Число Бернулли - Bernoulli number

Числа Бернулли B^±
_п

п	дробная часть	десятичный
0	1	+1,000000000
1	± 1/2	± 0,500000000
2	1/6	+0,166666666
3	0	+0,000000000
4	-1/30	-0,033333333
5	0	+0,000000000
6	1/42	+0,023809523
7	0	+0,000000000
8	-1/30	-0,033333333
9	0	+0,000000000
10	5/66	+0,075757575
11	0	+0,000000000
12	-691/2730	-0,253113553
13	0	+0,000000000
14	7/6	+1,166666666
15	0	+0,000000000
16	-3617/510	-7,092156862
17	0	+0,000000000
18	43867/798	+54.97117794
19	0	+0,000000000
20	-174611/330	-529.1242424

В математике , то Бернулли числа В _п представляют собой последовательность из рациональных чисел , которые часто встречаются в теории чисел . Числа Бернулли появляются в (и может быть определено) в ряд Тейлора разложения по касательной и гиперболического тангенса функций, в формуле Фаульхабер в на сумму м -х степеней первых п натуральных чисел, в формуле Эйлера-Маклорена , и в выражениях для некоторых значений дзета-функции Римана .

Значения первых 20 чисел Бернулли приведены в таблице рядом. В литературе используются два условных обозначения, обозначенных здесь и ; они различаются только для n = 1 , где и . Для каждого нечетного п > 1 , В _п = 0 . Для каждого даже п > 0 , B _п является отрицательным , если п делится на 4 и положительное в противном случае. Числа Бернулли являются специальными значениями многочленов Бернулли с и . ${\ displaystyle B_ {n} ^ {- {}}}$${\ displaystyle B_ {n} ^ {+ {}}}$${\ displaystyle B_ {1} ^ {- {}} = - 1/2}$${\ displaystyle B_ {1} ^ {+ {}} = + 1/2}$ ${\ Displaystyle B_ {п} (х)}$${\ displaystyle B_ {n} ^ {- {}} = B_ {n} (0)}$${\ displaystyle B_ {n} ^ {+} = B_ {n} (1)}$

Числа Бернулли были открыты примерно в то же время швейцарским математиком Якобом Бернулли , в честь которого они названы, и независимо японским математиком Секи Такакадзу . Открытие Секи было посмертно опубликовано в 1712 году в его работе « Кацуё Санпо» ; Бернулли, также посмертно, в его Искусства предположений о 1713 Ада Лавлейс «s примечание G на Analytical Engine с 1842 описывает алгоритм для генерации чисел Бернулли с Бэббиджа » s машины. В результате числа Бернулли стали предметом первой опубликованной сложной компьютерной программы .

Обозначение

Верхний индекс ±, используемый в этой статье, различает два соглашения о знаках для чисел Бернулли. Затрагивается только член n = 1 :

• B^-
  _п с B^-
  ₁ = -1/2 ( OEIS :  A027641 / OEIS :  A027642 ) - это знаковое соглашение, предписанное NIST и большинством современных учебников.
• B⁺
  _пс B⁺
  ₁ = +1/2 ( OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642 ) иногда используется в более ранней литературе.

В приведенных ниже формулах можно переключиться с одного соглашения о знаках на другое с помощью отношения или для целого числа n = 2 или больше просто игнорировать его. ${\ displaystyle B_ {n} ^ {+} = (- 1) ^ {n} B_ {n} ^ {-}}$

Поскольку B _n = 0 для всех нечетных n > 1 , а многие формулы включают только числа Бернулли с четным индексом, некоторые авторы пишут « B _n » вместо B _{2 n}  . В данной статье не используются эти обозначения.

История

История ранних веков

Числа Бернулли уходят корнями в раннюю историю вычисления сумм целых степеней, которые интересовали математиков с древних времен.

Методы для вычисления суммы первых n натуральных чисел, суммы квадратов и кубиков первых n натуральных чисел были известны, но не было никаких настоящих «формул», только описания, данные полностью на словах. Среди великих математиков древности, рассматривавших эту проблему, были Пифагор (ок. 572–497 до н. Э., Греция), Архимед (287–212 г. до н. Э., Италия), Арьябхата (род. 476, Индия), Абу Бакр аль-Караджи (ум. 1019, Персия) и Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайтам (965–1039, Ирак).

В конце шестнадцатого и начале семнадцатого веков математики добились значительного прогресса. На Западе важную роль сыграли Томас Харриот (1560–1621) в Англии, Иоганн Фаульхабер (1580–1635) из Германии, Пьер де Ферма (1601–1665) и его коллега-французский математик Блез Паскаль (1623–1662).

Томас Харриот, кажется, был первым, кто вывел и написал формулы для сумм степеней, используя символические обозначения, но даже он вычислил только сумму четвертых степеней. Иоганн Фаульхабер дал формулы для сумм степеней до 17-й степени в своей Академии алгебры 1631 года , что намного выше, чем у всех до него, но он не дал общей формулы.

Блез Паскаль в 1654 году доказал тождество Паскаля, связав суммы p- х степеней первых n натуральных чисел для p = 0, 1, 2, ..., k .

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705) был первым, кто осознал существование единой последовательности констант B ₀ , B ₁ , B ₂ , ..., которые обеспечивают единую формулу для всех сумм степеней.

Радость, которую испытал Бернулли, когда он натолкнулся на шаблон, необходимый для быстрого и легкого вычисления коэффициентов его формулы для суммы c- ых степеней для любого положительного целого числа c, можно увидеть из его комментария. Он написал:

«С помощью этой таблицы мне потребовалось менее половины четверти часа, чтобы выяснить, что сложение десятых степеней первых 1000 чисел даст сумму 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500».

Результат Бернулли был опубликован посмертно в Ars Conjectandi в 1713 году. Секи Такакадзу независимо открыл числа Бернулли, и его результат был опубликован годом ранее, также посмертно, в 1712 году. Однако Секи не представил свой метод в виде формулы, основанной на последовательности констант. .

Формула Бернулли для сумм степеней на сегодняшний день является наиболее полезной и обобщаемой формулировкой. Коэффициенты в формуле Бернулли теперь называются числами Бернулли по предложению Абрахама де Муавра .

Формулу Бернулли иногда называют формулой Фаулхабера в честь Иоганна Фаулхабера, который нашел замечательные способы вычисления суммы степеней, но никогда не сформулировал формулу Бернулли. Согласно Кнуту, строгое доказательство формулы Фаульхабера было впервые опубликовано Карлом Якоби в 1834 году. В результате глубокого изучения формулы Фаульхабера Кнутом завершается (нестандартные обозначения LHS объясняются ниже):

«Фаульхабер никогда не открывал числа Бернулли; то есть он никогда не понимал, что одна последовательность констант B ₀ , B ₁ , B ₂ , ... обеспечит единообразие

${\ displaystyle \ quad \ sum n ^ {m} = {\ frac {1} {m + 1}} \ left (B_ {0} n ^ {m + 1} + {\ binom {m + 1} {1) }} B_ {1} ^ {+} n ^ {m} + {\ binom {m + 1} {2}} B_ {2} n ^ {m-1} + \ cdots + {\ binom {m + 1 } {m}} B_ {m} n \ right)}$

или

${\ displaystyle \ quad \ sum n ^ {m} = {\ frac {1} {m + 1}} \ left (B_ {0} n ^ {m + 1} - {\ binom {m + 1} {1 }} B_ {1} ^ {- {}} n ^ {m} + {\ binom {m + 1} {2}} B_ {2} n ^ {m-1} - \ cdots + (- 1) ^ {m} {\ binom {m + 1} {m}} B_ {m} n \ right)}$

для всех сумм полномочий. Он никогда не упоминал, например, тот факт, что почти половина коэффициентов оказалась равной нулю после того, как он преобразовал свои формулы для Σ n ^m из полиномов от N в полиномы от n ».

