Специальные функции - Special functions

‹Приведенный ниже шаблон ( требуется больше ссылок ) рассматривается для объединения. См. Шаблоны для обсуждения, чтобы помочь достичь консенсуса. ›

Специальные функции - это особые математические функции, которые имеют более или менее установленные имена и обозначения из-за их важности в математическом анализе , функциональном анализе , геометрии , физике или других приложениях.

Термин определяется консенсусом и, следовательно, не имеет общего формального определения, но Список математических функций содержит функции, которые обычно считаются специальными.

Таблицы специальных функций

Многие специальные функции появляются как решения дифференциальных уравнений или интегралов от элементарных функций . Поэтому таблицы интегралов обычно включают описания специальных функций, а таблицы специальных функций включают наиболее важные интегралы; по крайней мере, интегральное представление специальных функций. Поскольку симметрия дифференциальных уравнений существенна как для физики и математики, теория специальных функций тесно связана с теорией групп Ли и алгебр Ли , а также некоторые темы в математической физике .

Механизмы символьных вычислений обычно распознают большинство специальных функций.

Обозначения, используемые для специальных функций

Функции с установленными международными обозначениями - это синус ( ), косинус ( ), экспоненциальная функция ( ) и функция ошибок ( или ). ${\ displaystyle \ sin}$ ${\ displaystyle \ cos}$ ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ operatorname {erf}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {erfc}}$

Некоторые специальные функции имеют несколько обозначений:

Натуральный логарифм может быть обозначен , , , или в зависимости от контекста. ${\ displaystyle \ ln}$ ${\ displaystyle \ log}$ ${\ displaystyle \ log _ {e}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Log}}$
Касательная функция может быть обозначена , или ( используется в основном в русском и болгарском литературе). ${\ displaystyle \ tan}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tan}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tg}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tg}}$
Арктангенс может быть обозначен , , , или . ${\ displaystyle \ arctan}$ ${\ displaystyle \ operatorname {atan}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {arctg}}$ ${\ displaystyle \ tan ^ {- 1}}$
Функции Бесселя можно обозначить
- ${\ Displaystyle J_ {п} (х),}$
- ${\ Displaystyle \ OperatorName {besselj} (п, х),}$
- ${\ displaystyle {\ rm {BesselJ}} [n, x].}$

Индексы часто используются для обозначения аргументов, обычно целых чисел. В некоторых случаях в качестве разделителя используется точка с запятой (;) или даже обратная косая черта (\). В этом случае перевод на алгоритмические языки допускает двусмысленность и может привести к путанице.

Верхние индексы могут указывать не только на возведение в степень, но и на модификацию функции. Примеры (особенно с тригонометрическими функциями и гиперболическими функциями ) включают:

${\ Displaystyle \ соз ^ {3} (х)}$ обычно указывает ${\ Displaystyle (\ соз (х)) ^ {3}}$
${\ Displaystyle \ соз ^ {2} (х)}$ обычно , но никогда ${\ Displaystyle (\ соз (х)) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ соз (\ соз (х))}$
${\ Displaystyle \ соз ^ {- 1} (х)}$ обычно означает , а не ; это обычно вызывает наибольшую путаницу, поскольку интерпретация с этим значением экспоненты несовместима с другими. ${\ Displaystyle \ arccos (х)}$ ${\ Displaystyle (\ соз (х)) ^ {- 1}}$

Оценка специальных функций

Большинство специальных функций рассматриваются как функции комплексной переменной. Они аналитичны ; описаны особенности и разрезы; известны дифференциальные и интегральные представления, доступно разложение в ряд Тейлора или асимптотический ряд . Кроме того, иногда существуют отношения с другими специальными функциями; сложная специальная функция может быть выражена в терминах более простых функций. Для оценки могут использоваться различные представления; Самый простой способ оценить функцию - разложить ее в ряд Тейлора. Однако такое представление может сходиться медленно или вовсе не сходиться. В алгоритмических языках обычно используются рациональные приближения , хотя они могут плохо себя вести в случае сложных аргументов.

История специальных функций

Классическая теория

Хотя тригонометрию можно систематизировать - как это было ясно уже опытным математикам восемнадцатого века (если не раньше), - поиск полной и единой теории специальных функций продолжается с девятнадцатого века. Вершиной теории специальных функций в период 1800–1900 гг. Была теория эллиптических функций ; трактаты, которые были по существу законченными, такие как трактаты Таннери и Молка , можно было бы написать как справочник по всем основным тождествам теории. Они были основаны на методах комплексного анализа .

