Прогнозно-оценочная мера - Projection-valued measure

В математике , особенно в функциональном анализе , проекционно-значная мера (PVM) - это функция, определенная на определенных подмножествах фиксированного множества, значения которой являются самосопряженными проекциями на фиксированное гильбертово пространство . Проекционные-значной меры формально аналогичны вещественными мер , за исключением того, что их значения самосопряжены проекции , а не действительные числа. Как и в случае обычных мер, можно интегрировать комплексные функции относительно PVM; результатом такого интегрирования является линейный оператор в данном гильбертовом пространстве.

Проекционно-значные меры используются для выражения результатов в спектральной теории , таких как важная спектральная теорема для самосопряженных операторов . Функциональное исчисление Борель для операторов самосопряжённых строятся с помощью интегралов по PVMs. В квантовой механике PVM - это математическое описание проективных измерений . Они обобщаются положительными операторными мерами (POVM) в том же смысле, что смешанное состояние или матрица плотности обобщает понятие чистого состояния .

Формальное определение

Проекционно-значная мера на измеримом пространстве , где - σ-алгебра подмножеств , является отображением из в множество самосопряженных проекций на гильбертовом пространстве (т. Е. Ортогональных проекций) такое, что ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle (Х, М)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle \ pi (X) = \ operatorname {id} _ {H} \ quad}$

(где - тождественный оператор ) и для каждого следующая функция ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {H}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ xi, \ eta \ in H}$${\ Displaystyle M \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle E \ mapsto \ langle \ pi (E) \ xi \ mid \ eta \ rangle}$

- комплексная мера на (т. е. комплекснозначная счетно-аддитивная функция). ${\ displaystyle M}$

Обозначим эту меру через . ${\ Displaystyle \ OperatorName {S} _ {\ pi} (\ xi, \ eta)}$

Обратите внимание, что это мера с действительным знаком и мера вероятности, если длина равна единице. ${\ Displaystyle \ OperatorName {S} _ {\ pi} (\ xi, \ xi)}$${\ displaystyle \ xi}$

Если - проекционно-значная мера и ${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset,}$

то изображение , является ортогональным друг к другу. Из этого следует, что в общем случае ${\ Displaystyle \ пи (Е)}$${\ Displaystyle \ пи (F)}$

${\ Displaystyle \ пи (Е) \ пи (F) = \ пи (Е \ крышка F) = \ пи (F) \ пи (Е),}$

и они ездят на работу.

Пример . Предположим , это пространство с мерой. Пусть для любого измеримого подмножества в , ${\ Displaystyle (Х, М, \ му)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ pi (E): L ^ {2} (\ mu) \ to L ^ {2} (\ mu): \ psi \ mapsto \ chi _ {E} \ psi}$

- оператор умножения на индикаторную функцию на L ² ( X ) . Тогда - проекционно-значная мера. ${\ displaystyle 1_ {E}}$${\ displaystyle \ pi}$

Расширения проекционно-значных мер, интегралов и спектральной теоремы

Если π - проекционно-значная мера на измеримом пространстве ( X , M ), то отображение

${\ Displaystyle \ чи _ {E} \ mapsto \ pi (E)}$

продолжается до линейного отображения на векторном пространстве ступенчатых функций на X . На самом деле легко проверить, что это отображение является гомоморфизмом колец . Это отображение каноническим образом распространяется на все ограниченные комплекснозначные измеримые функции на X , и мы имеем следующее.

Теорема . Для любого ограниченного М - измеримая функции F на X, существует единственный ограниченный линейный оператор

${\ displaystyle \ mathrm {T} _ {\ pi} (f): от H \ к H}$

такой, что

${\ displaystyle \ langle \ operatorname {T} _ {\ pi} (f) \ xi \ mid \ eta \ rangle = \ int _ {X} f \ d \ operatorname {S} _ {\ pi} (\ xi, \ eta)}$

для всех где обозначает комплексную меру${\ displaystyle \ xi, \ eta \ in H,}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {S} _ {\ pi} (\ xi, \ eta)}$

${\ Displaystyle E \ mapsto \ langle \ pi (E) \ xi \ mid \ eta \ rangle}$

из определения . ${\ displaystyle \ pi}$

Карта

${\ displaystyle {\ mathcal {BM}} (X, M) \ to {\ mathcal {L}} (H): f \ mapsto \ operatorname {T} _ {\ pi} (f)}$

является гомоморфизмом колец .

Часто используются интегральные обозначения , как в ${\ displaystyle \ operatorname {T} _ {\ pi} (f)}$

${\ displaystyle \ operatorname {T} _ {\ pi} (f) = \ int _ {X} f (x) \, d \ pi (x) = \ int _ {X} f \, d \ pi.}$

Теорема также справедливо для неограниченных измеримых функций F , но тогда будет неограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве H . ${\ displaystyle \ operatorname {T} _ {\ pi} (f)}$

Спектральная теорема говорит , что каждый самосопряженный оператор имеет ассоциированную проекторную меру , определенную на вещественной оси, такую , что ${\ displaystyle A: H \ to H}$${\ displaystyle \ pi _ {A}}$

${\ displaystyle A = \ int _ {\ mathbb {R}} x \, d \ pi _ {A} (x).}$

Это позволяет определить функциональное исчисление Бореля для таких операторов: если - измеримая функция, мы полагаем ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle g (A): = \ int _ {\ mathbb {R}} g (x) \, d \ pi _ {A} (x).}$

Структура проекционно-оценочных мер

Сначала мы приводим общий пример проекционно-значной меры, основанной на прямых интегралах . Предположим, что ( X , M , μ) - пространство с мерой, и пусть { H _x } _{x ∈ X} - μ-измеримое семейство сепарабельных гильбертовых пространств. Для любого E ∈ M пусть π ( E ) - оператор умножения на 1 _E в гильбертовом пространстве

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x).}$

Тогда π - проекционно-значная мера на ( X , M ).