Реконструкция "Summae Potestatum"

Числа Бернулли OEIS :  A164555 (n) / OEIS :  A027642 (n) были введены Якобом Бернулли в книге Ars Conjectandi, посмертно опубликованной в 1713 году, стр. 97. Основную формулу можно увидеть во второй половине соответствующего факсимиле. Постоянные коэффициенты, обозначенные Бернулли A , B , C и D , отображаются в обозначение, которое сейчас преобладает как A = B ₂ , B = B ₄ , C = B ₆ , D = B ₈ . Выражение c · c −1 · c −2 · c −3 означает c · ( c −1) · ( c −2) · ( c −3) - маленькие точки используются как символы группировки. Используя сегодняшнюю терминологию, эти выражения представляют собой падающие факториальные мощности c ^k . Факториальное обозначение k ! как сокращение для 1 × 2 × ... × k было введено только 100 лет спустя. Интегральный символ на левой стороне восходит к Готфриду Вильгельму Лейбницу в 1675 году, который использовал его как длинную букву S для «summa» (сумма). Буква n в левой части не является индексом суммирования, но дает верхний предел диапазона суммирования, который следует понимать как 1, 2, ..., n . Сложив все вместе, для положительного c , сегодня математик, вероятно, запишет формулу Бернулли как:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {c} = {\ frac {n ^ {c + 1}} {c + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {c} + \ sum _ {k = 2} ^ {c} {\ frac {B_ {k}} {k!}} c ^ {\ underline {k-1}} n ^ {c-k + 1}.}$

Эта формула предлагает установить B ₁ =1/2при переходе от так называемого «архаичного» перечисления, в котором используются только четные индексы 2, 4, 6 ... к современной форме (подробнее о различных соглашениях в следующем абзаце). Наиболее поразительным в этом контексте является тот факт, что падающий факториал c ^{k −1} имеет для k = 0 значение1/c + 1. Таким образом, формулу Бернулли можно записать

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {c} = \ sum _ {k = 0} ^ {c} {\ frac {B_ {k}} {k!}} c ^ { \ underline {k-1}} n ^ {c-k + 1}}$

если B ₁ = 1/2 , повторное получение значения, которое Бернулли дал коэффициенту в этой позиции.

Формула для первой половины содержит ошибку в последнем члене; это должно быть вместо . ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {9}}$${\ displaystyle - {\ tfrac {3} {20}} п ^ {2}}$${\ displaystyle - {\ tfrac {1} {12}} п ^ {2}}$

Определения

За последние 300 лет было найдено множество характеристик чисел Бернулли, и каждое из них может быть использовано для введения этих чисел. Здесь упоминаются только три из самых полезных:

• рекурсивное уравнение,
• явная формула,
• производящая функция.

Для доказательства эквивалентности трех подходов.

Рекурсивное определение

Числа Бернулли подчиняются формулам суммы

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m + 1} {k}} B_ {k} ^ {- {}} & = \ delta _ {m , 0} \\\ сумма _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m + 1} {k}} B_ {k} ^ {+ {}} & = m + 1 \ end {align}} }$

где и δ обозначает символ Кронекера . Решение для дает рекурсивные формулы ${\ Displaystyle m = 0,1,2 ...}$${\ displaystyle B_ {m} ^ {\ mp {}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {m} ^ {- {}} & = \ delta _ {m, 0} - \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} {\ binom {m} {k}} {\ frac {B_ {k} ^ {- {}}} {m-k + 1}} \\ B_ {m} ^ {+} & = 1- \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} {\ binom {m} {k}} {\ frac {B_ {k} ^ {+}} {m-k + 1}}. \ end {выравнивается}}}$

Явное определение

В 1893 году Луи Заальшютц перечислил в общей сложности 38 явных формул для чисел Бернулли, обычно давая некоторые ссылки в более ранней литературе. Один из них является:

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {m} ^ {- {}} & = \ sum _ {k = 0} ^ {m} \ sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} {\ binom {k} {v}} {\ frac {v ^ {m}} {k + 1}} \\ B_ {m} ^ {+} & = \ sum _ {k = 0} ^ {m} \ sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} {\ binom {k} {v}} {\ frac {(v + 1) ^ {m}} {k + 1}}. \ End {выравнивается}}}$

Производящая функция

Экспоненциальные производящие функции :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {t} {e ^ {t} -1}} & = {\ frac {t} {2}} \ left (\ operatorname {coth} {\ frac {t } {2}} - 1 \ right) & = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {m} ^ {- {}} t ^ {m}} {m!}} \\ {\ frac {t} {1-e ^ {- t}}} & = {\ frac {t} {2}} \ left (\ operatorname {coth} {\ frac {t} {2}} + 1 \ right) & = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {m} ^ {+} t ^ {m}} {m!}}. \ End {align}}}$

где подстановка . ${\ displaystyle t \ to -t}$

(Обычная) производящая функция

${\ displaystyle z ^ {- 1} \ psi _ {1} (z ^ {- 1}) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} B_ {m} ^ {+} z ^ {m} }$

является асимптотическим рядом . Он содержит тригамма-функцию ψ ₁ .

Числа Бернулли и дзета-функция Римана

Числа Бернулли можно выразить через дзета-функцию Римана :

B⁺
_п= - nζ (1 - n )           для n ≥ 1  .

Здесь аргумент дзета-функции равен 0 или отрицателен.

С помощью уравнения дзета- функционала и формулы гамма- отражения можно получить следующее соотношение:

${\ Displaystyle B_ {2n} = {\ frac {(-1) ^ {n + 1} 2 (2n)!} {(2 \ pi) ^ {2n}}} \ zeta (2n) \ quad}$для n ≥ 1  .

Теперь аргумент дзета-функции положительный.

Тогда из ζ → 1 ( n → ∞ ) и формулы Стирлинга следует, что

${\ displaystyle | B_ {2n} | \ sim 4 {\ sqrt {\ pi n}} \ left ({\ frac {n} {\ pi e}} \ right) ^ {2n} \ quad}$при n → ∞  .

Эффективное вычисление чисел Бернулли

В некоторых приложениях полезно иметь возможность вычислять числа Бернулли от B ₀ до B _{p - 3} по модулю p , где p - простое число; например, чтобы проверить, верна ли гипотеза Вандивера для p , или даже просто определить, является ли p неправильным простым числом . Невозможно выполнить такое вычисление с использованием приведенных выше рекурсивных формул, поскольку потребовалось бы по крайней мере (постоянное кратное) p ² арифметических операций. К счастью, были разработаны более быстрые методы, требующие всего O ( p (log p ) ² ) операций (см. Большую нотацию O ).

Дэвид Харви описывает алгоритм вычисления чисел Бернулли, вычисляя B _n по модулю p для многих малых простых чисел p , а затем восстанавливая B _{n с} помощью китайской теоремы об остатках . Харви пишет, что асимптотическая временная сложность этого алгоритма составляет O ( n ² log ( n ) ^{2 + ε} ), и утверждает, что эта реализация значительно быстрее, чем реализации, основанные на других методах. Используя эту реализацию, Харви вычислил B _n для n = 10 ⁸ . Реализация Харви была включена в SageMath с версии 3.1. До этого Бернд Келлнер вычислил B _n с полной точностью для n = 10 ⁶ в декабре 2002 г. и Александр Павлык для n = 10 ⁷ с помощью Mathematica в апреле 2008 г.

Компьютер	Год	п	Цифры *
Дж. Бернулли	~ 1689	10	1
Л. Эйлер	1748 г.	30	8
Джей Си Адамс	1878 г.	62	36
Д. Е. Кнут, Т. Дж. Бакгольц	1967	1 672	3 330
Дж. Фи, С. Плуфф	1996 г.	10 000	27 677
Дж. Фи, С. Плафф	1996 г.	100 000	376 755
BC Kellner	2002 г.	1 000 000	4 767 529
О. Павлык	2008 г.	10 000 000	57 675 260
Д. Харви	2008 г.	100 000 000	676 752 569

* Цифры следует понимать как показатель степени 10, когда B _n записывается как действительное число в нормализованном научном представлении .

