полилогарифма» . Математика вычислений . 29 (130): 582–599. DOI : 10.2307 / 2005579 . JSTOR  2005 579 .
• Научная библиотека GNU (2010). «Справочное руководство» . Проверено 13 июня 2010 .
• Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015 г.) [октябрь 2014 г.]. «9.553.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. стр. 1050. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276 .
• Guillera, J .; Сондоу, Дж. (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Журнал Рамануджана . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT / 0506319 . DOI : 10.1007 / s11139-007-9102-0 . S2CID  119131640 .
• Хайн, РМ (25 марта 1992 г.). «Классические полилогарифмы». arXiv : alg-geom / 9202022 .
• Jahnke, E .; Эмде, Ф. (1945). Таблицы функций с формулами и кривыми (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
• Жонкьер, А. (1889). "Note sur la série " ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n ^ {s}}}}$ (PDF) . Бюллетень математического общества Франции (на французском языке). 17 : 142–152. DOI : 10,24033 / bsmf.392 . JFM  21.0246.02 .
• Kölbig, KS; Mignaco, JA; Ремидди, Э. (1970). «Об обобщенных полилогарифмах Нильсена и их численном расчете» . БИТ . 10 : 38–74. DOI : 10.1007 / BF01940890 . S2CID  119672619 .
• Кириллов, АН (1995). «Дилогарифм тождеств». Приложение "Прогресс теоретической физики" . 118 : 61–142. arXiv : hep-th / 9408113 . Bibcode : 1995PThPS.118 ... 61K . DOI : 10.1143 / PTPS.118.61 . S2CID  119177149 .
• Левин, Л. (1958). Дилогарифмы и связанные с ними функции . Лондон: Макдональд. Руководство по ремонту  0105524 .
• Левин, Л. (1981). Полилогарифмы и связанные с ними функции . Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-444-00550-2.
• Левин, Л., изд. (1991). Структурные свойства полилогарифмов . Математические обзоры и монографии. 37 . Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. ISBN 978-0-8218-1634-9.
• Маркман, Б. (1965). «Дзета-функция Римана». БИТ . 5 : 138–141.
• Максимон, LC (2003). «Функция дилогарифма для сложного аргумента». Труды Королевского общества А . 459 (2039): 2807–2819. Bibcode : 2003RSPSA.459.2807M . DOI : 10.1098 / rspa.2003.1156 . S2CID  122271244 .
• McDougall, J .; Стоунер, EC (1938). «Вычисление функций Ферми-Дирака» . Философские труды Королевского общества А . 237 (773): 67–104. Bibcode : 1938RSPTA.237 ... 67M . DOI : 10,1098 / rsta.1938.0004 . JFM  64.1500.04 .
• Нильсен, Н. (1909). "Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen. Eine Monographie". Nova Acta Leopoldina (на немецком языке). Галле - Лейпциг, Германия: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher. XC (3): 121–212. JFM  40.0478.01 .
• Прудников, АП; Маричев О.И.; Брычков, Ю.А. (1990). Интегралы и ряды. 3: Дополнительные специальные функции . Ньюарк, Нью-Джерси: Гордон и Брич. ISBN 978-2-88124-682-1. (см. п. 1.2, «Обобщенная дзета-функция, многочлены Бернулли, многочлены Эйлера и полилогарифмы», стр. 23.)
• Робинсон, Дж. Э. (1951). «Замечание об интегральных функциях Бозе-Эйнштейна». Физический обзор . Серия 2. 83 (3): 678–679. Bibcode : 1951PhRv ... 83..678R . DOI : 10.1103 / PhysRev.83.678 .
• Роджерс, LJ (1907). «О функциональных теоремах о суммах, связанных с сериями »${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n ^ {2}}}}$ . Труды Лондонского математического общества (2) . 4 (1): 169–189. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-4.1.169 . JFM  37.0428.03 .
• Шредингер, Э. (1952). Статистическая термодинамика (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
• Трусделл, К. (1945). «О функции, встречающейся в теории строения полимеров». Анналы математики . Вторая серия. 46 (1): 144–157. DOI : 10.2307 / 1969153 . JSTOR  1969 153 .
• Вепстас, Л. (2008). «Эффективный алгоритм для ускорения сходимости колебательного ряда, полезный для вычисления полилогарифма и дзета-функций Гурвица». Численные алгоритмы . 47 (3): 211–252. arXiv : math.CA/0702243 . Bibcode : 2008NuAlg..47..211V . DOI : 10.1007 / s11075-007-9153-8 . S2CID  15131811 .
• Whittaker, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.(это издание переиздавалось много раз, в мягкой обложке 1996 года есть ISBN  0-521-09189-6 .)
• Wirtinger, W. (1905). "Über eine besondere Dirichletsche Reihe". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке). 1905 (129): 214–219. DOI : 10,1515 / crll.1905.129.214 . JFM  37.0434.01 . S2CID  199545536 .
• Вуд, округ Колумбия (июнь 1992 г.). «Вычисление полилогарифмов. Технический отчет 15-92 *» (ПС) . Кентербери, Великобритания: Компьютерная лаборатория Кентского университета . Проверено 1 ноября 2005 .
• Загир, Д. (1989). «Функция дилогарифма в геометрии и теории чисел». Теория чисел и смежные вопросы: доклады , представленные на Рамануджан коллоквиума, Бомбей, 1988 . Исследования по математике. 12 . Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата и издательство Оксфордского университета. С. 231–249. ISBN 0-19-562367-3.(также появился как «Замечательный дилогарифм» в Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), стр. 131–145, и как Глава I ( Zagier 2007 ).)
• Загир, Д. (2007). «Функция дилогарифма» (PDF) . В Картье, ЧП; и другие. (ред.). Границы теории чисел, физики и геометрии II - О конформных теориях поля, дискретных группах и перенормировке . Берлин: Springer-Verlag. С. 3–65. ISBN 978-3-540-30307-7.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полилогарифм» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Дилогарифм» . MathWorld .
• Алгоритмы в аналитической теории чисел обеспечивают реализацию произвольной точности на основе GMP и лицензию GPL .