Теорема периодичности Ботта - Bott periodicity theorem
В математике , то периодичность Ботт теорема описывает периодичность в гомотопических группах из классических групп , обнаруженных Рауль Ботт ( 1957 , 1959 ), которые оказались в основополагающем значении для большого количества дальнейших исследований, в частности , в К-теории устойчивого комплексного вектора расслоения , а также стабильные гомотопические группы сфер . Периодичность Ботта может быть сформулирована множеством способов, при этом рассматриваемая периодичность всегда проявляется как явление периода-2 по отношению к размерности для теории, связанной с унитарной группой . См., Например, топологическую K-теорию .
Существуют соответствующие явления периода 8 для теорий согласования, ( реальной ) KO-теории и ( кватернионной ) KSp-теории , связанных с реальной ортогональной группой и кватернионной симплектической группой , соответственно. J-гомоморфизм есть гомоморфизм гомотопических групп ортогональных групп к стабильным гомотопическим группам сфер , что вызывает период 8 периодичность Ботта , чтобы быть видимым в стабильных гомотопических групп сфер.
Заявление о результате
Боттовский показали , что , если определяются как индуктивный предел из ортогональных групп , то его гомотопические группы являются периодическими:
и первые 8 гомотопических групп следующие:
Контекст и значение
Контекст периодичности Ботта является то , что гомотопические группы из сфер , которые следовало бы ожидать , чтобы играть основную роль в алгебраической топологии по аналогии с теорией гомологии , оказались неуловимы (и теория усложняется). Предмет устойчивой теории гомотопии был задуман как упрощение, путем введения операции подвешивания ( разбить продукт по кругу ) и наблюдения того, что (грубо говоря) осталось от теории гомотопии, как только можно было приостановить обе части уравнения, а именно: раз, как хотелось бы. Стабильная теория все еще была трудной для практических расчетов.
Периодичность Ботта предлагала понимание некоторых весьма нетривиальных пространств, имеющих центральный статус в топологии из-за связи их когомологий с характеристическими классами , для которых можно было вычислить все ( нестабильные ) гомотопические группы. Эти пространства представляют собой (бесконечные или стабильные ) унитарные, ортогональные и симплектические группы U , O и Sp. В этом контексте стабильный относится к объединению U (также известному как прямой предел ) последовательности включений
и аналогично для O и Sp. Обратите внимание, что использование Боттом слова « стабильный» в названии своей основополагающей статьи относится к этим стабильным классическим группам, а не к стабильным гомотопическим группам.
Важная связь периодичности Ботта со стабильными гомотопическими группами сфер происходит через так называемый стабильный J -гомоморфизм от (нестабильных) гомотопических групп (стабильных) классических групп к этим стабильным гомотопическим группам . Первоначально описанный Джорджем Уайтхедом , он стал предметом знаменитой гипотезы Адамса (1963), окончательно разрешенной положительно Дэниелом Квилленом (1971).
Первоначальные результаты Ботта можно кратко изложить в:
Следствие: (неустойчивые) гомотопические группы (бесконечных) классических групп периодичны:
Примечание: второй и третий из этих изоморфизмов переплетаются, чтобы получить результаты с 8-кратной периодичностью:
Пространства петель и классифицирующие пространства
Для теории, связанной с бесконечной унитарной группой , U , пространство BU является классифицирующим пространством для стабильных комплексных векторных расслоений ( грассманиан в бесконечных измерениях). Одна формулировка периодичности Ботта описывает пространство петель в два раза, в BU . Здесь - функтор пространства петель , сопряженный справа к надстройке и сопряженный слева к конструкции классифицирующего пространства . Периодичность Ботта утверждает, что это пространство двойной петли снова по существу является BU ; точнее,
Любой из них немедленно показывает, почему (комплексная) топологическая K -теория является двумерной периодической теорией.
В соответствующей теории для бесконечной ортогональной группы , O , пространство BO является классифицирующим пространством для стабильных реальных векторных расслоений . В этом случае периодичность Ботта утверждает, что для 8-кратного пространства петель
откуда следует, что KO -теория является 8-кратной периодической теорией. Кроме того, для бесконечной симплектической группы Sp пространство BSp является классифицирующим пространством для стабильных кватернионных векторных расслоений , а периодичность Ботта утверждает, что
Таким образом, как топологическая реальная K -теория (также известная как KO -теория), так и топологическая кватернионная K -теория (также известная как KSp-теория) являются 8-кратными периодическими теориями.