Приложения чисел Бернулли

Асимптотический анализ

Возможно, наиболее важным применением чисел Бернулли в математике является их использование в формуле Эйлера – Маклорена . Предполагая, что f - достаточно часто дифференцируемая функция, формулу Эйлера – Маклорена можно записать в виде

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = а} ^ {b-1} f (k) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ sum _ {k = 1} ^ {m } {\ frac {B_ {k} ^ {-}} {k!}} (f ^ {(k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (a)) + R _ {- } (f, m).}$

Эта формулировка предполагает соглашение B^-
₁ = -1/2. Используя соглашение B⁺
₁ = +1/2 формула становится

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = а + 1} ^ {b} е (к) = \ int _ {а} ^ {b} е (х) \, dx + \ сумма _ {к = 1} ^ {м } {\ frac {B_ {k} ^ {+}} {k!}} (f ^ {(k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (a)) + R _ {+ } (f, m).}$

Здесь (т.е. производная нулевого порядка от равна ). Кроме того, пусть обозначает первообразную от . По основной теореме исчисления , ${\ displaystyle f ^ {(0)} = f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {(- 1)}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = f ^ {(- 1)} (b) -f ^ {(- 1)} (a).}$

Таким образом, последнюю формулу можно дополнительно упростить до следующей краткой формы формулы Эйлера – Маклорена

${\ displaystyle \ sum _ {k = a} ^ {b} f (k) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {B_ {k}} {k!}} (f ^ { (k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (a)) + R (f, m).}$

Эта форма, например, является источником важного разложения Эйлера – Маклорена дзета-функции

${\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (s) & = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {B_ {k} ^ {+}} {k!}} s ^ {\ overline {k-1}} + R (s, m) \\ & = {\ frac {B_ {0}} {0!}} s ^ {\ overline {-1}} + {\ frac {B_ {1) } ^ {+}} {1!}} S ^ {\ overline {0}} + {\ frac {B_ {2}} {2!}} S ^ {\ overline {1}} + \ cdots + R ( s, m) \\ & = {\ frac {1} {s-1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {12}} s + \ cdots + R (s, м). \ end {выравнивается}}}$

Здесь s ^k обозначает возрастающую факторную мощность .

Числа Бернулли также часто используются в других видах асимптотических разложений . Следующий пример представляет собой классическое асимптотическое разложение типа Пуанкаре дигамма-функции ψ .

${\ displaystyle \ psi (z) \ sim \ ln z- \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} ^ {+}} {kz ^ {k}}}}$

Сумма полномочий

Числа Бернулли занимают видное место в замкнутой форме выражения суммы m- й степени первых n натуральных чисел. Для m , n ≥ 0 определим

${\ displaystyle S_ {m} (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} = 1 ^ {m} + 2 ^ {m} + \ cdots + n ^ {m}. }$

Это выражение всегда можно переписать в виде полинома в п степени т + 1 . В коэффициенты этих многочленов связаны с числами Бернулли по формуле Бернулли :

${\ displaystyle S_ {m} (n) = {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m + 1} {k}} B_ {k } ^ {+} n ^ {m + 1-k} = m! \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {B_ {k} ^ {+} n ^ {m + 1-k} } {k! (m + 1-k)!}},}$

где (^{м + 1}
_к) обозначаетбиномиальный коэффициент.

Например, если принять m равным 1, получатся треугольные числа 0, 1, 3, 6, ... OEIS :  A000217 .

${\ displaystyle 1 + 2 + \ cdots + n = {\ frac {1} {2}} (B_ {0} n ^ {2} + 2B_ {1} ^ {+} n ^ {1}) = {\ tfrac {1} {2}} (n ^ {2} + n).}$

Принимая m равным 2, получаем квадратные пирамидальные числа 0, 1, 5, 14, ... OEIS :  A000330 .

${\ displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} = {\ frac {1} {3}} (B_ {0} n ^ {3} + 3B_ {1} ^ {+} n ^ {2} + 3B_ {2} n ^ {1}) = {\ tfrac {1} {3}} \ left (n ^ {3} + {\ tfrac {3} {2}} n ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} n \ right).}$

Некоторые авторы используют альтернативное соглашение для чисел Бернулли и формулируют формулу Бернулли следующим образом:

${\ displaystyle S_ {m} (n) = {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} {\ binom {m + 1 } {k}} B_ {k} ^ {- {}} n ^ {m + 1-k}.}$

Формулу Бернулли иногда называют формулой Фаульхабера в честь Иоганна Фаулхабера, который также нашел замечательные способы вычисления сумм степеней .

Формула Фаульхабера была обобщена В. Го и Дж. Цзэном до q -аналога .

Серия Тейлора

Числа Бернулли появляются в разложении ряда Тейлора многих тригонометрических функций и гиперболических функций .

Касательная

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} (2 ^ {2n } -1) B_ {2n}} {(2n)!}} \; X ^ {2n-1}, & \ left | x \ right | & <{\ frac {\ pi} {2}} \\\ конец {выровнен}}}$

Котангенс

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cot x & {} = {\ frac {1} {x}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} B_ {2n} (2x) ^ {2n}} {(2n)!}}, & \ Qquad 0 <| x | <\ pi. \ End {выровнено}}}$

Гиперболический тангенс

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tanh x & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n}} { (2n)!}} \; X ^ {2n-1}, & | x | & <{\ frac {\ pi} {2}}. \ End {align}}}$

Гиперболический котангенс

${\ displaystyle {\ begin {align} \ coth x & {} = {\ frac {1} {x}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2n} (2x) ^ {2n}} {(2n)!}}, & \ Qquad \ qquad 0 <| x | <\ pi. \ End {выравнивается}}}$

Серия Laurent

Числа Бернулли появляются в следующей серии Лорана :

Дигамма-функция :${\ displaystyle \ psi (z) = \ ln z- \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} ^ {+ {}}} {kz ^ {k}}}}$

Использование в топологии

Формула Кервера – Милнора для порядка циклической группы классов диффеоморфизмов экзотических (4 n - 1) -сфер, ограничивающих параллелизуемые многообразия, содержит числа Бернулли. Пусть ES _n - количество таких экзотических сфер при n ≥ 2 , тогда

${\ displaystyle {\ textit {ES}} _ {n} = (2 ^ {2n-2} -2 ^ {4n-3}) \ operatorname {Numerator} \ left ({\ frac {B_ {4n}} { 4n}} \ right).}$

Теорема подписи Хирцебруха для L рода одного гладких ориентированного замкнутого многообразия в размерности 4 п также включает в себя числа Бернулли.

Связи с комбинаторными числами

Связь числа Бернулли с различными видами комбинаторных чисел основана на классической теории конечных разностей и на комбинаторной интерпретации чисел Бернулли как примера фундаментального комбинаторного принципа, принципа включения-исключения .

Связь с числами Ворпицкого

Определение, которое следует продолжить, было разработано Юлиусом Ворпицки в 1883 году. Помимо элементарной арифметики, только факториальная функция n ! и используется степенная функция k ^m . Беззнаковые числа Ворпицки определяются как

${\ displaystyle W_ {n, k} = \ sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v + k} (v + 1) ^ {n} {\ frac {k!} {v ! (кв)!}}.}$

Их также можно выразить через числа Стирлинга второго рода.

${\ Displaystyle W_ {n, k} = k! \ left \ {{n + 1 \ на вершине k + 1} \ right \}.}$

Затем вводится число Бернулли как сумма включения-исключения чисел Ворпицки, взвешенных гармонической последовательностью 1, 1/2, 1/3, ...

${\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {W_ {n, k}} {k + 1}} \ = \ \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {1} {k + 1}} \ sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} (v + 1) ^ {n } {k \ choose v} \.}$

В ₀ = 1

В ₁ = 1 -1/2

В ₂ = 1 -3/2 + 2/3

В ₃ = 1 -7/2 + 12/3 - 6/4

В ₄ = 1 -15/2 + 50/3 - 60/4 + 24/5

В ₅ = 1 -31 год/2 + 180/3 - 390/4 + 360/5 - 120/6

В ₆ = 1 -63/2 + 602/3 - 2100/4 + 3360/5 - 2520/6 + 720/7

Это представление имеет B⁺
₁ = +1/2.

