Пространство Эйленберга – Маклейна - Eilenberg–MacLane space

В математике , особенно в алгебраической топологии , пространство Эйленберга – Маклейна - это топологическое пространство с единственной нетривиальной гомотопической группой .

Пусть G группа и n натуральное число . Связан топологическое пространство X называется Эйленберг-Маклеен типа , если он имеет п -й гомотопической группы изоморфной к G и все другим группам гомотопича тривиальных . Если, то G должна быть абелевой . Такое пространство существует, является CW-комплексом и единственно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности , поэтому любое такое пространство часто называют просто . ${\ Displaystyle К (G, п)}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {п} (Х)}$ ${\ displaystyle n> 1}$ ${\ Displaystyle К (G, п)}$

Название происходит от Самуэля Эйленберга и Сондерса Мак-Лейна , которые представили такие помещения в конце 1940-х годов.

Таким образом, пространство Эйленберга – Маклейна представляет собой особый вид топологического пространства, которое в теории гомотопий можно рассматривать как строительный блок для CW-комплексов через расслоения в системе Постникова . Эти пространства важны во многих контекстах алгебраической топологии , включая вычисления гомотопических групп сфер, определение операций когомологий и сильную связь с сингулярными когомологиями .

Обобщенное пространство Эйленберга – Маклейна - это пространство, которое имеет гомотопический тип произведения пространств Эйленберга – Маклейна . ${\ Displaystyle \ prod _ {м} К (G_ {м}, м)}$

Примеры

Единичная окружность является . ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z}, 1)}$
Бесконечномерное комплексное проективное пространство является моделью . ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z}, 2)}$
Бесконечномерное реальное проективное пространство - это a . ${\ Displaystyle \ mathbb {RP} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z} / 2,1)}$
Клин сумма из K единичных окружностей является , где есть свободная группа на K - генераторах. ${\ displaystyle \ textstyle \ bigvee _ {я = 1} ^ {k} S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle К (F_ {k}, 1)}$ ${\ displaystyle F_ {k}}$
Дополнение к любому связному узлу или графу в трехмерной сфере имеет тип ; это называется « асферичностью узлов» и является теоремой Христоса Папакириакопулоса 1957 года . ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle К (G, 1)}$
Любой компактный , связанный, неположительно изогнуты многообразие М является , где это фундаментальная группа из М . Это следствие теоремы Картана – Адамара . ${\ Displaystyle К (\ Гамма, 1)}$ ${\ Displaystyle \ Gamma = \ pi _ {1} (М)}$
Бесконечное линзовое пространство, заданное отношением к свободному действию для, есть a . Это можно показать, используя теорию покрывающих пространств и тот факт, что бесконечномерная сфера стягиваема . Обратите внимание, что это включает в себя файл . ${\ Displaystyle L (\ infty, q)}$ ${\ Displaystyle S ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle (г \ mapsto е ^ {2 \ пи им / q} г)}$ ${\ Displaystyle м \ ин \ mathbb {Z} / q}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z} / q, 1)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {RP} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z} / 2,1)}$
Конфигурационное пространство из точек на плоскости является , где это чистая группа кос на пряди. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle K (P_ {n}, 1)}$ ${\ displaystyle P_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$
Соответственно, п - ^я неупорядоченной конфигурации пространства в является , где обозначает п -strand группы кос . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle К (В_ {п}, 1)}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$
Бесконечна симметрична продукт из н-сферы является . В более общем смысле является для всех пространств Мура . ${\ Displaystyle SP (S ^ {n})}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z}, п)}$ ${\ Displaystyle SP (М (G, п))}$ ${\ Displaystyle К (G, п)}$ ${\ Displaystyle M (G, п)}$

Из них можно построить еще несколько элементарных примеров, используя тот факт, что продукт есть . Например, n- мерный Тор - это a . ${\ Displaystyle К (Г, п) \ раз К (Ч, п)}$ ${\ Displaystyle К (G \ раз Н, п)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z} ^ {n}, 1)}$

Замечание о построении пространств Эйленберга – Маклейна.