Геометрическая модель петлевых пространств
Одна изящная формулировка периодичности Ботта использует наблюдение, что существуют естественные вложения (как замкнутые подгруппы) между классическими группами. Пространства петель в периодичности Ботт тогда гомотопически эквивалентны симметрические пространства последовательных дробей, с дополнительными дискретными факторами Z .
По комплексным числам:
По действительным числам и кватернионам:
Эти последовательности соответствуют последовательностям в алгебрах Клиффорда - см. Классификацию алгебр Клиффорда ; над комплексными числами:
По действительным числам и кватернионам:
где алгебры с делением обозначают «матрицы над этой алгеброй».
Поскольку они являются 2-периодическими / 8-периодическими, их можно расположить по кругу, где они называются часами периодичности Ботта и часами алгебры Клиффорда .
Затем результаты периодичности Ботта уточняются до последовательности гомотопических эквивалентностей :
Для комплексной K -теории:
Для реального и кватернионного KO - и KSP-теории:
Полученные пространства гомотопически эквивалентны классическим редуктивным симметрическим пространствам и являются последовательными частными членов часов периодичности Ботта. Эти эквивалентности немедленно дают теоремы периодичности Ботта.
Конкретные пространства: (для групп также указано главное однородное пространство ):
Пространство петли | Частное | Этикетка Картана | Описание |
---|---|---|---|
BDI | Реальный грассманиан | ||
Ортогональная группа (вещественное многообразие Штифеля ) | |||
DIII | пространство сложных структур, совместимых с данной ортогональной структурой | ||
AII | пространство кватернионных структур, совместимых с данной сложной структурой | ||
CII | Кватернионный грассманиан | ||
Симплектическая группа (кватернионное многообразие Штифеля ) | |||
CI | комплексный лагранжев грассманиан | ||
AI | Лагранжев грассманиан |
Доказательства
Первоначальное доказательство Ботта ( Ботт, 1959 ) использовало теорию Морса , которую Ботт (1956) ранее использовал для изучения гомологии групп Ли. Было дано много разных доказательств.
Примечания
- ^ Интерпретация и разметка немного неверны и относятся к неприводимым симметрическим пространствам, в то время как это более общие редуктивные пространства. Например, SU / Sp неприводимо, а U / Sp редуктивно. Как они показывают, различие можно интерпретировать как то, включает ли кто-либо ориентацию.
использованная литература
- Ботт, Рауль (1956), "Приложение теории Морса к топологии групп Ли", Bulletin de la Société Mathématique de France , 84 : 251–281, doi : 10.24033 / bsmf.1472 , ISSN 0037-9484 , Руководство по ремонту 0087035
- Ботт, Рауль (1957), "Стабильная гомотопия классических групп", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 43 (10): 933–5, Bibcode : 1957PNAS ... 43..933B , DOI : 10.1073 / pnas.43.10.933 , JSTOR 89403 , МР 0102802 , КУП 528555 , PMID 16590113
- Боттовский, Рауль (1959), "Стабильный Гомотопический классических группы", Annals математики , вторая серия 70 (2): 313-337, DOI : 10,2307 / 1970106 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970106 , МР 0110104 , PMC 528555 , PMID 16590113
- Боттовский, Рауль (1970), "Теорема периодичности для классических групп и некоторых его применения", достижений в области математики , 4 (3): 353-411, да : 10,1016 / 0001-8708 (70) 90030-7. Изложение теоремы и математики, окружающей ее.
- Giffen, CH (1996), "Периодичность Ботта и Q-конструкция" , в Banaszak, Grzegorz; Гайда, Войцех; Красонь, Петр (ред.), Алгебраическая K-теория , Современная математика, 199 , Американское математическое общество, стр. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, Руководство по ремонту 1409620
- Милнор, Дж. (1969). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9.
- Баэз, Джон (21 июня 1997 г.). «Неделя 105» . Находки этой недели по математической физике .