С этого времени можно было предположить, что теория аналитических функций , которая уже объединила тригонометрические и экспоненциальные функции , является фундаментальным инструментом. В конце века также очень подробно обсуждались сферические гармоники .

Меняющиеся и фиксированные мотивации

Конечно, стремление к широкой теории, включающей как можно больше известных специальных функций, имеет интеллектуальную привлекательность, но стоит отметить и другие мотивы. Долгое время специальные функции относились к сфере прикладной математики ; приложения к физическим наукам и технике определили относительную важность функций. Во времена, когда еще не было электронных компьютеров , окончательным дополнением к специальной функции было вычисление вручную расширенных таблиц ее значений . Это был капиталоемкий процесс, предназначенный для обеспечения доступа к функции путем поиска , как и для знакомых таблиц логарифмов . В этом случае значение теории могло бы быть двумя:

для численного анализа , обнаружения бесконечных рядов или других аналитических выражений, позволяющих быстро производить вычисления; и
приведение как можно большего числа функций к данной функции.

Напротив, можно сказать, есть подходы, типичные для интересов чистой математики : асимптотический анализ , аналитическое продолжение и монодромия в комплексной плоскости , а также открытие принципов симметрии и другой структуры, скрывающейся за фасадом бесконечных рядов формул. На самом деле реального конфликта между этими подходами нет.

Двадцатое столетие

В двадцатом веке наблюдалось несколько волн интереса к теории специальных функций. Классический учебник Уиттакера и Ватсона (1902) стремился объединить теорию с помощью комплексных переменных ; Г.Н. Уотсон фолиант Трактат по теории функций Бесселя раздвигает методы, насколько это возможно для одного важного типа, в частности , допущенный асимптотик для изучения.

Более поздний проект рукописей Бейтмана под редакцией Артура Эрдейи попытался стать энциклопедическим и возник в то время, когда на первый план выходили электронные вычисления, а табулирование перестало быть главной проблемой.

Современные теории

Современная теория ортогональных многочленов имеет определенную, но ограниченную область применения. Гипергеометрические ряды превратились в сложную теорию, нуждающуюся в более позднем концептуальном оформлении. Группы Ли , и в частности их теория представлений , объясняют, что вообще может быть сферической функцией ; начиная с 1950 г. существенные части классической теории можно было переформулировать в терминах групп Ли. Кроме того, работа над алгебраической комбинаторикой также возродила интерес к более старым частям теории. Гипотезы Яна Г. Макдональда помогли открыть большие и активные новые области с типичным привкусом специальных функций. Разностные уравнения , начали их место , кроме дифференциальных уравнений в качестве источника для специальных функций.

Специальные функции в теории чисел

В теории чисел традиционно изучались некоторые специальные функции, такие как конкретные ряды Дирихле и модульные формы . В нем отражены почти все аспекты теории специальных функций, а также некоторые новые, например, вышедшие из теории чудовищного самогона .

Исследователи

Смотрите также

использованная литература

^ Gradshteyn, Израил Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. Цвиллинджер, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .
^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям .

Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард ; Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. 71 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-62321-6. Руководство по ремонту 1688958 .

внешние ссылки

Национальный институт стандартов и технологий Министерства торговли США. Цифровая библиотека математических функций NIST . Архивировано 13 декабря 2018 года.
Вайсштейн, Эрик В. «Специальная функция» . MathWorld .
Онлайн-калькулятор , Онлайн-калькулятор для научных расчетов с более чем 100 функциями (> = 32 цифры, многие сложные) (немецкий язык)
Специальные функции в EqWorld: The World of Mathematical Equations
Специальные функции и многочлены Жерара Т Хофта и Стефана Ноббенхейса (8 апреля 2013 г.)
Численные методы для специальных функций , А. Гил, Дж. Сегура, Н. М. Темме (2007).
Р. Джаганнатан, (P, Q) -Специальные функции
Специальные функции вики

[Zwillinger_2014-1] Gradshteyn, Израил Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. Цвиллинджер, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .

[IRENE-2] Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям .

Languages

In other projects