Для и произвольной группы конструкция идентична конструкции классифицирующего пространства группы . Заметим, что если G имеет элемент кручения, то любой CW-комплекс типа K (G, 1) должен быть бесконечномерным. ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle К (G, 1)}$ ${\ displaystyle G}$

Существует несколько методов построения высших пространств Эйленберга-Маклейна. Один из них - построить пространство Мура для абелевой группы : возьмите клин из n - сфер , по одной для каждого генератора группы A, и реализуйте отношения между этими образующими, прикрепив (n + 1) -клеток с помощью соответствующих отображений в указанной суммы клина. Заметим, что нижние гомотопические группы уже по построению тривиальны. Теперь итеративно уничтожьте все более высокие гомотопические группы , последовательно присоединяя ячейки размерности больше, чем , и определите как прямой предел при включении этой итерации. ${\ Displaystyle М (А, п)}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ пи _ {п} (\ bigvee S ^ {п})}$ ${\ Displaystyle \ пи _ {я <п} (М (А, п))}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {я> п} (М (А, п))}$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ Displaystyle К (А, п)}$

Другой полезный прием - использование геометрической реализации симплициальных абелевых групп . Это дает явное представление симплициальных абелевых групп, которые представляют пространства Эйленберга-Маклейна.

Другая симплициальная конструкция в терминах классификации пространств и универсальных расслоений дана в книге Дж. Питера Мэя .

Поскольку взятие пространства петель понижает гомотопические группы на один слот, мы имеем каноническую гомотопическую эквивалентность , следовательно, существует последовательность расслоений ${\ Displaystyle К (G, п) \ simeq \ Омега К (G, п + 1)}$

{\ Displaystyle К (G, п) \ к * \ к К (G, п + 1)}

.

Обратите внимание, что это не последовательность кофибрации - пространство не является гомотопическим кофибром . ${\ Displaystyle К (G, п + 1)}$ ${\ Displaystyle К (G, п) \ к *}$

Эта последовательность расслоений может быть использована для изучения когомологий с помощью спектральной последовательности Лерэ . Этим воспользовался Жан-Пьер Серр, когда он изучал гомотопические группы сфер с помощью системы Постникова и спектральных последовательностей. ${\ Displaystyle К (G, п + 1)}$ ${\ Displaystyle К (G, п)}$

Свойства пространств Эйленберга – Маклейна.

Биекция между гомотопическими классами отображений и когомологий

Важное свойство «s является то , что для любой абелевой группы G , и любого на основе клеточного комплекса X , множество из основанных гомотопических классов отображений на основе из X в в естественной биекции с ˝n˝ -й особой когомологий группой пространства X . Таким образом , один говорит , что есть представляющие пространства для сингулярных когомологий с коэффициентами в G . С ${\ Displaystyle К (G, п)}$ ${\ Displaystyle [Х, К (G, п)]}$ ${\ Displaystyle К (G, п)}$ ${\ Displaystyle Н ^ {п} (X, G)}$ ${\ displaystyle K (G, n) 's}$

{\ displaystyle H ^ {n} (К (G, n), G) = \ operatorname {Hom} (H_ {n} (K (G, n); \ mathbb {Z}), G) = \ operatorname { Hom} (\ pi _ {n} (K (G, n)), G) = \ operatorname {Hom} (G, G)}

,

есть выделенный элемент, соответствующий идентичности. Вышеупомянутая биекция дается откатом этого элемента . Это похоже на Йонеды леммы из теории категорий . ${\ Displaystyle и \ в Н ^ {п} (К (G, п), G)}$ ${\ displaystyle f \ mapsto f ^ {*} u}$

Конструктивное доказательство этой теоремы можно найти здесь, другое, использующее связь между омега-спектрами и обобщенными теориями редуцированных когомологий, можно найти здесь, а основная идея также в общих чертах изложена позже.

Петлевые пространства / Омега-спектры

Пространство петель из пространства Эйленберга-Маклейна снова Эйленберга-Маклейна: . Кроме того, существует сопряженное отношение между пространством петель и редуцированной подвеской:, которое дает структуру абелевой группы, в которой операция представляет собой конкатенацию петель. Это делает упомянутую выше биекцию группизоморфизмом. ${\ Displaystyle \ Омега К (Г, п) \ конг К (Г, п-1)}$ ${\ Displaystyle [\ Sigma X, Y] = [X, \ Omega Y]}$ ${\ Displaystyle [Икс, К (G, n)] \ cong [X, \ Omega ^ {2} K (G, n + 2)]}$ ${\ Displaystyle [Икс, К (G, п)] \ к Н ^ {п} (Х, G)}$

Также это свойство означает, что пространства Эйленберга – Маклейна с различными n образуют омега-спектр , называемый «спектром Эйленберга – Маклейна». Этот спектр определяется с помощью редуцированной теории когомологий на основе CW-комплексов и для любой редуцированной теории когомологий на CW-комплексах с для существует естественный изоморфизм , где обозначает редуцированные особые когомологии. Следовательно, эти две теории когомологий совпадают. ${\ Displaystyle X \ mapsto h ^ {n} (X): = [X, K (G, n)]}$ ${\ displaystyle h ^ {*}}$ ${\ displaystyle h ^ {n} (S ^ {0}) = 0}$ ${\ Displaystyle п \ neq 0}$ ${\ displaystyle h ^ {n} (X) \ cong {\ tilde {H}} ^ {n} (X, h ^ {0} (S ^ {0})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {H ^ {*}}}}$

В более общем контексте представимость Брауна говорит, что каждая редуцированная теория когомологий, основанная на CW-комплексах, исходит из омега-спектра .

