Классифицирующее пространство - Classifying space

В математике , в частности , в теории гомотопий , классифицирующее пространство BG из топологической группы G является фактор в слабо стягиваемом пространстве Е. (т.е. топологического пространства , у которого все гомотопических группы тривиальны) путем надлежащим свободным действием в G . Оно обладает тем свойством, что любое главное расслоение G над паракомпактным многообразием изоморфно образу главного расслоения EG → BG . Как объяснено ниже, это означает, что классифицирующие пространства представляют собой многозначный функтор на гомотопической категории топологических пространств. Термин классифицирующее пространство также может использоваться для пространств, которые представляют многозначный функтор в категории топологических пространств , таких как пространство Серпинского . Это понятие обобщается понятием классификации топосов . Однако в оставшейся части статьи обсуждается более часто используемое понятие классификации пространства с точностью до гомотопии.

Для дискретной группы G , БГ , грубо говоря, линейно связное топологическое пространство X такое , что фундаментальная группа из X изоморфна G и высшие гомотопические группы из X являются тривиальными , то есть, БГ представляет собой пространство Эйленберга-Маклейна , или K (G, 1) .

Мотивация

Пример классифицирующего пространства для бесконечной циклической группы G является кругом , как X . Когда G является дискретной группой , другой способ указать условие на X является то , что универсальное накрытие Y из X является сжимаемым . В этом случае карта проекции

{\ displaystyle \ pi: Y \ longrightarrow X \}

становится расслоение со структурной группой G , на самом деле главным расслоением для G . Интерес к концепции классифицирующего пространства действительно возникает из-за того, что в этом случае Y обладает универсальным свойством по отношению к главным G- расслоениям в гомотопической категории . На самом деле это более фундаментально, чем условие, что высшие гомотопические группы обращаются в нуль: основная идея, учитывая G , состоит в том , чтобы найти такое стягиваемое пространство Y, на котором G действует свободно . ( Идея слабой эквивалентности теории гомотопии связывает две версии.) В случае примера с кругом мы замечаем, что бесконечная циклическая группа C действует свободно на действительной прямой R , которая стягиваема. Принимая X как факторпространственный круг, мы можем рассматривать проекцию π из R = Y в X как спираль в геометрических терминах, претерпевающую проекцию из трех измерений на плоскость. Утверждается, что π обладает универсальным свойством среди основных C- расслоений; что любое главное C- расслоение определенным образом «происходит из» π.

Формализм

Более формальное заявление принимает во внимание , что G может быть топологической группой (не просто дискретная группа ), и что групповые действия по G принимаются непрерывными; в отсутствие непрерывных действий концепция классифицирующего пространства может быть рассмотрена в гомотопических терминах с помощью конструкции пространства Эйленберга – Маклейна . В теории гомотопий определения топологического пространства BG , то классифицирующее пространство для главного G -расслоений, даются вместе с пространством Е.Г. , который является общей площадью от универсального расслоения над BG . То есть то, что предоставляется, на самом деле является непрерывным отображением

{\ displaystyle \ pi: EG \ longrightarrow BG. \}

Предположим, что с этого момента основной категорией является гомотопическая категория комплексов CW . Классификации собственности требуется BG фактически относится к я. Мы должны иметь возможность сказать, что для любого основного G- расслоения

{\ displaystyle \ gamma: Y \ longrightarrow Z \}

над пространством Z существует классифицирующее отображение φ из Z в BG такое, что γ - обратный образ π вдоль φ. Говоря менее абстрактно, построение γ посредством «скручивания» должно быть сведено через φ к скручиванию, уже выраженному конструкцией π.

Чтобы это было полезной концепцией, очевидно, должна быть какая-то причина полагать, что такие пространства BG существуют. Ранние работы по классификации пространств представили конструкции (например, стержневую конструкцию ), которые дали конкретные описания BG как симплициального комплекса для произвольной дискретной группы. Такие конструкции показывают связь с групповыми когомологиями .

В частности, EG - слабый симплициальный комплекс , n- симплексы которого являются упорядоченными ( n + 1) -наборами элементов G , что означает, что эта вершина удалена. Такой n- симплекс присоединяется к (n - 1) симплексам так же, как стандартный симплекс присоединяется к своим граням. Сложная ЭГ стягиваема. Группа G действует на EG левым умножением:, и только единица e переводит любой симплекс в себя. Таким образом, действие G на EG является действием накрывающего пространства, а фактор-отображение EG → EG / G является универсальным покрытием пространства орбит BG = EG / G , а BG является K ( G , 1). ${\ displaystyle [g_ {0}, \ ldots, g_ {n}]}$ ${\ displaystyle {\ hat {g}} _ {i}}$ ${\ displaystyle [g_ {0}, \ ldots, {\ hat {g}} _ {i}, \ ldots, g_ {n}]}$ ${\ displaystyle g \ cdot [g_ {0}, \ ldots, g_ {n}] = [gg_ {0}, \ ldots, gg_ {n}]}$

В абстрактных терминах (которые не являются те , первоначально использовались около 1950 года , когда эта идея была впервые введена) это вопрос о том, является ли определенный функтор представима : контравариантный функтор из категории гомотопической в категорию множеств , определяемый

h ( Z ) = множество классов изоморфизма главных G -расслоений на Z.

Известные абстрактные условия для этого ( теорема Брауна о представимости ) гарантируют, что результат, как теорема существования , будет утвердительным и не слишком сложным.