Рассмотрим последовательность s _n , n ≥ 0 . Из чисел Ворпицки OEIS :  A028246 , OEIS :  A163626, примененный к s ₀ , s ₀ , s ₁ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , ... , идентичен Akiyama –Преобразование Танигавы, примененное к s _n (см. Связь с числами Стирлинга первого рода ). Это видно из таблицы:

Тождество представления
Верпицкого и преобразования Акиямы – Танигавы

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	−1					0	2	−2				0	0	3	−3			0	0	0	4	−4
1	−3	2				0	4	−10	6			0	0	9	−21	12
1	−7	12	−6			0	8	−38	54	−24
1	−15	50	−60	24

Первая строка представляет s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , s ₄ .

Следовательно, для вторых дробных чисел Эйлера OEIS :  A198631 ( n ) / OEIS :  A006519 ( n + 1 ):

E ₀ = 1

Е ₁ = 1 -1/2

Е ₂ = 1 -3/2 + 2/4

E ₃ = 1 -7/2 + 12/4 - 6/8

Е ₄ = 1 -15/2 + 50/4 - 60/8 + 24/16

Е ₅ = 1 -31 год/2 + 180/4 - 390/8 + 360/16 - 120/32

E ₆ = 1 -63/2 + 602/4 - 2100/8 + 3360/16 - 2520/32 + 720/64

Вторая формула, представляющая числа Бернулли числами Ворпицки, предназначена для n ≥ 1

${\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {n} {2 ^ {n + 1} -2}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} (- 2) ^ {- k} \ , W_ {n-1, k}.}$

Упрощенное второе представление Ворпицкого вторых чисел Бернулли:

OEIS :  A164555 ( n + 1 ) / OEIS :  A027642 ( n + 1 ) =п + 1/2 ^{п + 2} - 2× OEIS :  A198631 ( n ) / OEIS :  A006519 ( n + 1 )

который связывает вторые числа Бернулли со вторыми дробными числами Эйлера. Начало:

1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42знак равно1/2, 1/3, 3/14, 2/15, 5/62, 1/21 год, ...) × (1, 1/2, 0, -1/4, 0, 1/2, ...)

Числители первых скобок - OEIS :  A111701 (см. Связь с числами Стирлинга первого рода ).

Связь с числами Стирлинга второго рода.

Если S ( k , m ) обозначает числа Стирлинга второго рода, то имеет место:

${\ displaystyle j ^ {k} = \ sum _ {m = 0} ^ {k} {j ^ {\ underline {m}}} S (k, m)}$

где j ^m обозначает падающий факториал .

Если определить полиномы Бернулли B _k ( j ) как:

${\ displaystyle B_ {k} (j) = k \ sum _ {m = 0} ^ {k-1} {\ binom {j} {m + 1}} S (k-1, m) m! + B_ {k}}$

где B _k при k = 0, 1, 2, ... - числа Бернулли.

Тогда после следующего свойства биномиального коэффициента :

${\ displaystyle {\ binom {j} {m}} = {\ binom {j + 1} {m + 1}} - {\ binom {j} {m + 1}}}$

надо,

${\ displaystyle j ^ {k} = {\ frac {B_ {k + 1} (j + 1) -B_ {k + 1} (j)} {k + 1}}.}.$

Для многочленов Бернулли также имеет место следующее:

${\ displaystyle B_ {k} (j) = \ sum _ {n = 0} ^ {k} {\ binom {k} {n}} B_ {n} j ^ {kn}.}$

Коэффициент при j в (^Дж
_{м + 1}) является(−1) ^м/м + 1.

Сравнивая коэффициент при j в двух выражениях полиномов Бернулли, получаем:

${\ displaystyle B_ {k} = \ sum _ {m = 0} ^ {k} (- 1) ^ {m} {\ frac {m!} {m + 1}} S (k, m)}$

(что приводит к B ₁ = +1/2), который является явной формулой для чисел Бернулли и может использоваться для доказательства теоремы Фон-Штаудта Клаузена .

Связь с числами Стирлинга первого рода.

Две основные формулы, связывающие беззнаковые числа Стирлинга первого рода [^п
_м] к числам Бернулли (с B ₁ = +1/2) находятся

${\ displaystyle {\ frac {1} {m!}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} \ left [{m + 1 \ atop k + 1} \ right] B_ {k} = {\ frac {1} {m + 1}},}$

и обращение этой суммы (при n ≥ 0 , m ≥ 0 )

${\ displaystyle {\ frac {1} {m!}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} \ left [{m + 1 \ attop k + 1} \ right] B_ {n + k} = A_ {n, m}.}$

Здесь числа A _{n , m} - рациональные числа Акиямы – Танигавы, первые несколько из которых показаны в следующей таблице.

Число Акияма – Танигава

м п	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	...
2	1/6	1/6	3/20	...	...
3	0	1/30	...	...	...
4	-1/30	...	...	...	...

Числа Акиямы – Танигавы удовлетворяют простому рекуррентному соотношению, которое можно использовать для итеративного вычисления чисел Бернулли. Это приводит к алгоритму, показанному в разделе «алгоритмическое описание» выше. См. OEIS :  A051714 / OEIS :  A051715 .

Autosequence представляет собой последовательность , которая имеет обратную биномиальных преобразование равно подписанная последовательность. Если главная диагональ нули = OEIS :  A000004 , автопоследовательность относится к первому виду. Пример: OEIS :  A000045 , числа Фибоначчи. Если главная диагональ - это первая верхняя диагональ, умноженная на 2, это второй вид. Пример: OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642 , вторые числа Бернулли (см. OEIS :  A190339 ). Преобразование Акияма – Танигава, примененное к 2 ^{- n} = 1 / OEIS :  A000079, приводит к OEIS :  A198631 ( n ) / OEIS :  A06519 ( n + 1). Следовательно:

Преобразование Акиямы – Танигавы для вторых чисел Эйлера

м п	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/4	1/8	1/16
1	1/2	1/2	3/8	1/4	...
2	0	1/4	3/8	...	...
3	-1/4	-1/4	...	...	...
4	0	...	...	...	...

См. OEIS :  A209308 и OEIS :  A227577 . OEIS :  A198631 ( n ) / OEIS :  A006519 ( n + 1 ) - вторые (дробные) числа Эйлера и автопоследовательность второго рода.

(OEIS :  A164555 ( n + 2 )/OEIS :  A027642 ( n + 2 ) знак равно 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, ... ) × (2 ^{п + 3} - 2/п + 2= 3,14/3, 15/2, 62/5, 21, ... ) =OEIS :  A198631 ( n + 1 )/OEIS :  A006519 ( n + 2 ) знак равно 1/2, 0, -1/4, 0, 1/2, ... .

Также ценно для OEIS :  A027641 / OEIS :  A027642 (см. Связь с числами Ворпицкого ).

Связь с треугольником Паскаля

Существуют формулы, связывающие треугольник Паскаля с числами Бернулли.

${\ displaystyle B_ {n} ^ {+} = {\ frac {| A_ {n} |} {(n + 1)!}} ~~~}$

где - определитель матричной части Хессенберга размером n на n треугольника Паскаля , элементами которой являются:${\ displaystyle | A_ {n} |}$${\ displaystyle a_ {i, k} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} k> 1 + i \\ {i + 1 \ choose k-1} & {\ text {else}} \ конец {case}}}$

Пример:

${\ displaystyle B_ {6} ^ {+} = {\ frac {\ det {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 0 \\ 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 \ end; }} = {\ frac {120} {5040}} = {\ frac {1} {42}}}$

Связь с числами Эйлера

Есть формулы, связывающие числа Эйлера ⟨^п
_м⟩ К числам Бернулли:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle & = 2 ^ {n + 1} (2 ^ {n + 1} -1) {\ frac {B_ {n + 1}} {n + 1}}, \\\ сумма _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} \ left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle {\ binom {n} {m}} ^ {- 1} & = (n + 1) B_ {n}. \ end {выравнивается}} }$

Обе формулы верны для n ≥ 0, если для B ₁ установлено значение1/2. Если B ₁ установлен на -1/2они верны только для n ≥ 1 и n ≥ 2 соответственно.

