Теорема Брауна о представимости - Brown's representability theorem
В математике теорема Брауна о представимости в теории гомотопий дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы контравариантный функтор F на гомотопической категории Hotc точечно связных CW-комплексов в категорию множеств Set был представимым функтором .
В частности, нам дается
- F : Hotc op → Установить ,
и существуют некоторые очевидно необходимые условия для того, чтобы F имела тип Hom (-, C ), где C - точечно-связный CW-комплекс, который может быть выведен только с помощью теории категорий . Формулировка основной части теоремы состоит в том, что этих необходимых условий тогда достаточно. По техническим причинам теорема часто формулируется для функторов категории отмеченных множеств ; другими словами, наборы также получают базовую точку.
Теорема Брауна о представимости комплексов CW
Теорема представимости комплексов CW, принадлежащая Эдгару Х. Брауну , заключается в следующем. Предположим, что:
- Функтор F отображает копроизведения (то есть суммы клина ) в Hotc на продукты в Set :
- Функтор F сопоставляет гомотопические выталкивания в Hotc со слабыми откатами . Это часто формулируется как аксиома Майера – Виеториса : для любого CW-комплекса W, покрываемого двумя подкомплексами U и V , и любых элементов u ∈ F ( U ), v ∈ F ( V ), таких что u и v ограничиваются одним и тем же элементом в F ( U ∩ V ) существует элемент w ∈ F ( W ), сужающийся на u и v соответственно.
Тогда F представимо некоторым CW-комплексом C , т. Е. Существует изоморфизм
- F ( Z ) ≅ Hom Hotc ( Z , C )
для любого CW-комплекса Z , что естественно в Z тем, что для любого морфизма из Z в другой CW-комплекс Y индуцированные отображения F ( Y ) → F ( Z ) и Hom Hot ( Y , C ) → Hom Hot ( Z , C ) согласованы с этими изоморфизмами.
Верно и обратное утверждение: любой функтор, представленный комплексом CW, удовлетворяет двум указанным выше свойствам. Это направление является непосредственным следствием базовой теории категорий, поэтому более глубокая и интересная часть эквивалентности - это другое следствие.
Можно показать, что представляющий объект C выше функториально зависит от F : любое естественное преобразование из F в другой функтор, удовлетворяющее условиям теоремы, обязательно индуцирует отображение представляющих объектов. Это следствие леммы Йонеды .
Принимая F ( X ) , чтобы быть сингулярной гомологии группы Н я ( Х , ) с коэффициентами в данной абелевой группе А , при фиксированном I > 0; тогда представляющим пространством для F является пространство Эйленберга – Маклейна K ( A , i ). Это дает возможность показать существование пространств Эйленберга-Маклейна.
Варианты
Поскольку гомотопическая категория CW-комплексов эквивалентна локализации категории всех топологических пространств в слабых гомотопических эквивалентностях , теорема может быть эквивалентно сформулирована для функторов на категории, определенной таким образом.
Однако теорема неверна без ограничения на связные отмеченные пространства, и аналогичное утверждение для неточечных пространств также неверно.
Однако аналогичное утверждение верно для спектров вместо комплексов CW. Браун также доказал общую категориальную версию теоремы о представимости, которая включает как версию для точечно-связных CW-комплексов, так и версию для спектров.
Версия теоремы о представимости в случае триангулированных категорий принадлежит Амнону Ниману. Вместе с предыдущим замечанием он дает критерий (ковариантного) функтора F : C → D между триангулированными категориями, удовлетворяющего определенным техническим условиям наличия правого сопряженного функтора . А именно, если C и D - триангулированные категории с компактно порожденным C и F - триангулированным функтором, коммутирующим с произвольными прямыми суммами, то F - сопряженный слева. Ниман применил это к доказательству теоремы двойственности Гротендика в алгебраической геометрии.
Яков Лурье доказал версию теоремы Брауна представимости для гомотопической категории заостренного quasicategory с компактным набором генераторов , которые являются объектами cogroup в гомотопической категории. Например, это применимо к гомотопической категории точечно-связанных комплексов CW, а также к неограниченной производной категории абелевой категории Гротендика (ввиду более высокого категориального уточнения производной категории Лурье).