Связь с гомологиями

Для фиксированной абелевой группы существуют отображения на стабильных гомотопических группах ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle \ pi _ {q + n} ^ {s} (X \ клин K (G, n)) \ cong \ pi _ {q + n + 1} ^ {s} (X \ wedge \ Sigma K ( G, n)) \ to \ pi _ {q + n + 1} ^ {s} (X \ wedge K (G, n + 1))}

индуцированный картой . Переходя к прямому пределу этих отображений, можно проверить, что это определяет приведенную теорию гомологий ${\ Displaystyle \ Сигма К (Г, п) \ к К (Г, п + 1)}$

{\ displaystyle h_ {q} (X) = \ varinjlim _ {n} \ pi _ {q + n} ^ {s} (X \ клин K (G, n))}

на комплексах CW. Поскольку при равен нулю , то согласуется с приведенными сингулярными гомологиями с коэффициентами из G на CW-комплексах. ${\ displaystyle h_ {q} (S ^ {0}) = \ varinjlim \ pi _ {q + n} ^ {s} (K (G, n))}$ ${\ displaystyle q \ neq 0}$ ${\ displaystyle h _ {*}}$ ${\ Displaystyle {\ тильда {H}} _ {*} (\ cdot, G)}$

Функциональность

Из теоремы об универсальных коэффициентах для когомологий следует, что пространство Эйленберга-Маклейна является квазифунктором группы; то есть для каждого положительного целого числа, если есть какой-либо гомоморфизм абелевых групп, то существует непустое множество ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle a \ двоеточие G \ to G '}$

{\ Displaystyle К (а, п) = \ {[е]: е \ двоеточие К (г, п) \ к К (г ', п), Н_ {п} (е) = а \},}

удовлетворяющие где обозначает гомотопический класс непрерывного отображения и ${\ Displaystyle K (a \ circ b, n) \ supset K (a, n) \ circ K (b, n) {\ text {and}} 1 \ in K (1, n),}$ ${\ displaystyle [f]}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle S \ circ T: = \ {s \ circ t: s \ in S, t \ in T \}.}$

Связь с Постниковым / Башня Уайтхеда

Каждый связный CW-комплекс обладает башней Постникова , то есть обратной системой пространств: ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle \ cdots \ to X_ {3} \ xrightarrow {p_ {3}} X_ {2} \ xrightarrow {p_ {2}} X_ {1} \ simeq K (\ pi _ {1} (X), 1 )}

такое, что для каждого : ${\ displaystyle n}$

есть коммутирующие отображения , которые индуцируют изоморфизм на для , ${\ displaystyle X \ to X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {я}}$ ${\ Displaystyle я \ Leq п}$
${\ displaystyle \ pi _ {i} (X_ {n}) = 0}$ для , ${\ displaystyle i> n}$
карты являются расслоениями со слоем . ${\ displaystyle X_ {n} \ xrightarrow {p_ {n}} X_ {n-1}}$ ${\ Displaystyle К (\ пи _ {п} (Х), п)}$

По сути, существует башня Уайтхеда , представляющая собой последовательность CW-комплексов:

{\ Displaystyle \ cdots \ к X_ {3} \ к X_ {2} \ к X_ {1} \ к X}

такое, что для каждого : ${\ displaystyle n}$

отображения индуцируют изоморфизм на при , ${\ displaystyle X_ {n} \ to X}$ ${\ displaystyle \ pi _ {я}}$ ${\ displaystyle i> n}$
${\ displaystyle X_ {n}}$ является н-подключен ,
карты являются расслоениями со слоем ${\ displaystyle X_ {n} \ to X_ {n-1}}$ ${\ Displaystyle К (\ пи _ {п} (Х), п-1)}$

С помощью спектральных последовательностей Серра можно производить вычисления высших гомотопических групп сфер. Например , и с помощью Уайтхед башни можно найти здесь, в более общем числе использования систем Постникова можно найти здесь. ${\ Displaystyle \ pi _ {4} (S ^ {3})}$ ${\ displaystyle \ pi _ {5} (S ^ {3})}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ пи _ {п + я} (S ^ {п}) \ я \ Leq 3}$