Примеры

Окружность $S 1$ представляет собой классифицирующее пространство для бесконечной циклической группы общая площадь составляет ${\ displaystyle \ mathbb {Z}.}$ ${\ Displaystyle E \ mathbb {Z} = \ mathbb {R}.}$
П -тор является классифицирующее пространство для , то свободная абелева группа ранга п . Общая площадь ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {п}}$ ${\ displaystyle E \ mathbb {Z} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {n}.}$
Клин из n окружностей является классифицирующим пространством для свободной группы ранга n .
Замкнутый (то есть компактное и без края) связное поверхность S из рода , по меньшей мере 1 представляет собой классифицирующее пространство для его фундаментальной группы ${\ displaystyle \ pi _ {1} (S).}$
Закрыто (то есть компактное и без краев) , соединенных гиперболическое многообразие М представляет собой классифицирующее пространство для ее фундаментальной группы . ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (М)}$
Конечный локально связный кубический комплекс CAT (0) является классифицирующим пространством своей фундаментальной группы .
Бесконечномерное проективное пространство является классифицирующим пространством для циклической группы общей площадь составляет (это прямой предел сфер эквивалентна, гильбертово пространство с началом удалено, она стягивается). ${\ Displaystyle \ mathbb {RP} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}.}$ ${\ Displaystyle E \ mathbb {Z} _ {2} = S ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle S ^ {n},}$
Пространство является классифицирующим пространством для циклической группы. Здесь понимается некоторое подмножество бесконечномерного гильбертова пространства с удаленным началом; считается, что циклическая группа действует на него путем умножения с корнями из единицы. ${\ displaystyle B \ mathbb {Z} _ {n} = S ^ {\ infty} / \ mathbb {Z} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}.}$ ${\ Displaystyle S ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ infty}}$
Неупорядоченное конфигурационное пространство является классифицирующим пространством группы кос Артина , а упорядоченное конфигурационное пространство является классифицирующим пространством для чистой группы кос Артина. ${\ Displaystyle \ OperatorName {UConf} _ {п} (\ mathbb {R} ^ {2})}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {2})}$ ${\ displaystyle P_ {n}.}$
(Неупорядоченное) конфигурационное пространство является классифицирующим пространством для симметрической группы ${\ Displaystyle \ OperatorName {UConf} _ {п} (\ mathbb {R} ^ {\ infty})}$ ${\ displaystyle S_ {n}.}$
Бесконечномерное комплексное проективное пространство - это классифицирующее пространство $BS$ $1$ для окружности $S$ $1,$ рассматриваемой как компактная топологическая группа. ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {\ infty}}$
Грассманиан из п -плоскостей в это классифицирующее пространство ортогональной группы $O ($ $п$ $)$ . Общее пространство , то многообразие Штифеля из п - мерные ортонормрепер в ${\ Displaystyle Gr (п, \ mathbb {R} ^ {\ infty})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle EO (п) = В (п, \ mathbb {R} ^ {\ infty})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}.}$

Приложения

Это все еще оставляет вопрос об эффективных расчетах с BG ; например, теория характеристических классов является по существу таким же , как вычисления групп когомологий из BG , по крайней мере , в пределах ограничительных условий гомотопической теории, для интересных групп G , таких как группы Ли ( теорема А. Картана ). Как было показано в теореме периодичности Ботта , то гомотопические группы из BG также фундаментальный интерес.

Примером классифицирующего пространства является то, что когда G является циклическим второго порядка; тогда BG - это вещественное проективное пространство бесконечной размерности, соответствующее наблюдению, что EG можно рассматривать как стягиваемое пространство, полученное в результате удаления начала координат в бесконечномерном гильбертовом пространстве , при этом G действует через v, идущую в -v , и допускает гомотопию равноценность в выборе BG . Этот пример показывает, что классификация пространств может быть сложной.

Что касается дифференциальной геометрии ( теория Черна – Вейля ) и теории грассманианов , гораздо более практический подход к теории возможен для таких случаев, как унитарные группы , которые представляют наибольший интерес. Построение комплекса Тома MG показало, что пространства BG также вовлечены в теорию кобордизмов , так что они заняли центральное место в геометрических соображениях, исходящих из алгебраической топологии . Поскольку групповые когомологии могут (во многих случаях) быть определены с помощью классифицирующих пространств, они также могут рассматриваться как фундаментальные во многих гомологических алгебрах .

Обобщения включают те, которые используются для классификации слоений , и классификационные топосы для логических теорий исчисления предикатов в интуиционистской логике, которые занимают место «пространства моделей».

Смотрите также

Примечания

^ Сташефф, Джеймс Д. (1971), " H- пространства и классифицирующие пространства: основы и недавние разработки", Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 247–272., Теорема 2
^ Хэтчер, Аллен. (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 89. ISBN 0-521-79160-X. OCLC 45420394 .
↑ Арнольд, Владимир I. (1969). «Кольцо когомологий группы цветных кос». Владимир Иванович Арнольд - Собрание сочинений . Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. С. 183–186. DOI : 10.1007 / 978-3-642-31031-7_18 . ISBN 978-3-642-31030-0.
^ "классификация пространства в nLab" . ncatlab.org . Проверено 22 августа 2017 .

использованная литература

JP May, Краткий курс алгебраической топологии
Классификация пространства в nLab
"Классифицирующее пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Сташефф, Джеймс Д. (1971), " H- пространства и классифицирующие пространства: основы и недавние разработки", Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 247–272., Теорема 2

[2] Хэтчер, Аллен. (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 89. ISBN 0-521-79160-X. OCLC 45420394 .

[3] Арнольд, Владимир I. (1969). «Кольцо когомологий группы цветных кос». Владимир Иванович Арнольд - Собрание сочинений . Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. С. 183–186. DOI : 10.1007 / 978-3-642-31031-7_18 . ISBN 978-3-642-31030-0.

[4] "классификация пространства в nLab" . ncatlab.org . Проверено 22 августа 2017 .

Languages

In other projects