Представление двоичного дерева

Многочлены Стирлинга σ _n ( x ) связаны с числами Бернулли соотношением B _n = n ! σ _n (1) . SC Woon описал алгоритм вычисления σ _n (1) в виде двоичного дерева:

Рекурсивный алгоритм Вуна (для n ≥ 1 ) начинается с присвоения корневому узлу N = [1,2] . Для узла N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] дерева левый дочерний элемент этого узла равен L ( N ) = [- a ₁ , a ₂ + 1, a ₃ , .. ., a _k ] и правый дочерний элемент R ( N ) = [ a ₁ , 2, a ₂ , ..., a _k ] . Узел N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] записывается как ± [ a ₂ , ..., a _k ] в начальной части дерева, представленного выше, где ± обозначает знак a _1. .

Для узла N факториал N определяется как

${\ displaystyle N! = a_ {1} \ prod _ {k = 2} ^ {\ operatorname {length} (N)} a_ {k} !.}$

Ограниченная узлами N фиксированного уровня дерева n, сумма1/N !есть σ _n (1) , поэтому

${\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {\ stackrel {N {\ text {node of}}} {{\ text {tree-level}} n}} {\ frac {n!} {N!}} .}$

Например:

В ₁ = 1! (1/2!)

В ₂ = 2! (-1/3! + 1/2! 2!)

В ₃ = 3! (1/4! - 1/2! 3! - 1/3! 2! + 1/2! 2! 2!)

Интегральное представление и продолжение

интеграл

${\ displaystyle b (s) = 2e ^ {si \ pi / 2} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {st ^ {s}} {1-e ^ {2 \ pi t}} } {\ frac {dt} {t}}}$

имеет специальные значения b (2 n ) = B _{2 n} для n > 0 .

Например, b (3) =3/2ζ (3) π ⁻³ i и b (5) = -15/2ζ (5) π ⁻⁵ я . Здесь ζ - дзета-функция Римана , а i - мнимая единица . Леонард Эйлер ( Opera Omnia , Ser. 1, Vol. 10, p. 351) рассмотрел эти числа и вычислил

${\ displaystyle {\ begin {align} p & = {\ frac {3} {2 \ pi ^ {3}}} \ left (1 + {\ frac {1} {2 ^ {3}}} + {\ frac {1} {3 ^ {3}}} + \ cdots \ right) = 0,0581522 \ ldots \\ q & = {\ frac {15} {2 \ pi ^ {5}}} \ left (1 + {\ frac { 1} {2 ^ {5}}} + {\ frac {1} {3 ^ {5}}} + \ cdots \ right) = 0,0254132 \ ldots \ end {align}}}$

Связь с числами Эйлера и π

Эти числа Эйлера представляют собой последовательность целых чисел тесно связанные с числами Бернулли. Сравнение асимптотических разложений чисел Бернулли и Эйлера показывает, что числа Эйлера E _{2 n} по величине приблизительно2/π(4 ^{2 n} - 2 ^{2 n} ) раз больше, чем числа Бернулли B _{2 n} . В результате:

${\ displaystyle \ pi \ sim 2 (2 ^ {2n} -4 ^ {2n}) {\ frac {B_ {2n}} {E_ {2n}}}.}$

Это асимптотическое уравнение показывает, что π лежит в общем корне как чисел Бернулли, так и чисел Эйлера. Фактически, π может быть вычислено из этих рациональных приближений.

Числа Бернулли можно выразить через числа Эйлера и наоборот. Так, для нечетных п , В _п = Е _п = 0 (за исключением B ₁ ), достаточно рассмотреть случай , когда п четно.

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ binom {n-1} {k}} {\ frac {n} {4 ^ {n} -2 ^ {n}}} E_ {k} & n & = 2,4,6, \ ldots \\ [6pt] E_ {n} & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k-1}} {\ frac {2 ^ {k} -4 ^ {k}} {k}} B_ {k} & n & = 2,4,6, \ ldots \ end {выровнено}} }$

Эти формулы преобразования выражают связь между числами Бернулли и Эйлера. Но что еще важнее, есть глубокий арифметический корень, общий для обоих видов чисел, который может быть выражен через более фундаментальную последовательность чисел, также тесно связанную с π . Эти числа определены для n > 1 как

${\ displaystyle S_ {n} = 2 \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {n} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (4k + 1) ^ {- n} \ qquad k = 0, -1,1, -2,2, \ ldots}$

и S ₁ = 1 по соглашению. Магия этих чисел заключается в том, что они оказываются рациональными числами. Это было впервые доказано Леонардом Эйлером в знаменательной статье De summis serierum reciprocarum (О суммах ряда обратных величин ) и с тех пор очаровывает математиков. Первые несколько из этих чисел

${\ displaystyle S_ {n} = 1,1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {5} {24}}, {\ frac {2 } {15}}, {\ frac {61} {720}}, {\ frac {17} {315}}, {\ frac {277} {8064}}, {\ frac {62} {2835}}, \ ldots}$( OEIS :  A099612 / OEIS :  A099617 )

Это коэффициенты в разложении sec x + tan x .

Числа Бернулли и числа Эйлера лучше всего понимать как особые виды этих чисел, выбранные из последовательности S _n и масштабированные для использования в специальных приложениях.

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} & = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] {\ frac {n!} {2 ^ {n} -4 ^ {n}}} \, S_ {n} \, & n & = 2,3, \ ldots \\ E_ {n} & = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] n! \, S_ {n + 1} & n & = 0,1, \ ldots \ end {выровнено}}}$

Выражение [ n even] имеет значение 1, если n четно, и 0 в противном случае ( скобка Айверсона ).

Эти тождества показывают, что отношение чисел Бернулли и Эйлера в начале этого раздела является лишь частным случаем R _n =2 S _n/S _{n + 1}когда n четное. R _п рациональные приближения к л и два последовательных условия всегда заключите истинное значение П . Начиная с n = 1 начинается последовательность ( OEIS :  A132049 / OEIS :  A132050 ):

${\ displaystyle 2,4,3, {\ frac {16} {5}}, {\ frac {25} {8}}, {\ frac {192} {61}}, {\ frac {427} {136 }}, {\ frac {4352} {1385}}, {\ frac {12465} {3968}}, {\ frac {158720} {50521}}, \ ldots \ quad \ longrightarrow \ pi.}$

Эти рациональные числа также встречаются в последнем абзаце цитированной выше статьи Эйлера.

Рассмотрим преобразование Акиямы – Танигавы для последовательности OEIS :  A046978 ( n + 2 ) / OEIS :  A016116 ( n + 1 ):

0	1	1/2	0	-1/4	-1/4	-1/8	0
1	1/2	1	3/4	0	-5/8	-3/4
2	-1/2	1/2	9/4	5/2	5/8
3	−1	-7/2	-3/4	15/2
4	5/2	-11/2	-99/4
5	8	77/2
6	-61/2

Начиная со второго, числители первого столбца являются знаменателями формулы Эйлера. Первый столбец -1/2× OEIS :  A163982 .

Алгоритмический взгляд: треугольник Зейделя

Последовательность S _n обладает еще одним неожиданным, но важным свойством: знаменатели S _n делят факториал ( n  - 1)! . Другими словами: числа T _n  =  S _n ( n  - 1)! числа, иногда называемые зигзагообразными числами Эйлера , являются целыми числами.

${\ Displaystyle T_ {n} = 1, \, 1, \, 1, \, 2, \, 5, \, 16, \, 61, \, 272, \, 1385, \, 7936, \, 50521, \, 353792, \ ldots \ quad n = 0,1,2,3, \ ldots}$( OEIS :  A000111 ). См. ( OEIS :  A253671 ).

Таким образом, приведенные выше представления чисел Бернулли и Эйлера могут быть переписаны в терминах этой последовательности как

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n} & = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] {\ frac {n} {2 ^ {n} -4 ^ {n}}} \, T_ {n-1} \ & n & = 2,3, \ ldots \\ E_ {n} & = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} [n {\ text {even}}] T_ {n + 1} & n & = 0,1, \ ldots \ end {выровнено}} }$

Эти тождества упрощают вычисление чисел Бернулли и Эйлера: числа Эйлера E _n немедленно задаются как T _{2 n + 1,} а числа Бернулли B _{2 n} получаются из T _{2 n} путем некоторого простого сдвига, избегая рациональной арифметики.