Пусть π , ρ является проекционной-значной мерой на ( X , М ) со значениями в проекции H , K . π , ρ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует унитарный оператор U : H → K такой, что

${\ displaystyle \ pi (E) = U ^ {*} \ rho (E) U \ quad}$

для любого E ∈ M .

Теорема . Если ( X , M ) - стандартное борелевское пространство , то для любой проекционно-значной меры π на ( X , M ), принимающей значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, существует борелевская мера μ и μ-измеримое семейство Гильбертовы пространства { H _x } _{x ∈ X} , такие, что π унитарно эквивалентно умножению на 1 _E в гильбертовом пространстве

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x).}$

Класс меры μ и класс эквивалентности меры функции кратности x → dim H _x полностью характеризуют проекционно-значную меру с точностью до унитарной эквивалентности.

Выступ-значной мерой π является однородной кратности п тогда и только тогда , когда функция кратности имеет постоянное значение п . Четко,

Теорема . Любая проекционно-значная мера π, принимающая значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, является ортогональной прямой суммой однородных проекционно-значных мер:

${\ displaystyle \ pi = \ bigoplus _ {1 \ leq n \ leq \ omega} (\ pi \ mid H_ {n})}$

куда

${\ displaystyle H_ {n} = \ int _ {X_ {n}} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d (\ mu \ mid X_ {n}) (x)}$

и

${\ displaystyle X_ {n} = \ {x \ in X: \ dim H_ {x} = n \}.}$

Применение в квантовой механике

В квантовой механике дана проекционно-значная мера измеримого пространства X на пространство непрерывных эндоморфизмов на гильбертовом пространстве H ,

• единичная сфера гильбертова пространства H интерпретируется как множество возможных состояний Φ квантовой системы,

• измеримое пространство X - это пространство значений некоторого квантового свойства системы ("наблюдаемого"),

• проекционно-значная мера π выражает вероятность того, что наблюдаемая принимает различные значения.

Обычный выбор для X - это реальная линия, но она также может быть

• R ³ (для позиции или импульса в трех измерениях),

• дискретный набор (по угловому моменту, энергии связанного состояния и т. д.),

• 2-точечный набор «истина» и «ложь» для значения истинности произвольного предложения о Ф.

Пусть E - измеримое подмножество измеримого пространства X, а Φ - нормированное вектор-состояние в H , так что его гильбертова норма унитарна, || Φ || = 1. Вероятность того, что наблюдаемая принимает свое значение в подмножестве E, для данной системы в состоянии Φ, равна

${\ Displaystyle P _ {\ pi} (\ varphi) (E) = \ langle \ varphi \ mid \ pi (E) (\ varphi) \ rangle = \ langle \ varphi | \ pi (E) | \ varphi \ rangle, }$

где последнее обозначение является предпочтительным в физике.

Мы можем проанализировать это двумя способами.

Во-первых, для каждого фиксированного E проекция π ( E ) является самосопряженным оператором на H , 1-собственное подпространство которого - это состояния Φ, для которых значение наблюдаемой всегда лежит в E , а 0-собственное подпространство - состояния Φ для которых значение наблюдаемой никогда не лежит в Е .

Во-вторых, для каждого фиксированного нормализованного векторного состояния ассоциация ${\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle P _ {\ pi} (\ psi): E \ mapsto \ langle \ psi \ mid \ pi (E) \ psi \ rangle}$

- вероятностная мера на X, превращающая значения наблюдаемого в случайную величину.

Измерение, которое может быть выполнено с помощью проекционно-значной меры π , называется проективным измерением .

Если X - прямая вещественного числа, существует связанный с π эрмитов оператор A, определенный на H формулой

${\ Displaystyle А (\ varphi) = \ int _ {\ mathbf {R}} \ lambda \, d \ pi (\ lambda) (\ varphi),}$

который принимает более читаемую форму

${\ displaystyle A (\ varphi) = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ pi ({\ lambda _ {i}}) (\ varphi)}$

если носитель П является дискретным подмножеством R .

Вышеупомянутый оператор A называется наблюдаемой, связанной со спектральной мерой.

Любой полученный таким образом оператор в квантовой механике называется наблюдаемой .

Обобщения

Идея проекционно-значной меры обобщается положительной операторнозначной мерой (POVM), где необходимость ортогональности, подразумеваемая проекционными операторами, заменяется идеей набора операторов, которые являются неортогональным разбиением единицы. . Это обобщение мотивировано приложениями к квантовой теории информации .

Смотрите также

• Спектральная теорема
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C * -алгебр

Рекомендации

• Моретти В. (2018), Спектральная теория и квантовая механика Математические основы квантовых теорий, симметрий и введение в алгебраические формулировки , 110 , Springer, ISBN   978-3-319-70705-1
• Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN   978-1461471158
• Макки, GW, Теория представлений унитарных групп , The University of Chicago Press, 1976
• М. Рид и Б. Саймон , Методы математической физики , т. I – IV, Academic Press, 1972.
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN   978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN   978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Г. Тешль , Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шредингера , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ , Американское математическое общество, 2009.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN   978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Варадараджан В.С. Геометрия квантовой теории V2, Springer Verlag, 1970.