Когомологические операции

Для фиксированных натуральных чисел m, n и абелевых групп G, H существует биекция между множеством всех операций когомологий и определяется как , где - фундаментальный класс . ${\ Displaystyle \ Theta: H ^ {m} (\ cdot, G) \ к H ^ {n} (\ cdot, H)}$ ${\ Displaystyle Н ^ {п} (К (Г, м), Н)}$ ${\ Displaystyle \ Theta \ mapsto \ Theta (\ alpha)}$ ${\ Displaystyle \ альфа \ в H ^ {m} (К (G, м), G)}$

В результате операции когомологий не могут уменьшить степень групп когомологий, а операции когомологий, сохраняющие степень, соответствуют гомоморфизму коэффициентов . Это следует из теоремы коэффициента универсальной для когомологий и (M-1) - связности в . ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (G, H)}$ ${\ Displaystyle К (Г, м)}$

Некоторыми интересными примерами операций когомологий являются квадраты Стинрода и степени , когда являются конечными циклическими группами . При их изучении важность когомологий с коэффициентами в становится очевидной быстро; некоторые обширные таблицы этих групп можно найти здесь. ${\ Displaystyle G = H}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z} / p, п)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p}$

Групповые (ко) гомологии

Групповые (ко) гомологии группы G с коэффициентами в группе A можно определить как особые (ко) гомологии пространства Эйленберга-Маклейна с коэффициентами в A. ${\ Displaystyle К (G, 1)}$

Дальнейшие приложения

Пространство конструкция петли , описанная выше , используется в теории струн , чтобы получить, например, строку группа , то Пятьбрана группа и так далее, как башни Whitehead , вытекающих из короткой точной последовательности

{\ displaystyle 0 \ rightarrow K (\ mathbb {Z}, 2) \ rightarrow \ operatorname {String} (n) \ rightarrow \ operatorname {Spin} (n) \ rightarrow 0}

с в струнной группе , и в спиновой группе . Актуальность заключается в том, что существуют гомотопические эквивалентности ${\ displaystyle {\ text {String}} (п)}$ ${\ displaystyle {\ text {Spin}} (п)}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z}, 2)}$

{\ Displaystyle К (\ mathbb {Z}, 1) \ simeq U (1) \ simeq B \ mathbb {Z}}

для классифицирующего пространства и факт . Обратите внимание: поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы ${\ displaystyle B \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z}, 2) \ simeq BU (1)}$

{\ displaystyle 0 \ к К (\ mathbb {Z}, 1) \ к {\ text {Spin}} ^ {\ mathbb {C}} (n) \ to {\ text {Spin}} (n) \ to 0}

,

Группу струн можно рассматривать как «высшее» расширение комплексной спиновой группы в смысле теории высших групп, поскольку пространство является примером высшей группы. Это может быть топологическая реализация группоида , объект которого - единственная точка, а морфизмами - группа . Из-за этих гомотопических свойств конструкция обобщается: любое заданное пространство может использоваться для начала короткой точной последовательности, которая убивает гомотопическую группу в топологической группе . ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z}, 2)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} U (1)}$ ${\ Displaystyle U (1)}$ ${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z}, п)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {n + 1}}$

Смотрите также

Классифицирующее пространство для корпуса ${\ displaystyle n = 1}$
Теорема Брауна о представимости пространств представления
Пространство Мура , аналог гомологии.

Примечания

использованная литература

Основополагающие статьи

Эйленберг, Самуэль ; Маклеен, Сондерс (1945), "Отношения между гомологией и гомотопическими группами пространств", Анналы математики , (вторая серия), 46 (3): 480-509, DOI : 10,2307 / 1969165 , JSTOR 1969165 , МР 0013312
Эйленберг, Самуэль ; Маклейн, Сондерс (1950). «Связь между гомологиями и гомотопическими группами пространств. II». Анналы математики . (Вторая серия). 51 (3): 514–533. DOI : 10.2307 / 1969365 . JSTOR 1969365 . Руководство по ремонту 0035435 .
Эйленберг, Самуэль ; Маклейн, Сондерс (1954). «О группах . III. Операции и препятствия» ${\ Displaystyle Н (\ Пи, п)}$ . Анналы математики . 60 (3): 513–557. DOI : 10.2307 / 1969849 . JSTOR 1969849 . Руководство по ремонту 0065163 .

Картанский семинар и приложения

Семинар Картана содержит множество фундаментальных результатов о пространствах Эйленберга-Маклейна, включая их гомологии и когомологии, а также приложения для вычисления гомотопических групп сфер.

http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/

Languages

In other projects