Осталось найти удобный способ вычисления чисел T _n . Однако уже в 1877 году Филипп Людвиг фон Зайдель опубликовал гениальный алгоритм, упрощающий вычисление T _n .

${\ displaystyle {\ begin {array} {crrrcc} {} & {} & {\ color {red} 1} & {} & {} & {} \\ {} & {\ rightarrow} & {\ color {blue } 1} & {\ color {red} 1} & {} \\ {} & {\ color {red} 2} & {\ color {blue} 2} & {\ color {blue} 1} & {\ leftarrow } \\ {\ rightarrow} & {\ color {blue} 2} & {\ color {blue} 4} & {\ color {blue} 5} & {\ color {red} 5} \\ {\ color {красный } 16} & {\ color {blue} 16} & {\ color {blue} 14} & {\ color {blue} 10} & {\ color {blue} 5} & {\ leftarrow} \ end {array}} }$

1. Начните с размещения 1 в строке 0 и пусть k обозначает номер строки, которая в данный момент заполняется.
2. Если k нечетное, то поместите число в левом конце строки k - 1 в первую позицию строки k и заполните строку слева направо, при этом каждая запись представляет собой сумму числа к слева и цифра вверху
3. В конце ряда продублируйте последнюю цифру.
4. Если k четно, действуйте аналогично в другом направлении.

На самом деле алгоритм Зейделя является гораздо более общим (см. Описание Доминика Дюмона) и впоследствии несколько раз переоткрывался.

Подобно подходу Зайделя, Д. Кнут и Т. Дж. Бакгольц дали рекуррентное уравнение для чисел T _{2 n} и рекомендовали этот метод для вычисления B _{2 n} и E _{2 n} 'на электронных компьютерах, используя только простые операции с целыми числами'.

В.И. Арнольд заново открыл алгоритм Зейделя, а позже Миллар, Слоан и Янг популяризировали алгоритм Зайделя под названием преобразование бустрофедона .

Треугольная форма:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

В OEIS входят только OEIS :  A000657 с одной единицей и OEIS :  A214267 с двумя единицами .

Распределение с дополнительной 1 и одним 0 в следующих строках:

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
−61		−61		−56		−46		−32		−16		0

Это OEIS :  A239005 , подписанная версия OEIS :  A008280 . Основная диагональ - OEIS :  A122045 . Основная диагональ - OEIS :  A155585 . Центральная колонна - OEIS :  A099023 . Суммы строк : 1, 1, −2, −5, 16, 61 .... См. OEIS :  A163747 . См. Массив, начинающийся с 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 ниже.

Алгоритм Акияма-Танигава, примененный к OEIS :  A046978 ( n + 1 ) / OEIS :  A016116 ( n ), дает:

1	1	1/2	0	-1/4	-1/4	-1/8
0	1	3/2	1	0	-3/4
−1	−1	3/2	4	15/4
0	−5	-15/2	1
5	5	-51/2
0	61
−61

1. Первый столбец - OEIS :  A122045 . Его биномиальное преобразование приводит к:

1	1	0	−2	0	16	0
0	−1	−2	2	16	−16
−1	−1	4	14	−32
0	5	10	−46
5	5	−56
0	−61
−61

Первая строка этого массива - OEIS :  A155585 . Абсолютные значения возрастающих антидиагоналей OEIS :  A008280 . Сумма антидиагоналей - OEIS :  A163747 ( n + 1 ).

2. Второй столбец 1 1 -1 -5 5 61 -61 -1385 +1385 ... . Его биномиальное преобразование дает:

1	2	2	−4	−16	32	272
1	0	−6	−12	48	240
−1	−6	−6	60	192
−5	0	66	32
5	66	66
61	0
−61

Первая строка этого массива 1 2 2 -4 -16 32 272 544 -7936 15872 353792 -707584 ... . Абсолютные значения второго деления пополам - это двойные абсолютные значения первого деления пополам.

Рассмотрим алгоритм Акияма-Танигава, примененный к OEIS :  A046978 ( n ) / ( OEIS :  A158780 ( n + 1 ) = abs ( OEIS :  A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2,3/2, 1, 3/4, 3/4, 7/8, 1, 17/16, 17/16, 33/32... .

1	2	2	3/2	1	3/4	3/4
−1	0	3/2	2	5/4	0
−1	−3	-3/2	3	25/4
2	−3	-27/2	−13
5	21 год	-3/2
−16	45
−61

Первый столбец с абсолютными значениями OEIS :  A000111 может быть числителем тригонометрической функции.

OEIS :  A163747 - автопоследовательность первого типа (главная диагональ - OEIS :  A000004 ). Соответствующий массив:

0	−1	−1	2	5	−16	−61
−1	0	3	3	−21	-45
1	3	0	−24	−24
2	−3	−24	0
−5	−21	24
−16	45
−61

Первые две верхние диагонали равны −1 3 −24 402 ... = (−1) ^{n + 1}  ×  OEIS :  A002832 . Сумма антидиагоналей равна 0 −2 0 10 ... = 2 ×  OEIS :  A122045 ( n  + 1).

- OEIS :  A163982 - автопоследовательность второго типа, например, OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642 . Отсюда массив:

2	1	−1	−2	5	16	−61
−1	−2	−1	7	11	−77
−1	1	8	4	-88
2	7	−4	−92
5	−11	-88
−16	−77
−61

Главная диагональ, здесь 2 −2 8 −92 ... , является двойной первой верхней диагонали, здесь OEIS :  A099023 . Сумма антидиагоналей равна 2 0 −4 0 ... = 2 ×  OEIS :  A155585 ( n + 1). OEIS :  A163747  -  OEIS :  A163982 = 2 ×  OEIS :  A122045 .

Комбинаторный взгляд: чередующиеся перестановки

Примерно в 1880 году, через три года после публикации алгоритма Зейделя, Дезире Андре доказал ставший уже классическим результатом комбинаторного анализа. Глядя на первые члены разложения Тейлора тригонометрических функций tan x и sec x, Андре сделал поразительное открытие.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x & = x + {\ frac {2x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {16x ^ {5}} {5!}} + {\ frac { 272x ^ {7}} {7!}} + {\ Frac {7936x ^ {9}} {9!}} + \ Cdots \\ [6pt] \ sec x & = 1 + {\ frac {x ^ {2} } {2!}} + {\ Frac {5x ^ {4}} {4!}} + {\ Frac {61x ^ {6}} {6!}} + {\ Frac {1385x ^ {8}} { 8!}} + {\ Frac {50521x ^ {10}} {10!}} + \ Cdots \ end {align}}}$

Коэффициенты - это числа Эйлера нечетного и четного индекса соответственно. Следовательно, обычное разложение tan x + sec x имеет в качестве коэффициентов рациональные числа S _n .

${\ Displaystyle \ загар х + \ сек х = 1 + х + {\ tfrac {1} {2}} х ^ {2} + {\ tfrac {1} {3}} х ^ {3} + {\ tfrac {5 } {24}} x ^ {4} + {\ tfrac {2} {15}} x ^ {5} + {\ tfrac {61} {720}} x ^ {6} + \ cdots}$

Затем Андре с помощью аргумента повторения сумел показать, что чередующиеся перестановки нечетного размера пронумерованы числами Эйлера нечетного индекса (также называемыми касательными числами), а чередующиеся перестановки четного размера - числами Эйлера четного индекса (также называемыми секущие числа).

Связанные последовательности

Среднее арифметическое первого и второго чисел Бернулли являются ассоциированными числами Бернулли: B ₀ = 1 , B ₁ = 0 , B ₂ =1/6, B ₃ = 0 , B ₄ = -1/30, OEIS :  A176327 / OEIS :  A027642 . Через второй ряд обратного преобразования Акияма-Танигава OEIS :  A177427 они приводят к серии Бальмера OEIS :  A061037 / OEIS :  A061038 .

Алгоритм Акияма-Танигава, примененный к OEIS :  A060819 ( n + 4 ) / OEIS :  A145979 ( n ), приводит к числам Бернулли OEIS :  A027641 / OEIS :  A027642 , OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642 или OEIS :  A176327 OEIS : A176327 OEIS :  A176327 без B ₁ , называемые внутренними числами Бернулли B _i ( n ) .

