Ступенчатая функция - Step function

В математике функция на действительных чисел называется шаг функции (или лестницы функцию ) , если она может быть записана в виде конечной линейной комбинации из индикаторных функций из интервалов . Неформально говоря, ступенчатая функция - это кусочно- постоянная функция, состоящая только из конечного числа частей.

Пример ступенчатой ​​функции (красный график). Эта конкретная ступенчатая функция непрерывна справа .

Определение и первые следствия

Функция называется ступенчатой, если ее можно записать как

, для всех действительных чисел

где , действительные числа, являются интервалами, и является функцией индикатора из :

В этом определении можно предположить , что интервалы имеют следующие два свойства:

  1. Интервалы попарно не пересекаются : при
  2. Объединение интервалов является вся реальная линия:

В самом деле, если это не так, можно выбрать другой набор интервалов, для которых выполняются эти предположения. Например, ступенчатая функция

можно записать как

Варианты определения

Иногда требуется, чтобы интервалы открывались вправо или могли быть одноэлементными. Условие, что набор интервалов должен быть конечным, часто опускается, особенно в школьной математике, хотя он все еще должен быть локально конечным, что приводит к определению кусочно-постоянных функций.

Примеры

Функция Хевисайда является часто используемым ступенчатой функцией.
  • Постоянная функция является тривиальным примером ступенчатой функции. Тогда есть только один интервал,
  • Функция знака SGN ( х ) , который равен -1 для отрицательных чисел и 1 для положительных чисел, и является самой простой непостоянной функцией шага.
  • Функция Хевисайда H ( x ) , которая равна 0 для отрицательных чисел и 1 для положительных чисел, эквивалентна функции знака с точностью до сдвига и масштабирования диапазона ( ). Это математическая концепция, лежащая в основе некоторых тестовых сигналов , например, используемых для определения переходной характеристики динамической системы .
Прямоугольная функция , следующий простой шаг функции.

Не примеры

  • Функция целой части не является пошаговой функцией согласно определению в этой статье, поскольку она имеет бесконечное количество интервалов. Однако некоторые авторы также определяют ступенчатые функции с бесконечным числом интервалов.

Характеристики

  • Сумма и произведение двух ступенчатых функций снова является ступенчатой ​​функцией. Произведение ступенчатой ​​функции на число также является ступенчатой ​​функцией. Таким образом, ступенчатые функции образуют алгебру над действительными числами.
  • Шаговая функция принимает только конечное число значений. Если интервалы для в приведенном выше определении ступенчатой ​​функции не пересекаются и их объединение является действительной прямой, то для всех
  • Определенный интеграл от ступенчатой функции является кусочно - линейной функцией .
  • Интеграл Лебега ступенчатой функции является где длина интервала , и предполагается, что все интервалы имеют конечную длину. Фактически, это равенство (рассматриваемое как определение) может быть первым шагом в построении интеграла Лебега.
  • Дискретная случайная величина иногда определяется как случайная величина которого кумулятивная функция распределения постоянна кусочно. В данном случае это локально ступенчатая функция (глобально она может иметь бесконечное количество шагов). Обычно, однако, любая случайная величина со счетным числом возможных значений называется дискретной случайной величиной, в этом случае их кумулятивная функция распределения не обязательно является локально ступенчатой ​​функцией, поскольку бесконечное количество интервалов может накапливаться в конечной области.

Смотрите также

Рекомендации