1	5/6	3/4	7/10	2/3
1/6	1/6	3/20	2/15	5/42
0	1/30	1/20	2/35 год	5/84
-1/30	-1/30	-3/140	-1/105	0
0	-1/42	-1/28 год	-4/105	-1/28 год

Отсюда еще одна связь между внутренними числами Бернулли и серией Бальмера через OEIS :  A145979 ( n ).

OEIS :  A145979 ( n - 2 ) = 0, 2, 1, 6, ... - это перестановка неотрицательных чисел.

Члены первой строки: f (n) = 1/2 + 1/п + 2. 2, f (n) - автопоследовательность второго рода. 3/2, f (n) своим обратным биномиальным преобразованием ведет к 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2.

Рассмотрим g (n) = 1/2 - 1 / (n + 2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. Преобразование Акияма-Танагива дает:

0	1/6	1/4	3/10	1/3	5/14	...
-1/6	-1/6	-3/20	-2/15	-5/42	-3/28 год	...
0	-1/30	-1/20	-2/35 год	-5/84	-5/84	...
1/30	1/30	3/140	1/105	0	-1/140	...

0, g (n), автопоследовательность второго рода.

Эйлер OEIS :  A198631 ( n ) / OEIS :  A006519 ( n + 1 ) без второго члена (1/2) - дробные внутренние числа Эйлера E _i ( n ) = 1, 0, -1/4, 0, 1/2, 0, -17/8, 0, ... Соответствующее преобразование Акиямы:

1	1	7/8	3/4	21 год/32
0	1/4	3/8	3/8	5/16
-1/4	-1/4	0	1/4	25/64
0	-1/2	-3/4	-9/16	-5/32
1/2	1/2	-9/16	-13/8	-125/64

Первая строка - это Eu ( n ) . Eu ( n ), которому предшествует ноль, является автопоследовательностью первого рода. Он связан с числами Орем. Числители второй строки - OEIS :  A069834, перед которым стоит 0. Таблица различий:

0	1	1	7/8	3/4	21 год/32	19/32
1	0	-1/8	-1/8	-3/32	-1/16	-5/128
−1	-1/8	0	1/32	1/32	3/128	1/64

Арифметические свойства чисел Бернулли.

Числа Бернулли могут быть выражены через дзета-функцию Римана как B _n = - nζ (1 - n ) для целых чисел n ≥ 0 при условии, что для n = 0 выражение - nζ (1 - n ) понимается как предельное значение и соглашение B ₁ =1/2используется. Это тесно связывает их со значениями дзета-функции при отрицательных целых числах. Таким образом, можно ожидать, что они будут обладать глубокими арифметическими свойствами. Например, гипотеза Аго – Джуги постулирует, что p является простым числом тогда и только тогда, когда pB _{p - 1} сравнимо с −1 по модулю p . Делимости свойство чисел Бернулли связанно с идеальным классом групп в круговых полях по теореме Куммера и его укрепления в теореме Herbrand-Рибет и число классов вещественных квадратичных полей по Анкени-артиновской-Човл .

Теоремы Куммера

Числа Бернулли связаны с Великой теоремой Ферма (FLT) теоремой Куммера , которая гласит:

Если нечетное простое число p не делит ни один из числителей чисел Бернулли B ₂ , B ₄ , ..., B _{p - 3,} то x ^p + y ^p + z ^p = 0 не имеет решений в ненулевых целых числах.

Простые числа с этим свойством называются правильными простыми числами . Другой классический результат Куммера - следующие сравнения .

Пусть p - нечетное простое число, а b - четное число, такое что p  - 1 не делит b . Тогда для любого целого неотрицательного k

${\ displaystyle {\ frac {B_ {k (p-1) + b}} {k (p-1) + b}} \ Equ {\ frac {B_ {b}} {b}} {\ pmod {p }}.}$

Обобщение этих сравнений называется p -адической непрерывностью.

p -адическая непрерывность

Если b , m и n - натуральные числа такие, что m и n не делятся на p - 1 и m ≡ n (mod p ^{b - 1} ( p - 1)) , то

${\ displaystyle (1-p ^ {m-1}) {\ frac {B_ {m}} {m}} \ Equiv (1-p ^ {n-1}) {\ frac {B_ {n}} { n}} {\ pmod {p ^ {b}}}.}$

Поскольку B _n = - nζ (1 - n ) , это также можно записать

${\ displaystyle \ left (1-p ^ {- u} \ right) \ zeta (u) \ Equiv \ left (1-p ^ {- v} \ right) \ zeta (v) {\ pmod {p ^ { b}}},}$

где u = 1 - m и v = 1 - n , так что u и v неположительны и не сравнимы с 1 по модулю p - 1 . Это говорит нам о том, что дзета-функция Римана с 1 - p ^{- s,} взятым из формулы произведения Эйлера, непрерывна по p -адическим числам на нечетных отрицательных целых числах, сравнимых по модулю p - 1 с конкретным a ≢ 1 mod ( p - 1) , и поэтому может быть расширена до непрерывной функции г _р ( х ) для всех р -адических чисел р -адическая дзета - функции . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p},}$

Сравнение Рамануджана

Следующие соотношения, разработанные Рамануджаном , обеспечивают более эффективный метод вычисления чисел Бернулли, чем тот, который дан в их исходном рекурсивном определении:

${\ displaystyle {\ binom {m + 3} {m}} B_ {m} = {\ begin {cases} {\ frac {m + 3} {3}} - \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {\ frac {m} {6}} {\ binom {m + 3} {m-6j}} B_ {m-6j}, & {\ text {if}} m \ Equiv 0 {\ pmod {6}} ; \\ {\ frac {m + 3} {3}} - \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {\ frac {m-2} {6}} {\ binom {m + 3} {m- 6j}} B_ {m-6j}, & {\ text {if}} m \ Equiv 2 {\ pmod {6}}; \\ - {\ frac {m + 3} {6}} - \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {\ frac {m-4} {6}} {\ binom {m + 3} {m-6j}} B_ {m-6j}, & {\ text {if}} m \ эквивалент 4 {\ pmod {6}}. \ end {case}}}$

Теорема фон Штаудта – Клаузена

Теорема фон Штаудта – Клаузена была дана независимо Карлом Георгом Кристианом фон Штаудтом и Томасом Клаузеном в 1840 году. Теорема утверждает, что для любого n > 0 ,

${\ Displaystyle B_ {2n} + \ sum _ {(p-1) \, \ mid \, 2n} {\ frac {1} {p}}}$

целое число. Сумма распространяется на все простые числа p, для которых p - 1 делит 2 n .

Следствием этого является то, что знаменатель B _{2 n} дается произведением всех простых чисел p, для которых p - 1 делит 2 n . В частности, эти знаменатели не содержат квадратов и делятся на 6.

Почему исчезают нечетные числа Бернулли?

Сумма

${\ displaystyle \ varphi _ {k} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {k} - {\ frac {n ^ {k}} {2}}}$

можно оценить для отрицательных значений индекса n . Это покажет, что это нечетная функция для четных значений k , что означает, что сумма имеет только члены нечетного индекса. Отсюда и из формулы суммы Бернулли следует, что B _{2 k + 1 - m} равно 0 для четных m и 2 k + 1 - m > 1 ; и что член для B ₁ отменяется вычитанием. Теорема фон Штаудта – Клаузена в сочетании с представлением Ворпицки также дает комбинаторный ответ на этот вопрос (справедливый для n > 1).

Из теоремы фон Штаудта – Клаузена известно, что при нечетном n > 1 число 2 B _n является целым числом. Это кажется тривиальным, если заранее известно, что рассматриваемое целое число равно нулю. Однако, применяя представление Ворпицкого, мы получаем

${\ displaystyle 2B_ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} {\ frac {2} {m + 1}} m! \ left \ {{n + 1 \ atop m + 1} \ right \} = 0 \ quad (n> 1 {\ text {нечетное}})}$

в виде суммы целых чисел , что нетривиально. Здесь всплывает комбинаторный факт, объясняющий обращение в нуль чисел Бернулли при нечетном индексе. Пусть S _{n , m} - количество сюръективных отображений из {1, 2, ..., n } в {1, 2, ..., m }, тогда S _{n , m} = m ! {^п
_м} . Последнее уравнение может выполняться только в том случае, если

${\ displaystyle \ sum _ {\ text {odd}} m = 1} ^ {n-1} {\ frac {2} {m ^ {2}}} S_ {n, m} = \ sum _ {{ \ text {even}} m = 2} ^ {n} {\ frac {2} {m ^ {2}}} S_ {n, m} \ quad (n> 2 {\ text {четно}}). }$

Это уравнение можно доказать по индукции. Первые два примера этого уравнения:

п = 4: 2 + 8 = 7 + 3 ,

п = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .

Таким образом, числа Бернулли обращаются в нуль при нечетном индексе, потому что некоторые неочевидные комбинаторные тождества воплощены в числах Бернулли.

Подтверждение гипотезы Римана.

Связь между числами Бернулли и дзета-функцией Римана достаточно сильна, чтобы обеспечить альтернативную формулировку гипотезы Римана (RH), которая использует только число Бернулли. Фактически Марсель Рис доказал, что RH эквивалентно следующему утверждению:

Для любого ε >1/4существует постоянная C _ε > 0 (зависящая от ε ) такая, что | R ( x ) | < C _ε x ^ε при x → ∞ .

Здесь R ( x ) - функция Рисса

${\ Displaystyle R (x) = 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {\ overline {k}} x ^ {k}} {(2 \ pi) ^ {2k } \ left ({\ frac {B_ {2k}} {2k}} \ right)}} = 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {\ overline {k}} x ^ {k}} {(2 \ pi) ^ {2k} \ beta _ {2k}}}.}$

n ^k обозначает возрастающую факторную мощность в обозначениях Д. Кнута . Числа β _n =B _n/пчасто встречаются при изучении дзета-функции и важны, потому что β _n является p -целым числом для простых чисел p, где p - 1 не делит n . Β _п называется разделить числа Бернулли .

Обобщенные числа Бернулли

Эти обобщенные числа Бернулли определенные алгебраические числа , определяемые аналогично чисел Бернулли, которые связаны с особыми значениями из Дирихле L -функции таким же образом , что числа Бернулли связаны с особыми значениями дзета - функции Римана.

Пусть χ - характер Дирихле по модулю f . Обобщенные числа Бернулли, присоединенные к х , определяются равенствами

${\ displaystyle \ sum _ {a = 1} ^ {f} \ chi (a) {\ frac {te ^ {at}} {e ^ {ft} -1}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k, \ chi} {\ frac {t ^ {k}} {k!}}.}$

Помимо исключительного B _1,1 =1/2, Мы имеем, для любого характера Дирихле х , то B _{к , χ} = 0 , если χ (-1) ≠ (-1) ^K .

Обобщая связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана при неположительных целых числах, для всех целых k ≥ 1 имеем :

${\ displaystyle L (1-k, \ chi) = - {\ frac {B_ {k, \ chi}} {k}},}$

где L ( s , χ ) - L- функция Дирихле от χ .

Приложение

Ассорти идентичностей

Смотрите также

• Многочлен Бернулли
• Многочлены Бернулли второго рода
• Номер звонка
• Число Эйлера
• Число Дженокки
• Сравнения Куммера
• Число Поли-Бернулли
• Дзета-функция Гурвица
• Суммирование Эйлера
• Полином Стирлинга
• Суммы полномочий

Примечания

использованная литература

• Abramowitz, M .; Стегун, И.А. (1972), "§23.1: Многочлены Бернулли и Эйлера и формула Эйлера-Маклорена", Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (9-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 804–806.
• Арфкен, Джордж (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Академическая пресса. ISBN 978-0120598519.
• Арлеттаз, Д. (1998), "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie", Math. Semesterber , 45 : 61-75, DOI : 10.1007 / s005910050037 , S2CID  121753654.
• Аюб, А. (1981), "Эйлер и дзета-функция", Amer. Математика. Ежемесячно , 74 (2): 1067-1086, DOI : 10,2307 / 2319041 , JSTOR  2319041.
• Конвей, Джон ; Гай, Ричард (1996), Книга чисел , Springer-Verlag.
• Дилчер, К .; Skula, L .; Славутский, И.Ш. (1991), «Числа Бернулли. Библиография (1713–1990)» , Документы Королевы по чистой и прикладной математике , Кингстон, Онтарио (87).
• Dumont, D .; Виеннот, Г. (1980), "Комбинаторная интерпретация поколения Зейделя чисел Дженокки", Ann. Дискретная математика. , Анналы дискретной математики, 6 : 77-87, DOI : 10.1016 / S0167-5060 (08) 70696-4 , ISBN 978-0-444-86048-4.
• Entringer, RC (1966), "Комбинаторная интерпретация чисел Эйлера и Бернулли", Nieuw. Arch. В. Вискунде , 14 : 241–6.
• Комиссия, G .; Плафф, С. (2007). «Эффективный алгоритм вычисления чисел Бернулли». arXiv : math / 0702300 ..
• Graham, R .; Knuth, DE ; Паташник О. (1989). Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-55802-5.
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X
• Джордан, Чарльз (1950), Исчисление конечных разностей , Нью-Йорк: Chelsea Publ. Co..
• Канеко, М. (2000), "Алгоритм Акиямы-Танигавы для чисел Бернулли" , Журнал целочисленных последовательностей , 12 : 29, Bibcode : 2000JIntS ... 3 ... 29K.
• Knuth, DE (1993). «Иоганн Фаульхабер и суммы полномочий». Математика вычислений . Американское математическое общество. 61 (203): 277–294. arXiv : math / 9207222 . DOI : 10.2307 / 2152953 . JSTOR  2152953 .
• Luschny, Питер (2007), Включение чисел Бернулли.
• Luschny, Peter (8 октября 2011 г.), "TheLostBernoulliNumbers" , OeisWiki , получено 11 мая 2019 г..
• The Mathematics Genealogy Project , Фарго: факультет математики, Государственный университет Северной Дакоты, nd, заархивировано из оригинала 10 мая 2019 г. , извлечено 11 мая 2019 г..
• Миллер, Джефф (23 июня 2017 г.), «Раннее использование символов исчисления» , « Самые ранние использования различных математических символов» , получено 11 мая 2019 г..
• Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974), «Приложение B: Числа Бернулли», Характеристические классы , Annals of Mathematics Studies, 76 , Princeton University Press и University of Tokyo Press, стр. 281–287.
• Пьетрокола, Джорджо (31 октября 2008 г.), «Esplorando un antico sentiero: teoremi sulla somma di Potenze di interi successivi (Corollario 2b)» , Maecla (на итальянском языке) , получено 8 апреля 2017 г..
• Славутский, Илья Ш. (1995), «Штаудт и арифметические свойства чисел Бернулли», Historia Scientiarum , 2 : 69–74.
• von Staudt, KG Ch. (1845), "De numeris Bernoullianis, commentationem alteram", Эрланген.
• Сунь, Чжи-Вэй (2005–2006), Некоторые любопытные результаты о полиномах Бернулли и Эйлера , заархивированные из оригинала 31 октября 2001 г..
• Вун, SC (1998). «Обобщение связи между дзета-функцией Римана и числами Бернулли». arXiv : math.NT / 9812143 ..
• Worpitzky, J. (1883), «Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen» , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 94 : 203–232.

Сноски

внешние ссылки

• "Числа Бернулли" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Первые 498 чисел Бернулли от проекта Гутенберг
• Мультимодульный алгоритм вычисления чисел Бернулли
• Страница чисел Бернулли
• Числовые программы Бернулли в LiteratePrograms
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Бернулли» . MathWorld .
• П. Лущный. «Вычисление нерегулярных простых чисел» .
• П. Лущный. «Вычисление и асимптотика чисел Бернулли» .
• Готфрид Хелмс. «Числа Бернулли в контексте матрицы Паскаля (биномиальной)» (PDF) .
• Готфрид Хелмс. «суммирование одинаковых степеней в контексте с матрицей Паскаля / Бернулли» (PDF) .
• Готфрид Хелмс. «Некоторые специальные свойства, суммы чисел Бернулли и родственных им чисел» (PDF) .